Касательная развертывающаяся

Касательная, разворачивающаяся к спирали

В математическом исследовании дифференциальной геометрии поверхностей касательная развертывающаяся поверхность — это особый вид развертывающейся поверхности, полученной из кривой в евклидовом пространстве как поверхность, выметаемая касательными линиями к кривой. Такая поверхность также является огибающей касательных плоскостей к кривой.

Параметризация

Позволять $\gamma (t)$ быть параметризацией гладкой пространственной кривой. То есть, $\gamma$ - это дважды дифференцируемая функция с никуда не исчезающей производной, отображающая ее аргумент $t$ ( действительное число ) в точку пространства; кривая — это изображение $\gamma$ . Тогда двумерная поверхность, касательная развертывается к $\gamma$ , может быть параметризован картой

(s,t)\mapsto \gamma (t)+s\gamma {\,'}(t).

^[1]

Исходная кривая образует границу развертывающейся касательной и называется ее директрисой или ребром регрессии. Эта кривая получается путем сначала развертывания поверхности в плоскость, а затем рассмотрения изображения в плоскости образующих линейки на поверхности. Огибающей этого семейства линий является плоская кривая, прообразом которой при развитии является край регресса. Интуитивно, это кривая, по которой поверхность нужно сложить в процессе развертывания в плоскость.

Характеристики

Касательная развертывающаяся поверхность является развертывающейся поверхностью ; то есть это поверхность с нулевой гауссовой кривизной . Это один из трех основных типов развертывающейся поверхности; два других — это обобщенные конусы (поверхности, очерченные одномерным семейством прямых, проходящих через неподвижную точку), и цилиндры (поверхности, очерченные одномерным семейством параллельных линий ). ( Плоскость иногда относят к четвертому типу или ее можно рассматривать как частный случай любого из этих двух типов.) Любая развертывающаяся поверхность в трехмерном пространстве может быть образована путем склеивания частей этих трех типов; отсюда следует, что всякая развертывающаяся поверхность есть линейчатая поверхность , объединение одномерного семейства прямых. ^[2] Однако не каждая линейчатая поверхность развертывается; геликоид представляет собой контрпример.

Касательная, развернутая к кривой, содержащей точку нулевого кручения, будет содержать самопересечение.

История

Касательные развертки были впервые изучены Леонардом Эйлером в 1772 году. ^[3] До этого времени единственными известными развертывающимися поверхностями были обобщенные конусы и цилиндры. Эйлер показал, что касательные развертывающиеся поверхности развертываются и что каждая развертывающаяся поверхность принадлежит к одному из этих типов. ^[2]

Примечания

^ Прессли, Эндрю (2010), Элементарная дифференциальная геометрия , Springer, стр. 129, ISBN 978-1-84882-890-2 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Лоуренс, Снежана (2011), «Развертывающиеся поверхности: их история и применение», Nexus Network Journal , 13 (3): 701–714, doi : 10.1007/s00004-011-0087-z .
^ Эйлер, Л. (1772), «О твердых телах, поверхность которых можно объяснить на плоскости» , Новые комментарии Петрополитанской академии наук (на латыни), 16 : 3–34 .

Ссылки

Струик, Дирк Ян (1961), Лекции по классической дифференциальной геометрии , Аддисон-Уэсли .
Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-1087-8
Сабитов, И.Х. (2001) [1994], «Развертывающаяся поверхность» , Математическая энциклопедия , EMS Press
Войцеховский, М.И. (2001) [1994], «Грань регресса» , Энциклопедия Математики , EMS Press

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Развертывание касательной» . Математический мир .

[1] Прессли, Эндрю (2010), Элементарная дифференциальная геометрия , Springer, стр. 129, ISBN 978-1-84882-890-2 .

[lawrence-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Лоуренс, Снежана (2011), «Развертывающиеся поверхности: их история и применение», Nexus Network Journal , 13 (3): 701–714, doi : 10.1007/s00004-011-0087-z .

[3] Эйлер, Л. (1772), «О твердых телах, поверхность которых можно объяснить на плоскости» , Новые комментарии Петрополитанской академии наук (на латыни), 16 : 3–34 .

[1]

[2]

[3]