Кривые Вивиани

Кривая Вивиани: пересечение сферы касательным цилиндром.

Голубую часть полусферы можно возвести в квадрат.

В математике названную кривая Вивиани , также известная как окно Вивиани , представляет собой в форме восьмерки, пространственную кривую в честь итальянского математика Винченцо Вивиани . Это пересечение сферы с цилиндром , касательным к сфере и проходящим через два полюса (диаметр) сферы (см. схему). До Вивиани эту кривую изучали Симон де Ла Лубер и Жиль де Роберваль .

Орфографическая проекция кривой Вивиани на плоскость, перпендикулярную линии, проходящей через точку пересечения и центр сферы, — это лемниската Героно , а стереографическая проекция — гипербола или лемниската Бернулли , в зависимости от того, какая точка на той же прямой используется. проектировать.

В 1692 году Вивиани решил следующую задачу: Вырезать из полусферы (радиусом $r$) два окна, так что оставшуюся поверхность (полусферы) можно возвести в квадрат , т. е. квадрат той же площади можно построить, используя только циркуль и линейку. Его решение имеет площадь $4r^{2}$ (см. ниже).

Уравнения

С цилиндром в вертикальном положении.

Чтобы доказательство возведения в квадрат было простым,

сфера уравнение имеет $\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;$

и

цилиндр стоит вертикально по уравнению $\;x^{2}+y^{2}-rx=0\;$.

Цилиндр имеет радиус $r/2$ и касается сферы в точке $(r,0,0)\ .$

Свойства кривой

План этажа, фасад и боковой план

План этажа, фасад и боковой план

Устранение $x$ , $y$ , $z$ соответственно дает:

Ортогональная проекция кривой пересечения на

$x$- $y$-плоскость — это круг с уравнением $\;\left(x-{\tfrac {r}{2}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\tfrac {r}{2}}\right)^{2}\ .$

$x$- $z$-выровнять параболу по уравнению $\;x=-{\tfrac {1}{r}}z^{2}+r\;.$

$y$- $z$-плоскости алгебраической кривой с уравнением $\;z^{4}+r^{2}(y^{2}-z^{2})=0\;.$

Параметрическое представление

Для параметрического представления и определения площади

Представляя сферу

${\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \cos \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \cos \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \sin \theta \qquad \qquad -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}}\ ,\ -\pi \leq \varphi \leq \pi \;,\end{array}}$

и настройка $\;\varphi =\theta ,\;$ дает кривую

${\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \cos \theta \cdot \cos \theta \\y&=&r\cdot \cos \theta \cdot \sin \theta \\z&=&r\cdot \sin \theta \qquad \qquad -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}}\ .\end{array}}$

Легко проверить, что сферическая кривая удовлетворяет уравнению цилиндра. Но границы допускают только красную часть (см. схему) кривой Вивиани. Недостающая вторая половина (зеленая) обладает свойством $\;\color {green}\varphi =-\theta \;.$

С помощью этого параметрического представления легко доказать утверждение: площадь полусферы (содержащей кривую Вивиани) минус площадь двух окон равна $4r^{2}$. Площадь верхней правой части окна Вивиани (см. диаграмму) можно вычислить путем интегрирования :

$\iint _{S_{sphere}}r^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\theta }\cos \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta =r^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-1\right)\ .$

Следовательно, общая площадь сферической поверхности, включаемая кривой Вивиани, равна $2\pi r^{2}-4r^{2}$ и площадь полусферы ( $2\pi r^{2}$) минус площадь окна Вивиани равна $\;4r^{2}\;$, площадь квадрата, где диаметр сферы равен длине ребра.

Рациональное представление Безье

Четверть кривой Вивиани, лежащая в полностью положительном квадранте трехмерного пространства, не может быть точно представлена ​​регулярной кривой Безье любой степени.

Однако его можно точно представить в виде трехмерного рационального сегмента Безье степени 4, и существует бесконечное семейство рациональных контрольных точек Безье, порождающих этот сегмент.

Одним из возможных решений являются следующие пять контрольных точек:

${\boldsymbol {p0}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\1\end{bmatrix}}{\boldsymbol {p1}}={\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\boldsymbol {p2}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}\\{\frac {2}{3}}\end{bmatrix}}{\boldsymbol {p3}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\\{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\boldsymbol {p4}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}$

Соответствующая рациональная параметризация такова:

$\left({\begin{array}{c}{\frac {2\mu ^{2}\left(\mu ^{2}-2\left(2+{\sqrt {2}}\right)\mu +4{\sqrt {2}}+6\right)}{\left(2(\mu -1)\mu +{\sqrt {2}}+2\right)^{2}}}\\{\frac {2(\mu -1)\mu \left((\mu -1)\mu -3{\sqrt {2}}-4\right)}{\left(2(\mu -1)\mu +{\sqrt {2}}+2\right)^{2}}}\\-{\frac {(\mu -1)\left({\sqrt {2}}\mu +{\sqrt {2}}+2\right)}{2(\mu -1)\mu +{\sqrt {2}}+2}}\\\end{array}}\right)\;\mu \in \left[0,1\right]$

Связь с другими кривыми

• Возвышение в форме восьмерки (см. выше) — лемниската Героно .
• Кривая Вивиани — это особая кривая Клелия . Для кривой Клелия соотношение между углами равно $\;\varphi =c\;\theta \;.$

Кривая Вивиани (красная) как пересечение сферы и конуса (розовая)

Вычитание 2 × уравнения цилиндра из уравнения сферы и применение дополнения квадрата приводит к уравнению

$(x-r)^{2}+y^{2}=z^{2}\;,$

который описывает прямой круговой конус с вершиной в $\;(r,0,0)\;$, двойная точка кривой Вивиани. Следовательно

• Кривую Вивиани можно рассматривать не только как кривую пересечения сферы и цилиндра, но и как

а) пересечение сферы и конуса и как

б) пересечение цилиндра и конуса.

См. также

• Пересечение сферы и цилиндра

Внешние ссылки

• Бергер, Марсель: Геометрия. II. Перевод с французского М. Коула и С. Леви. Университеттекст. Шпрингер-Верлаг, Берлин, 1987 г.
• Бергер, Марсель: Геометрия. I. Перевод с французского М. Коула и С. Леви. Университеттекст. Springer-Verlag, Берлин, 1987. xiv+428 стр. ISBN   3-540-11658-3
• «Кривая Вивиани» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Кривая Вивиани» . Математический мир .