Развертывающаяся поверхность

Цилиндр является примером развертывающейся поверхности.

В математике ( развертывающаяся поверхность или торс : архаика) — это гладкая поверхность с нулевой гауссовой кривизной . То есть это поверхность, которую можно сплющить на плоскость без искажений (т. е. ее можно согнуть без растяжения или сжатия). И наоборот, это поверхность, которую можно создать путем преобразования плоскости (т.е. «сгибания», «сгибания», «прокатывания», «резания» и/или «склеивания»). В трех измерениях все развертывающиеся поверхности являются линейчатыми (но не наоборот). существуют развертывающиеся поверхности В четырехмерном пространстве ⁠ $\mathbb {R} ^{4}$ ⁠ которые не управляются. ^[1]

Оболочка семейства плоскостей с одним параметром называется развертывающейся поверхностью.

Подробности

К развертывающимся поверхностям, которые можно реализовать в трехмерном пространстве, относятся:

Цилиндры и, в более общем смысле, «обобщенный» цилиндр; его поперечное сечение может представлять собой любую плавную кривую
Конусы и, в более общем плане, конические поверхности ; далеко от вершины
Олоид , и сферикон относятся к особому семейству твердых тел у которых вся поверхность развивается при скатывании по плоской плоскости.
Самолеты (тривиально); который можно рассматривать как цилиндр, поперечное сечение которого представляет собой линию
Касательные развертывающиеся поверхности; которые строятся путем продолжения касательных линий пространственной кривой.
Тор имеет метрику , при которой он развертывается, и которую можно вложить в трехмерное пространство по теореме вложения Нэша. ^[2] и имеет простое представление в четырех измерениях как декартово произведение двух окружностей: см. тор Клиффорда .

Формально в математике развертывающаяся поверхность — это поверхность с нулевой гауссовой кривизной . Одним из следствий этого является то, что все «развертывающиеся» поверхности, встроенные в трехмерное пространство, являются линейчатыми поверхностями (хотя гиперболоиды являются примерами линейчатых поверхностей, которые невозможно развернуть). Благодаря этому многие развертывающиеся поверхности можно представить как поверхность, образованную перемещением прямой линии в пространстве. Например, конус формируется путем фиксации одной конечной точки линии при перемещении другой конечной точки по кругу .

Приложение

Развертывающиеся поверхности имеют несколько практических применений.

Развертывающиеся механизмы — это механизмы, которые соответствуют развертывающейся поверхности и могут двигаться (развертываться) вне поверхности. ^[3]^[4]

Многие картографические проекции включают проецирование Земли на развертывающуюся поверхность, а затем «развертывание» поверхности в область на плоскости.

Поскольку развертывающиеся поверхности можно получить путем сгибания плоского листа, они важны также при изготовлении предметов из листового металла , картона и фанеры . Отраслью , широко использующей развитые поверхности, является судостроение . ^[5]

Неразвертывающаяся поверхность

Большинство гладких поверхностей (и большинство поверхностей в целом) не являются развертываемыми поверхностями. Неразвертывающиеся поверхности по-разному называют имеющими « двойную кривизну », « двойную кривизну », « сложную кривизну », « ненулевую гауссову кривизну » и т. д.

Некоторые из наиболее часто используемых неразвертывающихся поверхностей:

Сферы не являются развертывающимися поверхностями ни в какой метрике , поскольку их нельзя развернуть на плоскость.
Геликоид представляет собой линейчатую поверхность, но в отличие от упомянутых выше линейчатых поверхностей он не является развертывающейся поверхностью.
Гиперболический параболоид и гиперболоид представляют собой немного разные поверхности с двойной линейкой, но в отличие от упомянутых выше линейчатых поверхностей ни одна из них не является развертывающейся поверхностью.

Применение неразвертывающихся поверхностей

Многие сетчатые оболочки , натяжные конструкции и подобные конструкции приобретают прочность за счет использования (любой) двойной изогнутой формы.

См. также

Ссылки

^ Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, стр. 341–342, ISBN. 978-0-8284-1087-8
^ Боррелли, В.; Джабране, С.; Лазарус, Ф.; Тиберт, Б. (апрель 2012 г.), «Плоские торы в трехмерном пространстве и выпуклая интеграция», Proceedings of the National Academy of Sciences , 109 (19): 7218–7223, doi : 10.1073/pnas.1118478109 , PMC 3358891 , ПМИД 22523238 .
^ «Развертывающиеся механизмы | О развертывающихся механизмах» . совместимые механизмы . Проверено 14 февраля 2019 г.
^ Хауэлл, Ларри Л.; Ланг, Роберт Дж.; Мэглби, Спенсер П.; Циммерман, Трент К.; Нельсон, Тодд Г. (13 февраля 2019 г.). «Развертывающиеся механизмы на развертывающихся поверхностях» . Научная робототехника . 4 (27): eaau5171. doi : 10.1126/scirobotics.aau5171 . ISSN 2470-9476 . ПМИД 33137737 .
^ Нолан, Т.Дж. (1970), Компьютерное проектирование развертываемых поверхностей корпуса , Анн-Арбор: University Microfilms International

Внешние ссылки

[1] Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, стр. 341–342, ISBN. 978-0-8284-1087-8

[2] Боррелли, В.; Джабране, С.; Лазарус, Ф.; Тиберт, Б. (апрель 2012 г.), «Плоские торы в трехмерном пространстве и выпуклая интеграция», Proceedings of the National Academy of Sciences , 109 (19): 7218–7223, doi : 10.1073/pnas.1118478109 , PMC 3358891 , ПМИД 22523238 .

[3] «Развертывающиеся механизмы | О развертывающихся механизмах» . совместимые механизмы . Проверено 14 февраля 2019 г.

[4] Хауэлл, Ларри Л.; Ланг, Роберт Дж.; Мэглби, Спенсер П.; Циммерман, Трент К.; Нельсон, Тодд Г. (13 февраля 2019 г.). «Развертывающиеся механизмы на развертывающихся поверхностях» . Научная робототехника . 4 (27): eaau5171. doi : 10.1126/scirobotics.aau5171 . ISSN 2470-9476 . ПМИД 33137737 .

[5] Нолан, Т.Дж. (1970), Компьютерное проектирование развертываемых поверхностей корпуса , Анн-Арбор: University Microfilms International

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]