Число пересечений (теория узлов)
В математической области теории узлов число пересечений узла — это наименьшее количество пересечений любой диаграммы узла. Это инвариант узла .
Примеры
[ редактировать ]Например, узел имеет номер пересечения ноль , узел-трилистник — три, а узел-восьмерка — четыре. Нет других узлов с таким низким числом пересечений, и только два узла имеют номер пересечения пять, но количество узлов с определенным числом пересечений быстро увеличивается по мере увеличения числа пересечений.
Табуляция
[ редактировать ]Таблицы простых узлов традиционно индексируются по номеру пересечения с нижним индексом, указывающим, какой именно узел из узлов с таким количеством пересечений имеется в виду (этот подупорядочение не основано ни на чем конкретном, за исключением того, что торические узлы, а затем узлы скручивания) перечисляются . первый). В списке идут 3 1 (узел трилистник), 4 1 (узел восьмерка), 5 1 , 5 2 , 6 1 и т. д. Этот порядок существенно не изменился с тех пор, как П. Г. Тейт опубликовал таблицу узлов в 1877 году. [1]
Аддитивность
[ редактировать ]
Прогресс в понимании поведения числа пересечений при элементарных операциях с узлами был очень небольшим. Большой открытый вопрос заключается в том, является ли число пересечений аддитивным при подсчете сумм узлов . Ожидается также, что спутник узла K должен иметь большее число пересечений, чем K , но это не доказано .
Аддитивность числа пересечений при сумме узлов доказана для особых случаев, например, если слагаемые представляют собой чередующиеся узлы. [2] (или, в более общем смысле, адекватный узел ), или если слагаемые являются торическими узлами . [3] [4] Марк Лакенби также дал доказательство того, что существует константа N > 1 такая, что 1 / N (cr( K 1 ) + cr( K 2 )) ≤ cr( K 1 + K 2 ) , но его метод, который использует нормальные поверхности , не может улучшить N до 1. [5]
Приложения в биоинформатике
[ редактировать ]Существует связь между числом пересечений узла и физическим поведением узлов ДНК . Для простых узлов ДНК число пересечений является хорошим показателем относительной скорости узла ДНК при электрофорезе в агарозном геле . По сути, чем выше число пересечений, тем выше относительная скорость. Для составных узлов это не так, хотя условия эксперимента могут радикально изменить результаты. [6]
Связанные инварианты
[ редактировать ]Существуют связанные понятия среднего числа пересечений и асимптотического числа пересечений . Обе эти величины ограничивают стандартное число пересечений. что асимптотическое число пересечений Предполагается, равно числу пересечений.
Другие числовые инварианты узла включают номер моста , номер соединения , номер палочки и номер развязывания .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Тейт, П.Г. (1898), «О узлах I, II, III '», Научные статьи , т. 1, с. 1, Издательство Кембриджского университета, стр. 273–347.
- ^ Адамс, Колин К. (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 69 , ISBN 9780821836781 , МР 2079925
- ^ Грубер, Х. (2003), Оценки минимального числа пересечений , arXiv : math/0303273 , Bibcode : 2003math......3273G
- ^ Дяо, Юанань (2004), «Аддитивность чисел пересечения», Журнал теории узлов и ее разветвлений , 13 (7): 857–866, doi : 10.1142/S0218216504003524 , MR 2101230
- ^ Лакенби, Марк (2009), «Число пересечений составных узлов» (PDF) , Journal of Topology , 2 (4): 747–768, arXiv : 0805.4706 , doi : 10.1112/jtopol/jtp028 , MR 2574742
- ^ Саймон, Джонатан (1996), «Энергетические функции узлов: начало прогнозирования физического поведения», Месиров, Джилл П .; Шультен, Клаус; Самнерс, Де Витт (ред.), Математические подходы к биомолекулярной структуре и динамике , Тома IMA по математике и ее приложениям, том. 82, стр. 39–58, номер документа : 10.1007/978-1-4612-4066-2_4.
| Базы данных органов управления : Национальные |
|---|
