Олоид

Олоид , — это трехмерный изогнутый геометрический объект открытый Паулем Шацем в 1929 году. Это выпуклая оболочка скелетного каркаса, созданная путем размещения двух связанных конгруэнтных кругов в перпендикулярных плоскостях так, что центр каждого круга лежит на краю. другого круга. Расстояние между центрами кругов равно радиусу кругов. Одна треть периметра каждого круга лежит внутри выпуклой оболочки, поэтому такая же форма может быть сформирована как выпуклая оболочка двух оставшихся дуг окружности, каждая из которых охватывает угол 4π/3.

Площадь поверхности и объем

Площадь поверхности олоида определяется как: ^[1]

A=4\pi r^{2}

точно такая же, как площадь поверхности сферы того же радиуса. В закрытом виде закрытый объем представляет собой ^[1]^[2]

V={\frac {2}{3}}\left(2E\left({\frac {3}{4}}\right)+K\left({\frac {3}{4}}\right)\right)r^{3}

,

где $K$ и $E$ обозначают полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно.Численный расчет дает

V\approx 3.0524184684r^{3}

.

Кинетика

Поверхность олоида представляет собой развертывающуюся поверхность , что означает, что участки поверхности можно сплющить в плоскость. При перекатывании он развивает всю свою поверхность : каждая точка поверхности олоида в какой-то момент движения качения касается плоскости, по которой он катится. ^[1] В отличие от большинства осесимметричных объектов ( цилиндра , сферы и т. д.), при катании по плоской поверхности его центр масс совершает меандровое, а не линейное движение . В каждом цикле прокатки расстояние между центром масс олоида и поверхностью прокатки имеет два минимума и два максимума. Разница между максимальной и минимальной высотой определяется выражением

\Delta h=r\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}-{3}{\frac {\sqrt {3}}{8}}\right)\approx 0.0576r

,

где $r$ - радиус дуг окружности олоида. Поскольку эта разница довольно мала, движение олоида относительно плавное.

В каждой точке во время этого вращающегося движения олоид касается плоскости на отрезке прямой . Длина этого сегмента остается неизменной на протяжении всего движения и определяется выражением: ^[1]^[3]

l={\sqrt {3}}r

.

Связанные фигуры

Сферикон полукругов выпуклая оболочка двух — это в перпендикулярных плоскостях с центрами в одной точке. Его поверхность состоит из кусочков четырёх конусов. По форме он напоминает олоид и, как и он, представляет собой развертывающуюся поверхность , которую можно развивать прокаткой. Однако его экватор представляет собой квадрат с четырьмя острыми углами, в отличие от олеида, у которого острых углов нет.

Другой объект, называемый двухкруговым роликом , состоит из двух перпендикулярных кругов, расстояние между их центрами которых в √2 раза больше их радиуса , что дальше друг от друга, чем у олеида.Его можно либо сформировать (как олоид) как выпуклую оболочку кругов, либо использовать только два диска, ограниченные двумя кругами. В отличие от олоида его центр тяжести находится на постоянном расстоянии от пола, поэтому он катится более плавно, чем олоид. ^{[ нужна ссылка ]}

В популярной культуре

В 1979 году современный танцор Алан Бодинг спроектировал свою скульптуру «Идущий по кругу» из двух крестообразных полукругов, образующих скелетную версию сферикона , формы с вращающимся движением, подобным олоиду. Он начал танцевать с увеличенной версией скульптуры в 1980 году в рамках программы магистра искусств по скульптуре в Университете Индианы , а после того, как он присоединился к танцевальной труппе MOMIX в 1984 году, это произведение стало включено в выступления труппы. ^[4]^[5] Более позднее произведение компании «Ловец снов» основано на другой скульптуре Бодинга, соединенные каплевидные формы которой включают в себя скелет и вращающееся движение олоида. ^[6]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Дирнбёк, Ганс; Стачел, Хельмут (1997), «Развитие олоида» (PDF) , Журнал геометрии и графики , 1 (2): 105–118, MR 1622664 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A215447» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Кулешов Александр С.; Хаббард, Монт; Петерсон, Дейл Л.; Геде, Гилберт (2011), «Движение олоидной игрушки», Proc. 7-я Европейская конференция по нелинейной динамике, 24–29 июля 2011 г., Рим, Италия (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 28 декабря 2013 г. , получено 6 ноября 2013 г.
^ Грин, Джудит (2 мая 1991 г.), «попадания и промахи в Momix: это не совсем танец, но иногда это искусство» , Обзор танцев, San Jose Mercury News
^ Бодинг, Алан (27 апреля 1988 г.), «Круговые танцы» , The Christian Science Monitor.
^ Андерсон, Джек (8 февраля 2001 г.), «Прыгающие ящерицы и странные обитатели пустыни» , Dance Review, The New York Times

Литература

Тобиас Лангшайд, Тило Рихтер (ред.): Олоид - форма будущего. При участии Дирка Бетчера, Андреаса Шике, Генриха Фронцека и др., niggli Verlag 2023, ISBN 978-3-7212-1025-5

Внешние ссылки

Катящийся олоид , снято в швейцарском научном центре Технорама , Винтертур, Швейцария.
Бумажная модель из олоида Сделайте свой собственный олоид.
Сетка олоида. Полигональная сетка олоида и код для ее создания.

[development-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Дирнбёк, Ганс; Стачел, Хельмут (1997), «Развитие олоида» (PDF) , Журнал геометрии и графики , 1 (2): 105–118, MR 1622664 .

[2] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A215447» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[3] Кулешов Александр С.; Хаббард, Монт; Петерсон, Дейл Л.; Геде, Гилберт (2011), «Движение олоидной игрушки», Proc. 7-я Европейская конференция по нелинейной динамике, 24–29 июля 2011 г., Рим, Италия (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 28 декабря 2013 г. , получено 6 ноября 2013 г.

[4] Грин, Джудит (2 мая 1991 г.), «попадания и промахи в Momix: это не совсем танец, но иногда это искусство» , Обзор танцев, San Jose Mercury News

[5] Бодинг, Алан (27 апреля 1988 г.), «Круговые танцы» , The Christian Science Monitor.

[6] Андерсон, Джек (8 февраля 2001 г.), «Прыгающие ящерицы и странные обитатели пустыни» , Dance Review, The New York Times

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]