Ссылка Хопфа
 | |
| Длина косы | 2 |
|---|---|
| Оплетка нет. | 2 |
| Пересечение нет. | 2 |
| Гиперболический объем | 0 |
| Ссылка нет. | 1 |
| Палка нет. | 6 |
| Развязывание нет. | 1 |
| Обозначение Конвея | [2] |
| Обозначение A – B | 2 2 1 |
| Тистлтуэйт | Л2а1 |
| Последний/ следующий | Л0 / Л4а1 |
| Другой | |
| чередующийся , тор , расслоенный | |
В математической теории узлов связь — Хопфа это простейшая нетривиальная связь, состоящая более чем из одного компонента. [1] Он состоит из двух кругов, соединенных между собой ровно один раз. [2] и назван в честь Хайнца Хопфа . [3]
Геометрическая реализация [ править ]
Конкретная модель состоит из двух единичных кругов в перпендикулярных плоскостях, каждый из которых проходит через центр другого. [2] Эта модель минимизирует длину звена, и до 2002 года звено Хопфа было единственным звеном, длина троса которого была известна. [4] Выпуклая оболочка этих двух кругов образует форму, называемую олоидом . [5]
Свойства [ править ]
В зависимости от взаимной ориентации двух компонентов число связей звена Хопфа составляет ±1. [6]
Звено Хопфа представляет собой (2,2) -торическое звено . [7] с косичкой [8]
Дополнение к узлу связи Хопфа равно R × S. 1 × С 1 , цилиндр над тором . [9] Это пространство имеет локально евклидову геометрию , поэтому ссылка Хопфа не является гиперболической связью . Группа узлов зацепления Хопфа ( фундаментальная группа его дополнения) — это Z 2 ( свободная абелева группа с двумя образующими), что отличает ее от несвязной пары петель, которой является свободная группа с двумя образующими. группой [10]
Связь Хопфа не является трехцветной : невозможно раскрасить нити ее диаграммы в три цвета так, чтобы использовались по крайней мере два цвета и чтобы в каждом пересечении присутствовал один или три цвета. Каждое звено имеет только одну нить, и если обеим нитям присвоен один и тот же цвет, то используется только один цвет, а если им присвоены разные цвета, то пересечения будут иметь два цвета.
Пучок Хопфа [ править ]
— Расслоение Хопфа это непрерывная функция из 3-сферы (трехмерной поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве) в более знакомую 2-сферу , обладающая тем свойством, что прообраз каждой точки на 2-сфере представляет собой круг. Таким образом, эти изображения разлагают 3-сферу на непрерывное семейство кругов, икаждые два отдельных кружка образуют ссылку Хопфа. Это было мотивацией Хопфа для изучения зацепления Хопфа: поскольку каждые два слоя связаны, расслоение Хопфа является нетривиальным расслоением . С этого примера началось изучение гомотопических групп сфер . [11]
Биология [ править ]
Связь Хопфа также присутствует в некоторых белках. [12] [13] Он состоит из двух ковалентных петель, образованных кусочками белкового остова , замкнутыми дисульфидными связями . Топология связей Хопфа высоко консервативна в белках и повышает их стабильность. [12]
История [ править ]
Звено Хопфа названо в честь тополога Хайнца Хопфа , который рассматривал его в 1931 году как часть своего исследования расслоения Хопфа . [14] Однако в математике оно было известно Карлу Фридриху Гауссу до работ Хопфа. [3] Он также долгое время использовался за пределами математики, например, как герб Бузан-ха , японской буддийской секты, основанной в 16 веке.
См. также [ править ]
- Кольца Борромео , звено с тремя замкнутыми петлями.
- Катенан — молекула с двумя связанными петлями.
- Узел Соломона , две петли, переплетенные дважды.
Ссылки [ править ]
- ^ Адамс, Колин Конрад (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов , Американское математическое общество, стр. 151, ISBN 9780821836781 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Куснер, Роберт Б.; Салливан, Джон М. (1998), «Об искажении и толщине узлов», Топология и геометрия в науке о полимерах (Миннеаполис, Миннесота, 1996) , IMA Vol. Математика. Приложение, вып. 103, Нью-Йорк: Springer, стр. 67–78, номер документа : 10.1007/978-1-4612-1712-1_7 , MR 1655037 . См., в частности, стр. 77 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Прасолов В.В.; Сосинский А.Б. (1997), Узлы, связи, косы и трехмерные многообразия: введение в новые инварианты в низкоразмерной топологии , Переводы математических монографий, том. 154, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, с. 6, ISBN 0-8218-0588-6 , МР 1414898 .
- ^ Кантарелла, Джейсон; Куснер, Роберт Б.; Салливан, Джон М. (2002), «О минимальной длине узлов и звеньев», Inventiones Mathematicae , 150 (2): 257–286, arXiv : math/0103224 , Bibcode : 2002InMat.150..257C , doi : 10.1007 /s00222-002-0234-y , MR 1933586 , S2CID 730891 .
- ^ Дирнбёк, Ганс; Стачел, Хельмут (1997), «Развитие олоида» (PDF) , Журнал геометрии и графики , 1 (2): 105–118, MR 1622664 .
- ^ Адамс (2004) , с. 21 .
- ^ Кауфман, Луи Х. (1987), О узлах , Анналы математических исследований, том. 115, Издательство Принстонского университета, с. 373, ISBN 9780691084350 .
- ^ Адамс (2004) , Упражнение 5.22, с. 133 .
- ^ Тураев, Владимир Г. (2010), Квантовые инварианты узлов и 3-многообразий , Исследования Де Грюйтера по математике, том. 18, Вальтер де Грюйтер, с. 194, ISBN 9783110221831 .
- ^ Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , с. 24, ISBN 9787302105886 .
- ^ Шастри, Анант Р. (2013), Основная алгебраическая топология , CRC Press, стр. 368, ISBN 9781466562431 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Домбровский-Туманский, Павел; Сулковска, Джоанна И. (28 марта 2017 г.), «Топологические узлы и связи в белках», Труды Национальной академии наук , 114 (13): 3415–3420, Бибкод : 2017PNAS..114.3415D , doi : 10.1073 /pnas.1615862114 , ISSN 0027-8424 , PMC 5380043 , PMID 28280100
- ^ Домбровский-Туманский, Павел; Ярмолинская, Александра И.; Немышка, Ванда; Родон, Эрик Дж.; Миллетт, Кеннет К.; Сулковска, Джоанна И. (04 января 2017 г.), «LinkProt: база данных, собирающая информацию о биологических связях», Nucleic Acids Research , 45 (D1): D243–D249, doi : 10.1093/nar/gkw976 , ISSN 0305-1048 , PMC 5210653 , PMID 27794552
- ^ Хопф, Хайнц (1931), «Об отображениях трехмерной сферы на сферическую поверхность» , Mathematical Annals , 104 (1), Берлин: Springer : 637–665, doi : 10.1007/BF01457962 , S2CID 123533891 .
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. , «Ссылка Хопфа» , MathWorld
- « Ссылка Хопфа », Атлас узлов .
- «LinkProt» — база данных известных белковых связей.
