Кручение кривой

Чтобы узнать о других понятиях кручения, см. Торсион (значения) .

В дифференциальной геометрии кривых в трех измерениях кручение насколько кривой измеряет, резко она выходит из соприкасающейся плоскости . Взятые вместе, кривизна и кручение пространственной кривой аналогичны кривизне плоской кривой . Например, они являются коэффициентами в системе дифференциальных уравнений для системы Френе, заданной формулами Френе–Серре .

Определение

Анимация кручения и соответствующего вращения вектора бинормали.

Пусть r — пространственная кривая, параметризованная длиной дуги s и с единичным касательным вектором T . Если кривизна κ точки r в определенной точке не равна нулю, то главный вектор нормали и вектор бинормали в этой точке являются единичными векторами.

$\mathbf {N} ={\frac {\mathbf {T} '}{\kappa }},\quad \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N}$

соответственно, где штрих обозначает производную вектора по параметру s . Кручение . τ измеряет скорость вращения вектора бинормали в данной точке Он находится из уравнения

$\mathbf {B} '=-\tau \mathbf {N} .$

что означает

$\tau =-\mathbf {N} \cdot \mathbf {B} '.$

Как $\mathbf {N} \cdot \mathbf {B} =0$, это эквивалентно $\tau =\mathbf {N} '\cdot \mathbf {B}$.

Примечание . Производная вектора бинормали перпендикулярна как бинормали, так и касательной, следовательно, она должна быть пропорциональна главному вектору нормали. Отрицательный знак — это просто условность: это побочный продукт исторического развития предмета.

Геометрическая значимость: кручение τ ( s ) измеряет поворот бинормального вектора. Чем больше кручение, тем быстрее вектор бинормали вращается вокруг оси, заданной вектором касательной (см. графические иллюстрации ). На анимированном рисунке хорошо видно вращение вектора бинормали в вершинах торсионной функции.

Характеристики

• Плоская кривая с неисчезающей кривизной имеет нулевое кручение во всех точках. Обратно, если кручение регулярной кривой ненулевой кривизны тождественно равно нулю, то эта кривая принадлежит неподвижной плоскости.
• Кривизна и кручение спирали постоянны . И наоборот, любая пространственная кривая, кривизна и кручение которой постоянны и отличны от нуля, является спиралью. Кручение положительное для правши. спирали и отрицательна для левосторонней.

Альтернативное описание

Пусть r = r ( t ) — параметрическое уравнение пространственной кривой. Предположим, что это регулярная параметризация и кривизна кривой не обращается в нуль. Аналитически r ( t ) — это трижды дифференцируемая функция от t со значениями в R ³ и векторы

$\mathbf {r'} (t),\mathbf {r''} (t)$

независимы линейно .

Тогда кручение можно вычислить по следующей формуле:

$\tau ={\frac {\det \left({\mathbf {r} ',\mathbf {r} '',\mathbf {r} '''}\right)}{\left\|{\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}\right\|^{2}}}={\frac {\left({\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}\right)\cdot \mathbf {r} '''}{\left\|{\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}\right\|^{2}}}.$

Здесь штрихи обозначают производные по t , а крестик обозначает векторное произведение . Для r = ( x , y , z ) формула в компонентах имеет вид

$\tau ={\frac {x'''\left(y'z''-y''z'\right)+y'''\left(x''z'-x'z''\right)+z'''\left(x'y''-x''y'\right)}{\left(y'z''-y''z'\right)^{2}+\left(x''z'-x'z''\right)^{2}+\left(x'y''-x''y'\right)^{2}}}.$

Ссылки

• Прессли, Эндрю (2001), Элементарная дифференциальная геометрия , Серия статей по математике для студентов Springer, Springer-Verlag , ISBN  1-85233-152-6