Переменный узел
В теории узлов диаграмма узла если или звена является чередующейся, пересечения чередуются снизу, сверху, снизу и сверху при движении вдоль каждого компонента звена. Звено является чередующимся, если оно имеет чередующуюся диаграмму.
Многие узлы с числом пересечений менее 10 являются чередующимися. Этот факт и полезные свойства чередующихся узлов, такие как гипотеза Тейта , позволили ранним табуляторам узлов, таким как Тейт, строить таблицы с относительно небольшим количеством ошибок или упущений. Простейшие непеременные простые узлы имеют 8 пересечений (а таких три: 8 19 , 8 20 , 8 21 ).
Предполагается, что по мере увеличения числа пересечений процент чередующихся узлов экспоненциально быстро стремится к 0.
Переменные связи в конечном итоге играют важную роль в теории узлов и теории трехмерных многообразий , поскольку их дополнения обладают полезными и интересными геометрическими и топологическими свойствами. Это побудило Ральфа Фокса задаться вопросом: «Что такое чередующийся узел?» Тем самым он задавался вопросом, какие недиаграмматические свойства дополнения узлов будут характеризовать чередующиеся узлы. [1]
В ноябре 2015 года Джошуа Эван Грин опубликовал препринт, в котором дана характеристика чередующихся звеньев с точки зрения определенных связующих поверхностей, то есть определение чередующихся звеньев (особым случаем которых являются чередующиеся узлы) без использования понятия диаграммы звеньев . [2]
Различная геометрическая и топологическая информация раскрывается на чередующейся диаграмме. Простота и расщепимость связи легко увидеть из диаграммы. Число пересечений сокращенной , чередующейся диаграммы — это число пересечений узла. Последнее является одной из знаменитых гипотез Тейта.
Диаграмма знакопеременного узла находится во взаимно однозначном соответствии с плоским графом . Каждое пересечение связано с ребром, а половина связных компонентов дополнения диаграммы связана с вершинами в шахматном порядке.
Тейта Предположения
Гипотезы Тейта таковы:
- Любая уменьшенная схема переменного звена имеет наименьшее количество пересечений.
- Любые две приведенные диаграммы одного и того же знакопеременного узла имеют одинаковую корку .
- Учитывая любые две приведенные альтернирующие диаграммы D 1 и D 2 ориентированного простого чередующегося звена: D 1 может быть преобразована в D 2 с помощью последовательности некоторых простых ходов, называемых флайпесами . Также известна как гипотеза полета Тейта. [3]
Морвен Тистлтуэйт , Луи Кауфман и К. Мурасуги доказали первые две гипотезы Тейта в 1987 году, а Морвен Тистлтуэйт и Уильям Менаско доказали гипотезу Тейта о полете в 1991 году.
Гиперболический объём [ править ]
Менаско , применив теорему Тёрстона о гиперболизации многообразий Хакена , показал, что любое простое, нерасщепимое знакопеременное звено является гиперболическим , т. е. дополнение звена имеет гиперболическую геометрию , если только звено не является звеном тора .
Таким образом, гиперболический объем является инвариантом множества чередующихся звеньев. Марк Лакенби показал, что объем имеет верхнюю и нижнюю линейные границы в зависимости от количества областей скручивания сокращенной чередующейся диаграммы.
Ссылки [ править ]
- ^ Ликориш, В.Б. Рэймонд (1997), «Геометрия чередующихся связей», Введение в теорию узлов , Тексты для аспирантов по математике, том. 175, Springer-Verlag, Нью-Йорк, стр. 32–40, номер документа : 10.1007/978-1-4612-0691-0_4 , ISBN. 0-387-98254-Х , МР 1472978 ; см., в частности, стр. 32
- ^ Грин, Джошуа (2017). «Переменные звенья и определенные поверхности». Математический журнал Дьюка . 166 (11). arXiv : 1511.06329 . дои : 10.1215/00127094-2017-0004 . S2CID 59023367 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Гипотезы об узле Тейта» . Математический мир . Доступ: 5 мая 2013 г.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Кауфман, Луи Х. (1987). О узлах . Анналы математических исследований. Том. 115. Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08435-1 . Збл 0627.57002 .
- Адамс, Колин С. (2004). Книга «Узлы: элементарное введение в математическую теорию узлов» . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3678-1 .
- Менаско, Уильям (1984). «Замкнутые несжимаемые поверхности в чередующихся узлах и звеньях» (PDF) . Топология . 23 (1): 37–44. дои : 10.1016/0040-9383(84)90023-5 .
- Лакенби, Марк (2004). «Объем гиперболического знакопеременного звена дополняет». Учеб. Лондонская математика. Соц . 88 (1): 204–224. arXiv : math/0012185 . дои : 10.1112/S0024611503014291 . S2CID 56284382 .
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Переменный узел» . Математический мир .
- Вайсштейн, Эрик В. «Гипотезы об узле Тейта» . Математический мир .
- Celtic Knotwork для построения знакопеременного узла на основе его плоского графа.
