Презентация Виртингера

В математике , особенно в теории групп , представление Виртингера — это конечное представление , в котором отношения имеют вид $wg_{i}w^{-1}=g_{j}$ где $w$ это слово в генераторах, $\{g_{1},g_{2},\ldots ,g_{k}\}.$ Вильгельм Виртингер заметил, что дополнения к узлам в трехмерном пространстве имеют фундаментальные группы с представлениями такого вида.

Предварительные сведения и определение [ править ]

Узел K S вложением односферы является ¹ в трехмерном пространстве R ³. (В качестве альтернативы окружающее пространство можно принять за трехсферу S ³, что не имеет значения для целей представления Виртингера.) Открытое подпространство, являющееся дополнением узла, $S^{3}\setminus K$ является дополнением узла. Его основная группа $\pi _{1}(S^{3}\setminus K)$ является инвариантом узла в том смысле, что эквивалентные узлы имеют изоморфные группы узлов . Поэтому интересно понять эту группу в доступной форме.

получается Представление Виртингера из регулярной проекции ориентированного узла . Такую проекцию можно представить как конечное число (ориентированных) дуг на плоскости, разделенных пересечениями проекции. Фундаментальная группа создается петлями, наматывающими вокруг каждой дуги. Каждое пересечение порождает определенное отношение между образующими, соответствующими дугам, встречающимся в пересечении.

о многомерных Виртингера Презентации узлах

коразмерности два В более общем смысле известно, что узлы в сферах имеют представления Виртингера. Мишель Кервер доказал, что абстрактная группа является фундаментальной группой внешности узла (возможно, в многомерной сфере) тогда и только тогда, когда выполняются все следующие условия:

Абелианизация . группы — целые числа
2-я гомологии группы тривиальна.
Группа конечно представлена .
Группа представляет собой нормальное замыкание одного генератора.

Условия (3) и (4) по существу представляют собой переформулированные условия представления Виртингера. Кервайр доказал в размерностях 5 и больше, что указанные выше условия необходимы и достаточны. Характеризация групп узлов в четвертом измерении является открытой проблемой.

Примеры [ править ]

Для узла-трилистника можно показать, что представление Виртингера имеет вид

\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\backslash {\text{trefoil}})=\langle x,y\mid (xy)^{-1}yxy=x\rangle .

См. также [ править ]

Группа узлов

Дальнейшее чтение [ править ]

Рольфсен, Дейл (1990), Узлы и связи , Серия лекций по математике, том. 7, Хьюстон, Техас: Опубликуй или погибни, ISBN 978-0-914098-16-4 , раздел 3D
Каваучи, Акио (1996), Обзор теории узлов , Биркхойзер, doi : 10.1007/978-3-0348-9227-8 , ISBN 978-3-0348-9953-6
Хиллман, Джонатан (2012), Алгебраические инварианты связей , Серия «Узлы и все такое», том. 52, World Scientific, номер номера : 10.1142/9789814407397 , ISBN. 9789814407397
Ливингстон, Чарльз (1993), Теория узлов , Математическая ассоциация Америки.