отношение мотка

Отношения мотков — это математический инструмент, используемый для изучения узлов . Центральный вопрос математической теории узлов заключается в том, представляют ли две диаграммы узлов один и тот же узел. Один из способов ответить на этот вопрос — использовать полиномы узла , которые являются инвариантами узла . Если две диаграммы имеют разные полиномы , они представляют разные узлы. Однако обратное неверно.

Отношения Скейна часто используются для простого определения полиномов узлов. Отношение мотка дает линейную связь между значениями полинома узла на наборе из трех звеньев , которые отличаются друг от друга только в небольшой области. Для некоторых узловых полиномов, таких как полиномы Конвея , Александера и Джонса , соответствующие отношения мотка достаточны для рекурсивного вычисления полинома .

Определение

Для связи мотка требуются три диаграммы связей, которые идентичны, за исключением одного пересечения. Три диаграммы должны демонстрировать три возможности, которые могут возникнуть для двух отрезков линии при этом пересечении: одна из линий может пройти ниже, та же самая линия может оказаться над или две линии могут вообще не пересечься. Необходимо учитывать диаграммы звеньев, поскольку одно изменение мотка может превратить диаграмму из узла в диаграмму, представляющую звено, и наоборот. В зависимости от рассматриваемого полинома узла звенья (или клубки), входящие в отношение мотка, могут быть ориентированными или неориентированными.

Три диаграммы обозначены следующим образом. Поверните трехзвенную диаграмму так, чтобы оба направления на рассматриваемом перекрестке были примерно на север. На одной диаграмме северо-запад будет больше северо-востока, это обозначено L ₋ . Другой будет иметь северо-восток над северо-западом, это L ₊ . На оставшейся диаграмме этого пересечения нет, и она обозначена L ₀ .

(Разметка не зависит от направления, поскольку она остается неизменной, если все направления поменялись местами. Таким образом, полиномы на ненаправленных узлах однозначно определяются этим методом. Однако направления на звеньях являются важной деталью, которую следует сохранять при рекурсивном вычислении полинома. .)

Также разумно мыслить в порождающем смысле, взяв существующую диаграмму связей и «исправив» ее, чтобы создать две другие — при условии, что исправления применяются в совместимых направлениях.

Чтобы рекурсивно определить полином узла (связи), функция F фиксирована и для любой тройки диаграмм и их полиномов, помеченных, как указано выше,

$F{\Big (}L_{-},L_{0},L_{+}{\Big )}=0$

или более педантично

$F{\Big (}L_{-}(x),L_{0}(x),L_{+}(x),x{\Big )}=0$ для всех $x$

(Найти F , который дает полиномы, независимые от последовательностей пересечений, используемых в рекурсии, — нетривиальное занятие.)

Более формально, отношение мотка можно рассматривать как определение ядра фактор отображения из планарной алгебры клубков - . Такое отображение соответствует полиному узла, если все замкнутые диаграммы приводятся к некоторому (полиномиальному) кратному образу пустой диаграммы.

Пример

Где-то в начале 1960-х годов Конвей показал, как вычислить полином Александера, используя соотношения мотков. Поскольку он рекурсивный Александера , он не такой прямой, как исходный матричный метод ; с другой стороны, часть работы, проделанной для одного узла, будет применима и к другим. В частности, сеть диаграмм одинакова для всех полиномов, связанных с мотками.

Пусть функция P переходит из диаграмм зацепления в ряд Лорана в ${\sqrt {x}}$ бытьтакой, что $P({\rm {unknot}})=1$ и тройка диаграмм отношений мотков $(L_{-},L_{0},L_{+})$ удовлетворяет уравнению

$P(L_{-})=(x^{-1/2}-x^{1/2})P(L_{0})+P(L_{+})$

Затем P отображает узел в один из его полиномов Александера.

В этом примере мы вычисляем полином Александера узла лапчатки ( ), знакопеременный узел с пятью пересечениями в его минимальной диаграмме. На каждом этапе мы показываем связь, включающую более сложную связь и две более простые диаграммы. Обратите внимание, что более сложная ссылка находится справа на каждом шаге ниже, кроме последнего. Для удобства пусть A = x ^−1/2 -х ^1/2 .

Для начала мы создадим две новые диаграммы, исправив одно из пересечений лапчатки (выделено желтым), чтобы

П ( ) = А × P ( ) + П ( )

Вторая диаграмма на самом деле представляет собой трилистник; первая диаграмма — два узла с четырьмя пересечениями. Исправление последнего

П ( ) = А × P ( ) + П ( )

снова дает трилистник и два узла с двумя пересечениями ( связь Хопфа [1] ). Исправление трилистника

П ( ) = А × P ( ) + П ( )

дает развязку и, опять же, ссылку Хопфа. Исправление ссылки Hopf

П ( ) = А × P ( ) + П ( )

дает ссылку с 0 пересечениями (отвязыванием) и развязкой. Отмена связи требует некоторой хитрости:

П ( ) = А × P ( ) + П ( )

Вычисления

Теперь у нас есть достаточно соотношений, чтобы вычислить полиномы всех встреченных нами связей, и мы можем использовать приведенные выше уравнения в обратном порядке, чтобы перейти к самому узлу лапчатки. Расчет описан в таблице ниже, где ? обозначает неизвестную величину, которую мы решаем в каждом соотношении:

имя узла	диаграммы	П (диаграмма)
		уравнение мотка	?	П полностью
развязывать		определяется как 1		x→1
отсоединить		1=А?+1	0	x→0
Ссылка Хопфа		0=А1+?	-А	x→x 1/2 -х −1/2
трилистник		1=А(-А)+?	1+А 2	x→x −1 -1+х
4 перемычки		-А=А(1+А 2 )+?	-А(2+А 2 )	х→-х −3/2 +х −1/2 -х 1/2 +х 3/2
лапчатка		1+А 2 =А(-А(2+А 2 ))+?	1+3А 2 +А 4	x→x −2 -х −1 +1-х+х 2

Таким образом, полином Александера для лапчатки равен P(x) = x ⁻² -х ⁻¹ +1 -х +х ² .

Источники

• Американское математическое общество, Узлы и их полиномы , Тематическая колонка.
• Вайсштейн, Эрик В. «Отношения мотков» . Математический мир .
• Мортон, Хью Р.; Лукач, Саша Г. (2003), «Полином ХОМФЛИ украшенного звена Хопфа», Journal of Knot Theory and Her Ramifications , 12 : 395–416, arXiv : math.GT/0108011 , doi : 10.1142/s0218216503002536 .