Лемниската

В алгебраической лемниската ɛ ( / l ɛ m ˈ n ɪ s k ɪ t / или / ˈ l m n ɪ s t ˌ k eɪ , ɪ - k t / ) геометрии ^[1] восьмерки или $\infty$ в форме — это любая из нескольких кривых . ^[2]^[3] Слово происходит от латинского lēmniscātus , что означает «украшенный лентами». ^[4] от греческого λημνίσκος ( lemnískos ), что означает «лента», ^[3]^[5]^[6]^[7] или что, альтернативно, может относиться к шерсти , из которой ленты . были сделаны ^[2]

Кривые, которые были названы лемнискатами, включают три кривые плоскости четвертой степени : гиппопед или лемниската Бута , лемниската Бернулли и лемниската Героно . Изучение лемнискат (и в частности гиппопеда) восходит к древнегреческой математике , но термин «лемниската» для кривых этого типа происходит из работы Якоба Бернулли в конце 17 века.

История и примеры [ править ]

Лемниската Бута [ править ]

Рассмотрение кривых в форме восьмерки восходит к Проклу , греческому философу -неоплатонику и математику, жившему в V веке нашей эры. Прокл рассматривал сечения тора плоскостью , параллельной оси тора. По его наблюдениям, у большинства таких сечений поперечное сечение состоит либо из одного, либо из двух овалов; однако, когда плоскость касается внутренней поверхности тора, поперечное сечение принимает форму восьмерки, которую Прокл назвал конскими кандалами (устройством для скрепления двух ног лошади), или «гиппопедом». на греческом языке. ^[8] Название «лемниската Бута» для этой кривой восходит к ее исследованию математиком 19-го века Джеймсом Бутом . ^[2]

Лемниската может быть определена как алгебраическая кривая , нулевое множество многочлена четвертой степени. $(x^{2}+y^{2})^{2}-cx^{2}-dy^{2}$ когда параметр d отрицателен (или равен нулю для особого случая, когда лемниската становится парой внешне касающихся окружностей). Для положительных значений d вместо этого получается овал Бута .

Лемниската или Бернулли [ править ]

В 1680 году Кассини изучил семейство кривых, теперь называемое овалом Кассини , определяемое следующим образом: геометрическое место кривых всех точек, произведение расстояний которых от двух фиксированных точек, фокусов , является константой. В очень особых обстоятельствах (когда полурасстояние между точками равно квадратному корню из константы) это приводит к возникновению лемнискаты.

В 1694 году Иоганн Бернулли изучал лемнискату овала Кассини, ныне известную как лемниската Бернулли (показана выше), в связи с проблемой « изохрон », поставленной ранее Лейбницем . Как и гиппопед, это алгебраическая кривая, нулевое множество многочлена $(x^{2}+y^{2})^{2}-a^{2}(x^{2}-y^{2})$ . Брат Бернулли Якоб Бернулли также изучил ту же кривую в том же году и дал ей название лемниската. ^[9] Его также можно определить геометрически как геометрическое место точек, произведение расстояний от двух фокусов которых равно квадрату половины межфокального расстояния. ^[10] Это частный случай гиппопеда (лемнискаты Бута). $d=-c$ , и может быть выполнен в виде поперечного сечения тора, внутреннее отверстие которого и круглое поперечное сечение имеют одинаковый диаметр. ^[2] Лемнискатические эллиптические функции являются аналогами тригонометрических функций для лемнискаты Бернулли, а константы лемнискаты возникают при вычислении длины дуги этой лемнискаты.

Лемниската Героно [ править ]

Лемниската Героно: набор решений $x 4 - х 2 + и 2 = 0$ ^[11]

Другая лемниската, лемниската Героно или лемниската Гюйгенса, представляет собой нулевое множество полинома четвертой степени. $y^{2}-x^{2}(a^{2}-x^{2})$ . ^[12]^[13] Кривая Вивиани , трехмерная кривая, образованная пересечением сферы с цилиндром, также имеет форму восьмерки и имеет лемнискату Героно в качестве своей плоской проекции. ^[14]

Другие [ править ]

Другие алгебраические кривые в форме восьмерки включают

, Кривая Дьявола кривая, определяемая уравнением четвертой степени $y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})$ в котором один связной компонент имеет форму восьмерки, ^[15]
Кривая Ватта — кривая в форме восьмерки, образованная механической связью. Кривая Ватта представляет собой нулевое множество полиномиального уравнения шестой степени. $(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0$ и имеет лемнискату Бернулли как особый случай.

См. также [ править ]

Аналемма , кривая в форме восьмерки, очерченная положением Солнца на небе в полдень в течение года.
Символ бесконечности
Лемнискаты как обобщенные коники
Аттрактор Лоренца — трехмерная динамическая система, имеющая форму лемнискаты.
Полиномиальная лемниската , набор уровня абсолютного значения комплексного многочлена.

Ссылки [ править ]

^ «лемниската» . Dictionary.com Полный (онлайн). nd
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Шаппахер, Норберт (1997), «Некоторые вехи лемнискатомии», Алгебраическая геометрия (Анкара, 1995) , Конспект лекций по чистой и прикладной математике, том. 193, Нью-Йорк: Деккер, стр. 257–290, MR 1483331 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эриксон, Мартин Дж. (2011), «1.1 Лемниската», Beautiful Mathematics , MAA Spectrum, Математическая ассоциация Америки , стр. 1–3, ISBN 9780883855768 .
^ лемнискатус . Чарльтон Т. Льюис и Чарльз Шорт. Латинский словарь по проекту «Персей» .
^ Харпер, Дуглас. «лемниск» . Интернет-словарь этимологии .
^ лемниск . Чарльтон Т. Льюис и Чарльз Шорт. Латинский словарь по проекту «Персей» .
^ λημνίσκος . Лидделл, Генри Джордж ; Скотт, Роберт ; Греко-английский лексикон в проекте «Персей» .
^ ἱπποπέδη в Лидделле и Скотте .
^ Бос, HJM (1974), «Лемниската Бернулли», Для Дирка Струика , Бостонский конный завод. Филос. Sci., XV, Дордрехт: Рейдель, стр. 3–14, ISBN. 9789027703934 , МР 0774250 .
^ Лангер, Джоэл К.; Сингер, Дэвид А. (2010), «Размышления о лемнискате Бернулли: сорок восемь граней математической жемчужины», Milan Journal of Mathematics , 78 (2): 643–682, doi : 10.1007/s00032-010- 0124-5 , МР 2781856 , S2CID 1448521 .
^ Келлер, Юрген. «Восемь Кривых» . www.mathematische-basteleien.de . Проверено 26 ноября 2017 г.
^ Бассет, Альфред Барнард (1901), «Лемниската Героно», элементарный трактат о кривых кубической и четвертой степени , Дейтон, Белл, стр. 171–172 .
^ Чандрасекхар, С. (2003), «Начала Ньютона для обычного читателя» , Oxford University Press, стр. 133, ISBN 9780198526759 .
^ Коста, Луиза Росси; Маркетти, Елена (2005), «Математические и исторические исследования куполов и сводов», Вебер, Ральф; Аманн, Маттиас Альбрехт (ред.), Эстетика и архитектурная композиция: материалы Дрезденского международного симпозиума по архитектуре 2004 г. , Маммендорф: Pro Literatur, стр. 73–80 .
^ Дарлинг, Дэвид (2004), «кривая дьявола», Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона , John Wiley & Sons, стр. 91–92, ISBN 9780471667001 .

Внешние ссылки [ править ]

«Лемнискаты» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] «лемниската» . Dictionary.com Полный (онлайн). nd

[lemniscatomy-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Шаппахер, Норберт (1997), «Некоторые вехи лемнискатомии», Алгебраическая геометрия (Анкара, 1995) , Конспект лекций по чистой и прикладной математике, том. 193, Нью-Йорк: Деккер, стр. 257–290, MR 1483331 .

[erickson-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эриксон, Мартин Дж. (2011), «1.1 Лемниската», Beautiful Mathematics , MAA Spectrum, Математическая ассоциация Америки , стр. 1–3, ISBN 9780883855768 .

[4] лемнискатус . Чарльтон Т. Льюис и Чарльз Шорт. Латинский словарь по проекту «Персей» .

[5] Харпер, Дуглас. «лемниск» . Интернет-словарь этимологии .

[6] лемниск . Чарльтон Т. Льюис и Чарльз Шорт. Латинский словарь по проекту «Персей» .

[7] λημνίσκος . Лидделл, Генри Джордж ; Скотт, Роберт ; Греко-английский лексикон в проекте «Персей» .

[8] ἱπποπέδη в Лидделле и Скотте .

[bos-9] Бос, HJM (1974), «Лемниската Бернулли», Для Дирка Струика , Бостонский конный завод. Филос. Sci., XV, Дордрехт: Рейдель, стр. 3–14, ISBN. 9789027703934 , МР 0774250 .

[10] Лангер, Джоэл К.; Сингер, Дэвид А. (2010), «Размышления о лемнискате Бернулли: сорок восемь граней математической жемчужины», Milan Journal of Mathematics , 78 (2): 643–682, doi : 10.1007/s00032-010- 0124-5 , МР 2781856 , S2CID 1448521 .

[11] Келлер, Юрген. «Восемь Кривых» . www.mathematische-basteleien.de . Проверено 26 ноября 2017 г.

[12] Бассет, Альфред Барнард (1901), «Лемниската Героно», элементарный трактат о кривых кубической и четвертой степени , Дейтон, Белл, стр. 171–172 .

[13] Чандрасекхар, С. (2003), «Начала Ньютона для обычного читателя» , Oxford University Press, стр. 133, ISBN 9780198526759 .

[14] Коста, Луиза Росси; Маркетти, Елена (2005), «Математические и исторические исследования куполов и сводов», Вебер, Ральф; Аманн, Маттиас Альбрехт (ред.), Эстетика и архитектурная композиция: материалы Дрезденского международного симпозиума по архитектуре 2004 г. , Маммендорф: Pro Literatur, стр. 73–80 .

[15] Дарлинг, Дэвид (2004), «кривая дьявола», Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона , John Wiley & Sons, стр. 91–92, ISBN 9780471667001 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]