Jump to content

Формулы Френе – Серре

Пространственная кривая; векторы T , N и B ; и соприкасающаяся плоскость, охватываемая T и N

В дифференциальной геометрии формулы Френе –Серре описывают кинематические свойства частицы, движущейся по дифференцируемой кривой в трехмерном евклидовом пространстве. или геометрические свойства самой кривой независимо от любого движения. Более конкретно, формулы описывают производные так называемых касательных, нормальных и бинормальных единичных векторов относительно друг друга. Формулы названы в честь двух французских математиков, которые независимо открыли их: Жана Фредерика Френе в его диссертации 1847 года и Жозефа Альфреда Серре в 1851 году. Векторные обозначения и линейная алгебра, используемые в настоящее время для записи этих формул, в то время еще не были доступны. их открытия.

Касательные, нормальные и бинормальные единичные векторы, часто называемые T , N и B , или вместе фрейм Френе-Серре или фрейм TNB , вместе образуют ортонормированный базис, охватывающий и определяются следующим образом:

Формулы Френе-Серре:

где d / ds — производная по длине дуги, κ кривизна , а τ кручение кривой. Два скаляра κ и τ эффективно определяют кривизну и кручение пространственной кривой. Соответствующий набор T , N , B , κ и τ называется аппаратом Френе-Серре . Интуитивно понятно, что кривизна измеряет неспособность кривой быть прямой линией, а кручение измеряет неспособность кривой быть плоской.

Определения

[ редактировать ]
Векторы T и N в двух точках плоской кривой, транслированная версия второго кадра (пунктир) и изменение T : δ T' . δs — расстояние между точками. В пределе будет в направлении N , а кривизна описывает скорость вращения рамы.

Пусть r ( t ) — кривая в евклидовом пространстве , представляющая вектор положения частицы как функцию времени. Формулы Френе-Серре применяются к невырожденным кривым , что примерно означает, что они имеют ненулевую кривизну . Более формально, в этой ситуации скорости вектор r '( t ) и ускорения вектор r '( t ) должны быть не пропорциональны.

Пусть s ( t ) представляет собой длину дуги , которую частица прошла вдоль кривой за время t . Величина s используется для того, чтобы придать кривой, описываемой траекторией частицы, естественную параметризацию по длине дуги (т. е. параметризацию длины дуги ), поскольку множество различных траекторий частицы могут прослеживать одну и ту же геометрическую кривую, пересекая ее с разной скоростью. Более подробно, s определяется выражением

Более того, поскольку мы предположили, что r ′ ≠ 0, отсюда следует, что s ( t ) — строго монотонно возрастающая функция. Следовательно, можно найти t как функцию от s и, таким образом, записать r ( s ) = r ( t ( s )). Таким образом, кривая параметризуется предпочтительным образом по длине дуги.

С помощью невырожденной кривой r ( s ), параметризованной длиной дуги, теперь можно определить кадр Френе-Серре (или кадр TNB ):

  • Касательный единичный вектор T определяется как
  • Нормальный единичный вектор N определяется как из чего следует, поскольку Т всегда имеет единичную величину , что N (изменение Т ) всегда перпендикулярно Т нет , поскольку изменения длины Т . Обратите внимание, что, вызывая кривизну мы автоматически получаем первое соотношение.
Система Френе-Серре, движущаяся по спирали . T N обозначен синей стрелкой, — красной стрелкой, а B черной стрелкой.

откуда следует, что всегда перпендикулярен как T , так и N. B Таким образом, все три единичных вектора T , N и B перпендикулярны друг другу.

Формулы Френе-Серре :

где это кривизна и это кручение .

Формулы Френе-Серре также известны как теорема Френе-Серре и могут быть сформулированы более кратко, используя матричную запись: [1]

Эта матрица является кососимметричной .

Формулы в n измерениях

[ редактировать ]

Формулы Френе-Серре были обобщены на многомерные евклидовы пространства Камиллой Жорданом в 1874 году.

Предположим, что r ( s ) — гладкая кривая в и что первые n производные r линейно независимы. [2] Векторы в системе Френе–Серре представляют собой ортонормированный базис , построенный путем применения процесса Грамма-Шмидта к векторам ( r ′( s ), r »( s ), ..., r ( н ) ( с )).

Более подробно, единичный касательный вектор представляет собой первый вектор Френе e 1 ( s ) и определяется как

где

Вектор нормали , иногда называемый вектором кривизны , указывает на отклонение кривой от прямой линии. Это определяется как

Его нормализованная форма, единичный вектор нормали , представляет собой второй вектор Френе e 2 ( s ) и определяется как

Касательная и вектор нормали в точке s определяют соприкасающуюся плоскость в точке r ( s ).

Остальные векторы в системе координат (бинормаль, тринормаль и т. д.) определяются аналогично

Последний вектор в кадре определяется векторным произведением первого векторы:

Действительные функции, используемые ниже χ i ( s ), называются обобщенной кривизной и определяются как

Формулы Френе–Серре , изложенные на матричном языке, имеют вид

Обратите внимание, что, как определено здесь, обобщенные кривизны и рамка могут немного отличаться от соглашений, встречающихся в других источниках.Верхняя кривизна (в этом контексте также называемый кручением) и последний вектор в кадре ,отличаться знаком

(ориентация основания) от обычного кручения.Формулы Френе – Серре инвариантны при изменении знака обеих и , и эта смена знака делает рамку положительно ориентированной. Как определено выше, рамка наследует свою ориентацию от струи .

Доказательство формул Френе-Серре.

[ редактировать ]

Первая формула Френе-Серре справедлива по определению нормали N и кривизны κ, а третья формула Френе-Серре справедлива по определению кручения τ. Таким образом, необходимо показать вторую формулу Френе-Серре.

Поскольку T , N и B являются ортогональными единичными векторами с B = T × N , также имеется T = N × B и N = B × T . Дифференцирование последнего уравнения по s дает

N /∂s = (∂ B /∂s) × T + B × (∂ T /∂s)

Учитывая, что ∂ B /∂s = -τ N и ∂ T /∂s = κ N , это становится

N / ∂s знак равно -τ ( N × Т ) + κ ( B × N )

= τ B - κ T

Это и есть вторая формула Френе-Серре.

Приложения и интерпретация

[ редактировать ]

Кинематика рамы

[ редактировать ]
Система Френе – Серре, движущаяся по спирали в пространстве.

Фрейм Френе–Серре, состоящий из касательной T , нормали N и бинормали B, вместе образует ортонормированный базис трехмерного пространства. В каждой точке кривой прикрепляется система отсчета или прямолинейная система координат (см. изображение).

Формулы Френе–Серре допускают кинематическую интерпретацию. Представьте, что наблюдатель движется по кривой во времени, используя прикрепленную в каждой точке систему координат в качестве системы координат. Формулы Френе-Серре означают, что эта система координат постоянно вращается по мере движения наблюдателя по кривой. Следовательно, эта система координат всегда неинерциальна . Угловой момент системы координат наблюдателя пропорционален вектору Дарбу системы отсчета.

Наблюдается вращение волчка, ось которого лежит вдоль бинормали, с угловой скоростью κ. Если ось расположена по касательной, то наблюдается ее вращение с угловой скоростью τ.

Конкретно, предположим, что наблюдатель несет с собой (инерционный) волчок (или гироскоп ) вдоль кривой. Если ось вершины указывает по касательной к кривой, то будет наблюдаться ее вращение вокруг своей оси с угловой скоростью -τ относительно неинерциальной системы координат наблюдателя. Если, с другой стороны, ось вершины направлена ​​в бинормальном направлении, то наблюдается вращение с угловой скоростью -κ. Это легко визуализировать в случае, когда кривизна является положительной константой и кручение исчезает. Наблюдатель тогда находится в равномерном круговом движении . Если вершина направлена ​​в сторону бинормали, то в силу сохранения углового момента она должна вращаться в направлении, противоположном круговому движению. В предельном случае, когда кривизна исчезает, нормаль наблюдателя прецессирует вокруг касательного вектора, и аналогично волчок будет вращаться в направлении, противоположном этой прецессии.

Общий случай показан ниже . есть Дополнительные иллюстрации в Викимедиа.

Приложения

[ редактировать ]

Кинематика рамы имеет множество применений в науке.

  • В науках о жизни , особенно в моделях движения микробов, соображения системы Френе-Серре использовались для объяснения механизма, с помощью которого движущийся организм в вязкой среде меняет свое направление. [3]
  • В физике система Френе – Серре полезна, когда невозможно или неудобно задать естественную систему координат траектории. Так часто бывает, например, в теории относительности . В рамках этой настройки системы Френе-Серре использовались для моделирования прецессии гироскопа в гравитационной яме. [4]

Графические иллюстрации

[ редактировать ]
  1. Пример перемещения базиса Френе ( T — синий, N — зеленый, B — фиолетовый) по кривой Вивиани .

  1. На примере торического узла отображаются касательный вектор T , вектор нормали N и вектор бинормали B , а также кривизна κ(s) и кручение τ(s).
    В максимумах торсионной функции вращение системы Френе–Серре ( T , N , B ) вокруг касательного вектора. отчетливо видно

  1. Кинематическое значение кривизны лучше всего иллюстрируется плоскими кривыми (имеющими постоянное кручение, равное нулю). См. страницу о кривизне плоских кривых .

Формулы Френе – Серре в исчислении

[ редактировать ]

Формулы Френе-Серре часто вводятся в курсах по исчислению многих переменных как дополнение к изучению пространственных кривых, таких как спираль . Спираль можно охарактеризовать высотой 2π h и радиусом r одного витка . Кривизна и кручение спирали (постоянного радиуса) определяются формулами

Две спирали (слинки) в космосе. (а) Более компактная спираль с большей кривизной и меньшим кручением. (б) Вытянутая спираль с немного большим кручением, но меньшей кривизной.

Знак кручения определяется правосторонним или левосторонним закручиванием спирали вокруг своей центральной оси. В явном виде параметризация одного витка правой спирали высотой 2π h и радиусом r равна

х = р, потому что т
y = r грех т
z = час т
(0 ≤ т ≤ 2π)

а для левой спирали

х = р, потому что т
y = − r грех т
z = час т
(0 ≤ t ≤ 2π).

Обратите внимание, что это не параметризация длины дуги (в этом случае каждое из x , y и z нужно будет разделить на .)

В своих разъяснительных работах по геометрии кривых Руди Ракер [5] использует модель пружины, чтобы объяснить значение скручивания и кривизны. Слинки, по его словам, характеризуются тем свойством, что количество

остается постоянным, если пружинка вытянута вертикально вдоль центральной оси. (Здесь 2π h — высота одного поворота пружины, а r — радиус.) В частности, кривизна и кручение дополняют друг друга в том смысле, что кручение можно увеличить за счет кривизны, растягивая пружину.

Расширение Тейлора

[ редактировать ]

Многократное дифференцирование кривой и применение формул Френе – Серре дает следующее приближение Тейлора к кривой вблизи s = 0, если кривая параметризована длиной дуги: [6]

Для общей кривой с неисчезающим кручением проекции кривой на различные координатные плоскости в системе координат T , N , B при s = 0 имеют следующую интерпретацию:

  • Соприкасающаяся плоскость — это плоскость содержащая T и N. , Проекция кривой на эту плоскость имеет вид: Это парабола с точки зрения порядка , кривизна которого в точке 0 равна κ (0). Соприкасающаяся плоскость обладает особым свойством: расстояние от кривой до соприкасающейся плоскости равно , а расстояние от кривой до любой другой плоскости не лучше, чем . Это видно из приведенного выше расширения Тейлора. Таким образом, в некотором смысле соприкасающаяся плоскость является ближайшей плоскостью к кривой в данной точке.
  • Нормальная плоскость — это плоскость, N и B. содержащая Проекция кривой на эту плоскость имеет вид: которая является возвратной кубикой порядка o ( s 3 ).
  • Выпрямляющая плоскость — это плоскость, T и B. содержащая Проекция кривой на эту плоскость равна: который вычерчивает график кубического полинома порядка o ( s 3 ).

Ленты и трубочки

[ редактировать ]
Лента, определяемая кривой постоянного кручения и сильно колеблющейся кривизной. Параметризация длины дуги кривой определялась путем интегрирования уравнений Френе – Серре.

Аппарат Френе-Серре позволяет определить некоторые оптимальные ленты и трубки, центрированные вокруг кривой. Они имеют разнообразные применения в материаловедении и теории упругости . [7] а также компьютерной графике . [8]

Лента Френе [9] вдоль кривой C — это поверхность, очерченная путем проведения отрезка [− N , N ], образованного единичной нормалью вдоль кривой. Эту поверхность иногда путают с касательной разверткой , которая является E соприкасающихся плоскостей C. огибающей что и лента Френе, и E обладают схожими свойствами вдоль C. Возможно, это связано с тем , А именно, касательные плоскости обоих листов E вблизи особого места C, где эти листы пересекаются, приближаются к соприкасающимся плоскостям C ; касательные плоскости ленты Френе вдоль C равны этим соприкасающимся плоскостям. Лента Френе вообще не разворачивается.

Конгруэнтность кривых

[ редактировать ]

В классической евклидовой геометрии интересуют исследования свойств фигур на плоскости, которые инвариантны относительно конгруэнтности, так что, если две фигуры конгруэнтны, они должны иметь одинаковые свойства. Аппарат Френе-Серре представляет кривизну и кручение как числовые инварианты пространственной кривой.

Грубо говоря, две кривые C и C ′ в пространстве конгруэнтны , если одну можно жестко переместить в другую. Жесткое движение состоит из комбинации поступательного движения и вращения. Трансляция перемещает одну точку C в точку C ′. Затем вращение корректирует ориентацию кривой C так, чтобы она совпадала с ориентацией C ′. Такая комбинация перемещения и вращения называется евклидовым движением . С точки зрения параметризации r ( t ), определяющей первую кривую C , общее евклидово движение C представляет собой комбинацию следующих операций:

  • ( Перевод ) r ( t ) → r ( t ) + v , где v — постоянный вектор.
  • ( Вращение ) r ( t ) + v M ( r ( t ) + v ), где M — матрица вращения.

Система Френе-Серре особенно хорошо себя ведет по отношению к евклидовым движениям. Во-первых, поскольку все T , N и B могут быть заданы как последовательные производные параметризации кривой, каждый из них нечувствителен к добавлению постоянного вектора к r ( t ). Интуитивно понятно, что кадр TNB, прикрепленный к r ( t ), аналогичен кадру TNB, прикрепленному к новой кривой r ( t ) + v .

При этом остается учитывать только вращения. Интуитивно понятно, что если мы применим поворот M к кривой, то кадр TNB также будет вращаться. Точнее, матрица Q , строки которой являются векторами TNB системы Френе–Серре, изменяется на матрицу вращения

Тем более , матрица dQ / ds Q Т не зависит от вращения:

с тех пор как ММ Т = I для матрицы вращения.

Следовательно, элементы κ и τ dQ / ds Q Т являются инвариантами кривой относительно евклидовых движений: если к кривой приложить евклидово движение, то полученная кривая будет иметь ту же кривизну и кручение.

Более того, используя систему Френе–Серре, можно доказать и обратное: любые две кривые, имеющие одинаковые функции кривизны и кручения, должны быть конгруэнтны евклидовым движением. Грубо говоря, формулы Френе–Серре выражают производную Дарбу кадра TNB . Если производные Дарбу двух систем отсчета равны, то версия фундаментальной теоремы исчисления утверждает, что кривые конгруэнтны. В частности, кривизна и кручение представляют собой полный набор инвариантов трехмерной кривой.

Другие выражения кадра

[ редактировать ]

Приведенные выше формулы для T , N и B зависят от кривой, заданной через параметр длины дуги. Это естественное предположение в евклидовой геометрии , поскольку длина дуги является евклидовым инвариантом кривой. В терминологии физики параметризация длины дуги — это естественный выбор калибра . Однако на практике работать с ним может быть неудобно. Доступен ряд других эквивалентных выражений.

Предположим, что кривая имеет вид r ( t ), где параметр t больше не обязательно должен быть длиной дуги. Тогда единичный касательный вектор T можно записать как

Вектор нормали N принимает вид

Бинормаль B тогда

Альтернативный способ прийти к тем же выражениям — взять первые три производные кривой r ’( t ), r »( t ), r »’( t ) и применить процесс Грама-Шмидта . Результирующий упорядоченный ортонормированный базис и есть кадр TNB . Эта процедура также обобщается для создания кадров Френе в более высоких измерениях.

В терминах параметра t формулы Френе–Серре приобретают дополнительный множитель || р ′( т )|| из-за правила цепочки :

Могут быть вычислены явные выражения для кривизны и кручения. Например,

Кручение можно выразить с помощью тройного скалярного произведения следующим образом:

Особые случаи

[ редактировать ]

Если кривизна всегда равна нулю, то кривая будет прямой линией. Здесь векторы N , B и кручение не определены четко.

Если кручение всегда равно нулю, то кривая будет лежать в плоскости.

Кривая может иметь ненулевую кривизну и нулевое кручение. Например, окружность радиуса R, заданная формулой r ( t )=( R cos t , R sin t , 0) в плоскости z =0, имеет нулевое кручение и кривизну, равную 1/ R . Обратное, однако, неверно. То есть регулярная кривая с ненулевым кручением должна иметь ненулевую кривизну. Это просто противоположность тому факту, что нулевая кривизна подразумевает нулевое кручение.

Спираль . имеет постоянную кривизну и постоянное кручение

Плоские кривые

[ редактировать ]

Если кривая содержится в -самолет, тогда его касательный вектор и главный единичный вектор нормали также будет лежать в -самолет. В результате единичный бинормальный вектор перпендикулярен плоскость и, таким образом, должна быть либо или . По правилу правой руки будет если, если смотреть сверху, траектория кривой поворачивает влево и будет если он поворачивает вправо. В результате кручение всегда будет нулем и формула для кривизны становится


См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Кюнель 2002 , §1.9
  2. ^ Только первые n - 1 на самом деле должны быть линейно независимыми, поскольку последний оставшийся вектор кадра может en быть выбран как единичный вектор, ортогональный диапазону остальных, так что результирующий кадр будет положительно ориентирован.
  3. ^ Креншоу (1993).
  4. ^ Айер и Вишвешвара (1993).
  5. ^ Ракер, Руди (1999). «Наблюдение за полетом мух: космические кривые Каппатау» . Государственный университет Сан-Хосе. Архивировано из оригинала 15 октября 2004 года.
  6. ^ Кюнель 2002 , с. 19
  7. ^ Гориели и др. (2006).
  8. ^ Хэнсон.
  9. ^ Терминологию см. Штернберг (1964). Лекции по дифференциальной геометрии . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, Прентис-Холл. п. 252 -254. ISBN  9780135271506 . .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 5171473234d28550e24c86810b376006__1715207760
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/51/06/5171473234d28550e24c86810b376006.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Frenet–Serret formulas - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)