Формулы Френе – Серре
В дифференциальной геометрии формулы Френе –Серре описывают кинематические свойства частицы, движущейся по дифференцируемой кривой в трехмерном евклидовом пространстве. или геометрические свойства самой кривой независимо от любого движения. Более конкретно, формулы описывают производные так называемых касательных, нормальных и бинормальных единичных векторов относительно друг друга. Формулы названы в честь двух французских математиков, которые независимо открыли их: Жана Фредерика Френе в его диссертации 1847 года и Жозефа Альфреда Серре в 1851 году. Векторные обозначения и линейная алгебра, используемые в настоящее время для записи этих формул, в то время еще не были доступны. их открытия.
Касательные, нормальные и бинормальные единичные векторы, часто называемые T , N и B , или вместе фрейм Френе-Серре или фрейм TNB , вместе образуют ортонормированный базис, охватывающий и определяются следующим образом:
- T — единичный вектор, касательный к кривой, указывающий направление движения.
- N — нормальный единичный вектор, производная от T по параметру длины дуги кривой, деленная на ее длину.
- B бинормальный единичный вектор, произведение T — и N. векторное
Формулы Френе-Серре:
где d / ds — производная по длине дуги, κ — кривизна , а τ — кручение кривой. Два скаляра κ и τ эффективно определяют кривизну и кручение пространственной кривой. Соответствующий набор T , N , B , κ и τ называется аппаратом Френе-Серре . Интуитивно понятно, что кривизна измеряет неспособность кривой быть прямой линией, а кручение измеряет неспособность кривой быть плоской.
Определения
[ редактировать ]Пусть r ( t ) — кривая в евклидовом пространстве , представляющая вектор положения частицы как функцию времени. Формулы Френе-Серре применяются к невырожденным кривым , что примерно означает, что они имеют ненулевую кривизну . Более формально, в этой ситуации скорости вектор r '( t ) и ускорения вектор r '( t ) должны быть не пропорциональны.
Пусть s ( t ) представляет собой длину дуги , которую частица прошла вдоль кривой за время t . Величина s используется для того, чтобы придать кривой, описываемой траекторией частицы, естественную параметризацию по длине дуги (т. е. параметризацию длины дуги ), поскольку множество различных траекторий частицы могут прослеживать одну и ту же геометрическую кривую, пересекая ее с разной скоростью. Более подробно, s определяется выражением
Более того, поскольку мы предположили, что r ′ ≠ 0, отсюда следует, что s ( t ) — строго монотонно возрастающая функция. Следовательно, можно найти t как функцию от s и, таким образом, записать r ( s ) = r ( t ( s )). Таким образом, кривая параметризуется предпочтительным образом по длине дуги.
С помощью невырожденной кривой r ( s ), параметризованной длиной дуги, теперь можно определить кадр Френе-Серре (или кадр TNB ):
- Касательный единичный вектор T определяется как
- Нормальный единичный вектор N определяется как из чего следует, поскольку Т всегда имеет единичную величину , что N (изменение Т ) всегда перпендикулярно Т нет , поскольку изменения длины Т . Обратите внимание, что, вызывая кривизну мы автоматически получаем первое соотношение.
- Бинормальный единичный вектор определяется как векторное произведение T B и N :
откуда следует, что всегда перпендикулярен как T , так и N. B Таким образом, все три единичных вектора T , N и B перпендикулярны друг другу.
Формулы Френе-Серре :
где это кривизна и это кручение .
Формулы Френе-Серре также известны как теорема Френе-Серре и могут быть сформулированы более кратко, используя матричную запись: [1]
Эта матрица является кососимметричной .
Формулы в n измерениях
[ редактировать ]Формулы Френе-Серре были обобщены на многомерные евклидовы пространства Камиллой Жорданом в 1874 году.
Предположим, что r ( s ) — гладкая кривая в и что первые n производные r линейно независимы. [2] Векторы в системе Френе–Серре представляют собой ортонормированный базис , построенный путем применения процесса Грамма-Шмидта к векторам ( r ′( s ), r »( s ), ..., r ( н ) ( с )).
Более подробно, единичный касательный вектор представляет собой первый вектор Френе e 1 ( s ) и определяется как
где
Вектор нормали , иногда называемый вектором кривизны , указывает на отклонение кривой от прямой линии. Это определяется как
Его нормализованная форма, единичный вектор нормали , представляет собой второй вектор Френе e 2 ( s ) и определяется как
Касательная и вектор нормали в точке s определяют соприкасающуюся плоскость в точке r ( s ).
Остальные векторы в системе координат (бинормаль, тринормаль и т. д.) определяются аналогично
Последний вектор в кадре определяется векторным произведением первого векторы:
Действительные функции, используемые ниже χ i ( s ), называются обобщенной кривизной и определяются как
Формулы Френе–Серре , изложенные на матричном языке, имеют вид
Обратите внимание, что, как определено здесь, обобщенные кривизны и рамка могут немного отличаться от соглашений, встречающихся в других источниках.Верхняя кривизна (в этом контексте также называемый кручением) и последний вектор в кадре ,отличаться знаком
(ориентация основания) от обычного кручения.Формулы Френе – Серре инвариантны при изменении знака обеих и , и эта смена знака делает рамку положительно ориентированной. Как определено выше, рамка наследует свою ориентацию от струи .
Доказательство формул Френе-Серре.
[ редактировать ]Первая формула Френе-Серре справедлива по определению нормали N и кривизны κ, а третья формула Френе-Серре справедлива по определению кручения τ. Таким образом, необходимо показать вторую формулу Френе-Серре.
Поскольку T , N и B являются ортогональными единичными векторами с B = T × N , также имеется T = N × B и N = B × T . Дифференцирование последнего уравнения по s дает
∂ N /∂s = (∂ B /∂s) × T + B × (∂ T /∂s)
Учитывая, что ∂ B /∂s = -τ N и ∂ T /∂s = κ N , это становится
∂ N / ∂s знак равно -τ ( N × Т ) + κ ( B × N )
= τ B - κ T
Это и есть вторая формула Френе-Серре.
Приложения и интерпретация
[ редактировать ]Кинематика рамы
[ редактировать ]Фрейм Френе–Серре, состоящий из касательной T , нормали N и бинормали B, вместе образует ортонормированный базис трехмерного пространства. В каждой точке кривой прикрепляется система отсчета или прямолинейная система координат (см. изображение).
Формулы Френе–Серре допускают кинематическую интерпретацию. Представьте, что наблюдатель движется по кривой во времени, используя прикрепленную в каждой точке систему координат в качестве системы координат. Формулы Френе-Серре означают, что эта система координат постоянно вращается по мере движения наблюдателя по кривой. Следовательно, эта система координат всегда неинерциальна . Угловой момент системы координат наблюдателя пропорционален вектору Дарбу системы отсчета.
Конкретно, предположим, что наблюдатель несет с собой (инерционный) волчок (или гироскоп ) вдоль кривой. Если ось вершины указывает по касательной к кривой, то будет наблюдаться ее вращение вокруг своей оси с угловой скоростью -τ относительно неинерциальной системы координат наблюдателя. Если, с другой стороны, ось вершины направлена в бинормальном направлении, то наблюдается вращение с угловой скоростью -κ. Это легко визуализировать в случае, когда кривизна является положительной константой и кручение исчезает. Наблюдатель тогда находится в равномерном круговом движении . Если вершина направлена в сторону бинормали, то в силу сохранения углового момента она должна вращаться в направлении, противоположном круговому движению. В предельном случае, когда кривизна исчезает, нормаль наблюдателя прецессирует вокруг касательного вектора, и аналогично волчок будет вращаться в направлении, противоположном этой прецессии.
Общий случай показан ниже . есть Дополнительные иллюстрации в Викимедиа.
Приложения
[ редактировать ]Кинематика рамы имеет множество применений в науке.
- В науках о жизни , особенно в моделях движения микробов, соображения системы Френе-Серре использовались для объяснения механизма, с помощью которого движущийся организм в вязкой среде меняет свое направление. [3]
- В физике система Френе – Серре полезна, когда невозможно или неудобно задать естественную систему координат траектории. Так часто бывает, например, в теории относительности . В рамках этой настройки системы Френе-Серре использовались для моделирования прецессии гироскопа в гравитационной яме. [4]
Графические иллюстрации
[ редактировать ]- Пример перемещения базиса Френе ( T — синий, N — зеленый, B — фиолетовый) по кривой Вивиани .
- На примере торического узла отображаются касательный вектор T , вектор нормали N и вектор бинормали B , а также кривизна κ(s) и кручение τ(s).
В максимумах торсионной функции вращение системы Френе–Серре ( T , N , B ) вокруг касательного вектора. отчетливо видно
- Кинематическое значение кривизны лучше всего иллюстрируется плоскими кривыми (имеющими постоянное кручение, равное нулю). См. страницу о кривизне плоских кривых .
Формулы Френе – Серре в исчислении
[ редактировать ]Формулы Френе-Серре часто вводятся в курсах по исчислению многих переменных как дополнение к изучению пространственных кривых, таких как спираль . Спираль можно охарактеризовать высотой 2π h и радиусом r одного витка . Кривизна и кручение спирали (постоянного радиуса) определяются формулами
Знак кручения определяется правосторонним или левосторонним закручиванием спирали вокруг своей центральной оси. В явном виде параметризация одного витка правой спирали высотой 2π h и радиусом r равна
- х = р, потому что т
- y = r грех т
- z = час т
- (0 ≤ т ≤ 2π)
а для левой спирали
- х = р, потому что т
- y = − r грех т
- z = час т
- (0 ≤ t ≤ 2π).
Обратите внимание, что это не параметризация длины дуги (в этом случае каждое из x , y и z нужно будет разделить на .)
В своих разъяснительных работах по геометрии кривых Руди Ракер [5] использует модель пружины, чтобы объяснить значение скручивания и кривизны. Слинки, по его словам, характеризуются тем свойством, что количество
остается постоянным, если пружинка вытянута вертикально вдоль центральной оси. (Здесь 2π h — высота одного поворота пружины, а r — радиус.) В частности, кривизна и кручение дополняют друг друга в том смысле, что кручение можно увеличить за счет кривизны, растягивая пружину.
Расширение Тейлора
[ редактировать ]Многократное дифференцирование кривой и применение формул Френе – Серре дает следующее приближение Тейлора к кривой вблизи s = 0, если кривая параметризована длиной дуги: [6]
Для общей кривой с неисчезающим кручением проекции кривой на различные координатные плоскости в системе координат T , N , B при s = 0 имеют следующую интерпретацию:
- Соприкасающаяся плоскость — это плоскость содержащая T и N. , Проекция кривой на эту плоскость имеет вид: Это парабола с точки зрения порядка , кривизна которого в точке 0 равна κ (0). Соприкасающаяся плоскость обладает особым свойством: расстояние от кривой до соприкасающейся плоскости равно , а расстояние от кривой до любой другой плоскости не лучше, чем . Это видно из приведенного выше расширения Тейлора. Таким образом, в некотором смысле соприкасающаяся плоскость является ближайшей плоскостью к кривой в данной точке.
- Нормальная плоскость — это плоскость, N и B. содержащая Проекция кривой на эту плоскость имеет вид: которая является возвратной кубикой порядка o ( s 3 ).
- Выпрямляющая плоскость — это плоскость, T и B. содержащая Проекция кривой на эту плоскость равна: который вычерчивает график кубического полинома порядка o ( s 3 ).
Ленты и трубочки
[ редактировать ]Аппарат Френе-Серре позволяет определить некоторые оптимальные ленты и трубки, центрированные вокруг кривой. Они имеют разнообразные применения в материаловедении и теории упругости . [7] а также компьютерной графике . [8]
Лента Френе [9] вдоль кривой C — это поверхность, очерченная путем проведения отрезка [− N , N ], образованного единичной нормалью вдоль кривой. Эту поверхность иногда путают с касательной разверткой , которая является E соприкасающихся плоскостей C. огибающей что и лента Френе, и E обладают схожими свойствами вдоль C. Возможно, это связано с тем , А именно, касательные плоскости обоих листов E вблизи особого места C, где эти листы пересекаются, приближаются к соприкасающимся плоскостям C ; касательные плоскости ленты Френе вдоль C равны этим соприкасающимся плоскостям. Лента Френе вообще не разворачивается.
Конгруэнтность кривых
[ редактировать ]В классической евклидовой геометрии интересуют исследования свойств фигур на плоскости, которые инвариантны относительно конгруэнтности, так что, если две фигуры конгруэнтны, они должны иметь одинаковые свойства. Аппарат Френе-Серре представляет кривизну и кручение как числовые инварианты пространственной кривой.
Грубо говоря, две кривые C и C ′ в пространстве конгруэнтны , если одну можно жестко переместить в другую. Жесткое движение состоит из комбинации поступательного движения и вращения. Трансляция перемещает одну точку C в точку C ′. Затем вращение корректирует ориентацию кривой C так, чтобы она совпадала с ориентацией C ′. Такая комбинация перемещения и вращения называется евклидовым движением . С точки зрения параметризации r ( t ), определяющей первую кривую C , общее евклидово движение C представляет собой комбинацию следующих операций:
- ( Перевод ) r ( t ) → r ( t ) + v , где v — постоянный вектор.
- ( Вращение ) r ( t ) + v → M ( r ( t ) + v ), где M — матрица вращения.
Система Френе-Серре особенно хорошо себя ведет по отношению к евклидовым движениям. Во-первых, поскольку все T , N и B могут быть заданы как последовательные производные параметризации кривой, каждый из них нечувствителен к добавлению постоянного вектора к r ( t ). Интуитивно понятно, что кадр TNB, прикрепленный к r ( t ), аналогичен кадру TNB, прикрепленному к новой кривой r ( t ) + v .
При этом остается учитывать только вращения. Интуитивно понятно, что если мы применим поворот M к кривой, то кадр TNB также будет вращаться. Точнее, матрица Q , строки которой являются векторами TNB системы Френе–Серре, изменяется на матрицу вращения
Тем более , матрица dQ / ds Q Т не зависит от вращения:
с тех пор как ММ Т = I для матрицы вращения.
Следовательно, элементы κ и τ dQ / ds Q Т являются инвариантами кривой относительно евклидовых движений: если к кривой приложить евклидово движение, то полученная кривая будет иметь ту же кривизну и кручение.
Более того, используя систему Френе–Серре, можно доказать и обратное: любые две кривые, имеющие одинаковые функции кривизны и кручения, должны быть конгруэнтны евклидовым движением. Грубо говоря, формулы Френе–Серре выражают производную Дарбу кадра TNB . Если производные Дарбу двух систем отсчета равны, то версия фундаментальной теоремы исчисления утверждает, что кривые конгруэнтны. В частности, кривизна и кручение представляют собой полный набор инвариантов трехмерной кривой.
Другие выражения кадра
[ редактировать ]Приведенные выше формулы для T , N и B зависят от кривой, заданной через параметр длины дуги. Это естественное предположение в евклидовой геометрии , поскольку длина дуги является евклидовым инвариантом кривой. В терминологии физики параметризация длины дуги — это естественный выбор калибра . Однако на практике работать с ним может быть неудобно. Доступен ряд других эквивалентных выражений.
Предположим, что кривая имеет вид r ( t ), где параметр t больше не обязательно должен быть длиной дуги. Тогда единичный касательный вектор T можно записать как
Вектор нормали N принимает вид
Бинормаль B тогда
Альтернативный способ прийти к тем же выражениям — взять первые три производные кривой r ’( t ), r »( t ), r »’( t ) и применить процесс Грама-Шмидта . Результирующий упорядоченный ортонормированный базис и есть кадр TNB . Эта процедура также обобщается для создания кадров Френе в более высоких измерениях.
В терминах параметра t формулы Френе–Серре приобретают дополнительный множитель || р ′( т )|| из-за правила цепочки :
Могут быть вычислены явные выражения для кривизны и кручения. Например,
Кручение можно выразить с помощью тройного скалярного произведения следующим образом:
Особые случаи
[ редактировать ]Если кривизна всегда равна нулю, то кривая будет прямой линией. Здесь векторы N , B и кручение не определены четко.
Если кручение всегда равно нулю, то кривая будет лежать в плоскости.
Кривая может иметь ненулевую кривизну и нулевое кручение. Например, окружность радиуса R, заданная формулой r ( t )=( R cos t , R sin t , 0) в плоскости z =0, имеет нулевое кручение и кривизну, равную 1/ R . Обратное, однако, неверно. То есть регулярная кривая с ненулевым кручением должна иметь ненулевую кривизну. Это просто противоположность тому факту, что нулевая кривизна подразумевает нулевое кручение.
Спираль . имеет постоянную кривизну и постоянное кручение
Плоские кривые
[ редактировать ]Если кривая содержится в -самолет, тогда его касательный вектор и главный единичный вектор нормали также будет лежать в -самолет. В результате единичный бинормальный вектор перпендикулярен плоскость и, таким образом, должна быть либо или . По правилу правой руки будет если, если смотреть сверху, траектория кривой поворачивает влево и будет если он поворачивает вправо. В результате кручение всегда будет нулем и формула для кривизны становится
См. также
[ редактировать ]- Аффинная геометрия кривых
- Дифференцируемая кривая
- Рамка Дарбу
- Кинематика
- Движущаяся рамка
- Тангенциальная и нормальная составляющие
- Радиальная, поперечная, нормальная
Примечания
[ редактировать ]- ^ Кюнель 2002 , §1.9
- ^ Только первые n - 1 на самом деле должны быть линейно независимыми, поскольку последний оставшийся вектор кадра может en быть выбран как единичный вектор, ортогональный диапазону остальных, так что результирующий кадр будет положительно ориентирован.
- ^ Креншоу (1993).
- ^ Айер и Вишвешвара (1993).
- ^ Ракер, Руди (1999). «Наблюдение за полетом мух: космические кривые Каппатау» . Государственный университет Сан-Хосе. Архивировано из оригинала 15 октября 2004 года.
- ^ Кюнель 2002 , с. 19
- ^ Гориели и др. (2006).
- ^ Хэнсон.
- ^ Терминологию см. Штернберг (1964). Лекции по дифференциальной геометрии . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, Прентис-Холл. п. 252 -254. ISBN 9780135271506 . .
Ссылки
[ редактировать ]- Креншоу, ХК; Эдельштейн-Кешет, Л. (1993), «Ориентация винтовым движением II. Изменение направления оси движения», Бюллетень математической биологии , 55 (1): 213–230, doi : 10.1016/s0092-8240(05 )80070-9 , S2CID 50734771
- Этген, Гаррет; Хилле, Эйнар; Салас, Сатурнино (1995), Исчисление Саласа и Хилле - одна и несколько переменных (7-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 896
- Френе, Ф. (1847), О кривых двойной кривизны (PDF) , Диссертация, Тулуза . Аннотация в журнале «Чистая и прикладная математика» 17 , 1852 г.
- Гориели, А.; Робертсон-Тесси, М.; Табор, М.; Вандивер, Р. (2006), «Модели эластичного роста», BIOMAT-2006 (PDF) , Springer-Verlag, заархивировано из оригинала (PDF) 29 декабря 2006 г.
- Гриффитс, Филлип (1974), «О методе Картана групп Ли и движущихся системах отсчета применительно к вопросам уникальности и существования в дифференциальной геометрии», Duke Mathematical Journal , 41 (4): 775–814, doi : 10.1215/S0012-7094- 74-04180-5 , S2CID 12966544 .
- Гуггенхаймер, Генрих (1977), Дифференциальная геометрия , Дувр, ISBN 0-486-63433-7
- Хэнсон, AJ (2007), «Кватернионные рамы Френе: изготовление оптимальных трубок и лент из кривых» (PDF) , Технический отчет Университета Индианы
- Айер, БР; Вишвешвара, К.В. (1993), «Описание гироскопической прецессии по Френе-Серре», Phys. Rev. , D, 48 (12): 5706–5720, arXiv : gr-qc/9310019 , Bibcode : 1993PhRvD..48.5706I , doi : 10.1103/physrevd.48.5706 , PMID 10016237 , S2CID 1194 58843
- Джордан, Камилла (1874 г.), «К теории кривых в n-мерном пространстве», CR Acad. наук. Париж , 79 : 795–797 .
- Кюнель, Вольфганг (2002), Дифференциальная геометрия , Студенческая математическая библиотека, том. 16, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-2656-0 , МР 1882174
- Серре, Ж.А. (1851), «О некоторых формулах, относящихся к теории кривых двойной кривизны» (PDF) , Журнал чистой и прикладной математики , 16 .
- Спивак, Майкл (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (том второй) , Publish or Perish, Inc.
- Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Прентис-Холл
- Струик, Дирк Дж. (1961), Лекции по классической дифференциальной геометрии , Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли .