Узел (математика)
В математике узел это вложение окружности — ( S 1 ) в трехмерное евклидово пространство , R 3 (также известный как Е 3 ). Часто два узла считаются эквивалентными, если они объемлющие изотопны , то есть если существует непрерывная деформация R 3 который переносит один узел в другой.
Решающее различие между стандартными математическими и традиционными представлениями об узле состоит в том, что математические узлы закрыты — в математическом узле нет концов, которые можно было бы завязать или развязать. Физические свойства, такие как трение и толщина, также не применяются, хотя существуют математические определения узла, учитывающие такие свойства. Термин «узел» также применяется к вложениям S дж в С н , особенно в случае j знак равно n - 2 . Раздел математики, изучающий узлы, известен как теория узлов и имеет много общего с теорией графов .
Формальное определение
[ редактировать ]Узел — вложение окружности это ( S 1 ) в трехмерное евклидово пространство ( R 3 ), [ 1 ] или 3-сфера ( S 3 ), поскольку 3-сфера компактна . [ 2 ] [ Примечание 1 ] Два узла считаются эквивалентными, если существует объемлющая изотопия . между ними [ 3 ]
Проекция
[ редактировать ]Узел в R 3 в 3-сфере S (или, альтернативно , 3 ), можно спроецировать на плоскость R 2 (соответственно сфера S 2 ). Эта проекция почти всегда регулярна , то есть инъективна всюду , за исключением конечного числа точек пересечения, которые являются проекциями только двух точек узла, и эти точки не лежат на одной прямой . В этом случае, выбрав сторону проекции, можно полностью закодировать изотопический класс узла его регулярной проекцией, записывая простую информацию о превышении/недостатке на этих пересечениях. Таким образом , с точки зрения теории графов, регулярная проекция узла или диаграмма узла представляет собой четырехвалентный планарный граф с чрезмерно или недостаточно декорированными вершинами. Локальные модификации этого графа, позволяющие перейти от одной диаграммы к любой другой диаграмме того же узла (с точностью до объемлющей изотопии плоскости), называются движениями Райдемейстера .
-
Рейдемейстер ход 1 -
Рейдемейстер ход 2 -
Рейдемейстер ход 3
Виды узлов
[ редактировать ]
Самый простой узел, называемый развязным или тривиальным узлом, представляет собой круглый круг, вложенный в R. 3 . [ 4 ] В обычном смысле слова узел вообще не является «завязанным». Простейшими нетривиальными узлами являются узел трилистник ( 3 1 в таблице), узел восьмерка ( 4 1 ) и узел лапчатка ( 5 1 ). [ 5 ]
Несколько узлов, связанных или запутанных вместе, называются звеньями . Узлы — это связи, состоящие из одного компонента.
Прирученные против диких узлов
[ редактировать ]
узел Многоугольный — это узел, образ которого в R 3 является объединением конечного набора отрезков прямой . [ 6 ] узел Ручной — это любой узел, эквивалентный многоугольному узлу. [ 6 ] [ Примечание 2 ] Узлы, которые не ручные, называются дикими , [ 7 ] и может иметь патологическое поведение. [ 7 ] В теории узлов и теории трёх многообразий часто опускается прилагательное «ручной». Например, гладкие узлы всегда ручные.
Узел в рамке
[ редактировать ]— Оснащенный узел это продолжение ручного узла до вложения полнотория D 2 × С 1 в С 3 .
Обрамление связующий узла — номер изображения ленты I × S. 1 с узлом. Узел в рамке можно рассматривать как встроенную ленту, а обрамление — это (со знаком) количество витков. [ 8 ] Это определение обобщается до аналогичного для структурированных ссылок . Рамочные связи называются эквивалентными , если их расширения на полноторы являются объемлющими изотопными.
связей в рамке Диаграммы представляют собой диаграммы связей, в которых каждый компонент помечен для обозначения кадрирования целым числом , представляющим наклон по отношению к меридиану и предпочтительной долготе. Стандартный способ просмотра диаграммы ссылок без пометок как представляющей ссылку в рамке — использовать рамку на доске . Это обрамление получается путем преобразования каждого компонента в ленту, лежащую ровно на плоскости. типа I Ход Рейдемейстера явно меняет рамку доски (он меняет количество витков ленты), но два других хода - нет. Замена типа, который я перемещаю, модифицированным типом, который я перемещаю, дает результат для диаграмм связей с обрамлением «черная доска», аналогичный теореме Райдемейстера: диаграммы связей с обрамлением «черная доска» представляют собой эквивалентные обрамленные связи тогда и только тогда, когда они соединены последовательностью (модифицированных ) ходы типа I, II и III. Учитывая узел, на нем можно задать бесконечное количество оснащений. Предположим, что нам дан узел с фиксированным каркасом. Из существующего можно получить новый каркас, разрезав ленту и скручиваем ее вокруг узла на целое число, кратное 2π, а затем снова приклеиваем на место мы сделали разрез. Таким образом, из старого получается новое оснащение с точностью до отношения эквивалентности. для узлов в рамке, оставляя узел фиксированным. [ 9 ] Обрамление в этом смысле связано с количеством витков. векторное поле действует вокруг узла. Зная, сколько раз закручено векторное поле узел позволяет определить векторное поле с точностью до диффеоморфизма и класс эквивалентности кадрирование полностью определяется этим целым числом, называемым целым числом кадрирования.
Узел дополнения
[ редактировать ]
Учитывая узел в 3-сфере, дополнением к узлу являются все точки 3-сферы, не содержащиеся в узле. Основная теорема Гордона и Люке утверждает, что не более двух узлов имеют гомеоморфные дополнения (исходный узел и его зеркальное отражение). По сути, это превращает изучение узлов в изучение их дополнений и, в свою очередь, в теорию трехмерных многообразий . [ 10 ]
JSJ-разложение
[ редактировать ]и Разложение JSJ теорема Тёрстона о гиперболизации сводят исследование узлов в 3-сфере к изучению различных геометрических многообразий посредством сплайсинга или сателлитных операций . В изображенном узле JSJ-разложение разбивает дополнение на объединение трёх многообразий: двух трилистниковых дополнений и дополнения колец Борромео . Дополнение трилистника имеет геометрию H. 2 × R , а дополнение колец Борромео имеет геометрию H 3 .
Гармонические узлы
[ редактировать ]Параметрические представления узлов называются гармоническими узлами. Аарон Траутвейн в своей докторской диссертации собрал параметрические представления для всех узлов, включая узлы с числом пересечений 8. [ 11 ] [ 12 ]
Приложения к теории графов
[ редактировать ]
Медиальный график
[ редактировать ]
Еще одно удобное представление диаграмм узлов. [ 13 ] [ 14 ] был введен Питером Тейтом в 1877 году. [ 15 ] [ 16 ]
Любая диаграмма узла определяет плоский граф , вершины которого являются пересечениями, а ребра — путями между последовательными пересечениями. Ровно одна грань этого плоского графа неограничена; каждый из остальных гомеоморфен двумерному диску . Раскрасьте эти грани в черный или белый цвет, чтобы неограниченная грань была черной, а любые две грани, имеющие общую границу, имели противоположные цвета. Теорема Жордана о кривой подразумевает, что такая раскраска ровно одна.
Мы строим новый плоский граф, вершинами которого являются белые грани, а ребра соответствуют пересечениям. Мы можем пометить каждое ребро в этом графе как левое или правое ребро, в зависимости от того, какая нить пересекает другую, если мы рассматриваем соответствующее пересечение с одной из конечных точек ребра. Левый и правый края обычно обозначаются путем обозначения левых краев + и правых краев – или путем рисования левых краев сплошными линиями, а правых краев – пунктирными линиями.
Исходная диаграмма узла является медиальным графом этого нового плоского графа, в котором тип каждого пересечения определяется знаком соответствующего ребра. Изменение знака каждого ребра соответствует отражению узла в зеркале .
Бессвязное и бесузловое встраивание
[ редактировать ]
В двух измерениях только плоские графы можно вложить в евклидову плоскость без пересечений, но в трех измерениях любой неориентированный граф можно вложить в пространство без пересечений. Однако пространственным аналогом планарных графов являются графы с вложениями без связей и вложениями без узлов . Бессвязное вложение — это вложение графа, при котором любые два цикла не связаны между собой ; вложение без узлов — это вложение графа со свойством, что любой отдельный цикл не завязан . Графы с вложениями без связей имеют запрещенную характеристику графа , включающую семейство Петерсена , набор из семи графов, которые неразрывно связаны: независимо от того, как они вложены, некоторые два цикла будут связаны друг с другом. [ 17 ] Полная характеристика графов с безузловыми вложениями не известна, но полный граф K7 узел является одним из минимальных запрещенных графов для безузлового вложения: независимо от того, как вложен K7 , он будет содержать цикл, образующий -трилистник . [ 18 ]
Обобщение
[ редактировать ] | Этот раздел нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( декабрь 2011 г. ) |
В современной математике термин «узел» иногда используется для описания более общего явления, связанного с вложениями. Учитывая многообразие M с подмногообразием N , иногда говорят, что можно завязать в M, если существует вложение N в M , которое не изотопно N. N Традиционные узлы образуют случай, когда N = S 1 и М = Р 3 или М = S 3 . [ 19 ] [ 20 ]
Теорема Шенфлиса утверждает, что круг не завязывается в 2-сфере: каждый топологический круг в 2-сфере изотопен геометрическому кругу. [ 21 ] Теорема Александера утверждает, что 2-сфера не плавно (или PL или топологически укрощена) завязывается в 3-сферу. [ 22 ] В ручной топологической категории известно, что n -сфера не завязывается в n + 1 -сферу при всех n . Это теорема Мортона Брауна , Барри Мазура и Марстона Морса . [ 23 ] Рогатая сфера Александра является примером завязанной 2-сферы в 3-сфере, которая не является ручной. [ 24 ] Известно , что в гладкой категории n -сфера не завязывается в n + 1 -сфере при условии n ≠ 3 . Случай n = 3 представляет собой давнюю проблему, тесно связанную с вопросом: допускает ли 4-шар экзотическую гладкую структуру ?
Андре Хэфлигер не существует гладких j -мерных узлов . доказал, что в S н предоставил 2 n − 3 j − 3 > 0 и привел дополнительные примеры завязанных сфер для всех n > j ≥ 1 таких, что 2 n − 3 j − 3 = 0 . n − j называется коразмерностью узла. Интересный аспект работы Хефлигера состоит в том, что изотопические классы вложений S дж в С н образуют группу, причем групповая операция задается суммой соединения, при условии, что коразмерность больше двух. Хефлигер основывал свою работу на Стивена Смейла о h теореме -кобордизме . Одна из теорем Смейла состоит в том, что когда мы имеем дело с узлами коразмерности больше двух, даже неэквивалентные узлы имеют диффеоморфные дополнения. Это придает предмету другой оттенок, чем теория узлов коразмерности 2. Если кто-то допускает топологические или PL-изотопии, Кристофер Зееман доказал, что сферы не завязываются, когда коразмерность больше 2. См. обобщение на многообразия .
См. также
[ редактировать ]- Теория узлов - Изучение математических узлов.
- Инвариант узла - функция узла, которая принимает одно и то же значение для эквивалентных узлов.
- Список математических узлов и связей
Примечания
[ редактировать ]- ^ Обратите внимание, что 3-сфера эквивалентна R 3 с одной точкой, добавленной на бесконечности (см. одноточечную компактификацию ).
- ^ Узел является ручным тогда и только тогда, когда его можно представить в виде конечной замкнутой ломаной цепи.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Армстронг (1983) , с. 213.
- ^ Кромвель 2004 , с. 33; Адамс 1994 , стр. 246–250.
- ^ Кромвель (2004) , с. 5.
- ^ Адамс (1994) , с. 2.
- ^ Адамс 1994 , Таблица 1.1, с. 280; Ливингстон 1993 , Приложение А: Таблица узлов, стр. 221
- ^ Jump up to: а б Армстронг 1983 , с. 215
- ^ Jump up to: а б Чарльз Ливингстон (1993). Теория узла . Издательство Кембриджского университета. п. 11. ISBN 978-0-88385-027-5 .
- ^ Кауфман, Луи Х. (1990). «Инвариант регулярной изотопии» (PDF) . Труды Американского математического общества . 318 (2): 417–471. дои : 10.1090/S0002-9947-1990-0958895-7 .
- ^ Эльхамдади, Мохамед ; Хаджидж, Мустафа ; Иштван, Кайл (2019), Узлы в рамке , arXiv : 1910.10257 .
- ^ Адамс 1994 , стр. 261–2.
- ^ Траутвейн, Аарон К. (1995). Гармонические узлы (доктор философии). Авторефераты диссертаций. Том. 56–06. Университет Айовы. п. 3234. OCLC 1194821918 . ПроКвест 304216894 .
- ^ Траутвейн, Аарон К. (1998). «18. Введение в гармонические узлы» . В Стасяке, Анджей; Катрич, Всеволод; Кауфман, Луи Х. (ред.). Идеальные узлы . Всемирная научная. стр. 353–363. ISBN 978-981-02-3530-7 .
- ^ Адамс, Колин С. (2004). «§2.4 Узлы и плоские графы» . Книга «Узлы: элементарное введение в математическую теорию узлов» . Американское математическое общество. стр. 51–55. ISBN 978-0-8218-3678-1 .
- ^ Учебник Entrelacs.net
- ^ Тейт, Питер Г. (1876–1877). «На узлах я» . Труды Королевского общества Эдинбурга . 28 : 145–190. дои : 10.1017/S0080456800090633 .
Пересмотрено 11 мая 1877 г.
- ^ Тейт, Питер Г. (1876–1877). «О ссылках (Аннотация)» . Труды Королевского общества Эдинбурга . 9 (98): 321–332. дои : 10.1017/S0370164600032363 .
- ^ Робертсон, Нил ; Сеймур, Пол ; Томас, Робин (1993), «Обзор бессвязных вложений», Робертсон, Нил ; Сеймур, Пол (ред.), Теория структуры графов: Proc. Совместная летняя исследовательская конференция AMS – IMS – SIAM по минорным графам (PDF) , Contemporary Mathematics, vol. 147, Американское математическое общество, стр. 125–136 .
- ^ Рамирес Альфонсин, Дж. Л. (1999), «Пространственные графы и ориентированные матроиды: трилистник», Дискретная и вычислительная геометрия , 22 (1): 149–158, doi : 10.1007/PL00009446 .
- ^ Картер, Дж. Скотт; Сайто, Масахико (1998). Узловатые поверхности и их диаграммы . Математические обзоры и монографии. Том. 55. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0593-2 . МР 1487374 .
- ^ Камада, Сейичи (2017). Поверхностные узлы в четырехмерном пространстве . Монографии Спрингера по математике. Спрингер. дои : 10.1007/978-981-10-4091-7 . ISBN 978-981-10-4090-0 . МР 3588325 .
- ^ Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988). Топология (2-е изд.). Дуврские публикации. п. 175. ИСБН 0-486-65676-4 . МР 1016814 .
- ^ Калегари, Дэнни (2007). Слоения и геометрия трехмерных многообразий . Оксфордские математические монографии. Издательство Оксфордского университета. п. 161. ИСБН 978-0-19-857008-0 . МР 2327361 .
- ^ Мазур, Барри (1959). «О вложениях сфер» . Бюллетень Американского математического общества . 65 (2): 59–65. дои : 10.1090/S0002-9904-1959-10274-3 . МР 0117693 . Браун, Мортон (1960). «Доказательство обобщенной теоремы Шенфлиса» . Бюллетень Американского математического общества . 66 (2): 74–76. дои : 10.1090/S0002-9904-1960-10400-4 . МР 0117695 . Морс, Марстон (1960). «Редукция проблемы расширения Шенфлиса» . Бюллетень Американского математического общества . 66 (2): 113–115. дои : 10.1090/S0002-9904-1960-10420-X . МР 0117694 .
- ^ Александр, JW (1924). «Пример односвязной поверхности, ограничивающей несвязную область» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 10 (1). Национальная академия наук: 8–10. Бибкод : 1924PNAS...10....8A . дои : 10.1073/pnas.10.1.8 . ISSN 0027-8424 . JSTOR 84202 . ПМЦ 1085500 . ПМИД 16576780 .
Библиография
[ редактировать ]- Адамс, Колин С. (1994). Книга «Узлы: элементарное введение в математическую теорию узлов» . У. Х. Фриман. ISBN 978-0-7167-2393-6 .
- Армстронг, Массачусетс (1983) [1979]. Базовая топология . Тексты для бакалавриата по математике . Спрингер. ISBN 0-387-90839-0 .
- Кромвель, Питер Р. (2004). Узлы и Связи . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511809767 . ISBN 0-521-83947-5 . МР 2107964 .
- Фармер, Дэвид В.; Стэнфорд, Теодор Б. (1995). Узлы и поверхности: Руководство по изучению математики . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-7265-9 .
- Ливингстон, Чарльз (1993). Теория узла . Учебники Математической ассоциации Америки. Том. 24. Математическая ассоциация Америки. ISBN 9780883850008 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]
