Группа узлов

В математике узел — это вложение круга . в трёхмерное евклидово пространство Группа узлов узла K определяется как фундаментальная группа узла дополнения узла K в R. ³ ,

$\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K).$

Другие соглашения считают, что узлы встроены в 3-сферу, и в этом случае группа узлов является фундаментальной группой своего дополнения в $S^{3}$.

Свойства

Два эквивалентных узла имеют изоморфные группы узлов, поэтому группа узлов является инвариантом узла и может использоваться для различения определенных пар неэквивалентных узлов. Это происходит потому, что эквивалентность между двумя узлами является самогомеоморфизмом $\mathbb {R} ^{3}$ он изотопен идентичности и отправляет первый узел на второй. Такой гомеоморфизм ограничивается гомеоморфизмом дополнений к узлам, и этот ограниченный гомеоморфизм индуцирует изоморфизм фундаментальных групп. Однако два неэквивалентных узла могут иметь изоморфные группы узлов (пример см. ниже).

Абелианизация группы узлов всегда изоморфна бесконечной циклической группе Z ; это следует из того, что абелианизация согласуется с первой группой гомологий , которую можно легко вычислить.

Группа узлов (или вообще фундаментальная группа ориентированного звена) может быть вычислена в представлении Виртингера с помощью относительно простого алгоритма.

Примеры

• У узла есть группа узлов, изоморфная Z .
• Узел -трилистник имеет группу узлов, изоморфную группе кос B ₃ . В этой группе есть презентация

$\langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle$ или $\langle a,b\mid aba=bab\rangle .$

• A( p , q ) -торический узел имеет группу узлов с представлением

$\langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle .$

• Узел восьмерка имеет группу узлов с презентацией.

$\langle x,y\mid yxy^{-1}xy=xyx^{-1}yx\rangle$

• Квадратный узел и бабушкин узел имеют изоморфные группы узлов, однако эти два узла не эквивалентны.

См. также

• Связать группу

Дальнейшее чтение

• Хазевинкель, Михель , изд. (2001), « Группы узлов и связей », Математическая энциклопедия , Springer, ISBN   978-1556080104