Полиномиальная лемниската
Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют достаточные соответствующие встроенные цитаты . ( декабрь 2010 г. ) |
В математике полиномиальная лемниската или полиномиальная кривая уровня — это плоская алгебраическая кривая степени 2n, построенная из многочлена p с комплексными коэффициентами степени n .
Для любого такого полинома p и положительного действительного числа c мы можем определить набор комплексных чисел формулой Этот набор чисел можно приравнять к точкам на действительной декартовой плоскости, что приводит к алгебраической кривой ƒ ( x , y ) = c 2 степени 2 n , что является результатом расширения с точки зрения z = x + iy .
Когда p — многочлен степени 1, результирующая кривая представляет собой просто круг, центром которого является нуль p . Если p — многочлен степени 2, то кривая представляет собой овал Кассини .
Лесная лемниската
[ редактировать ]Гипотеза Эрдеша, вызвавшая значительный интерес, касается максимальной длины полиномиальной лемнискаты ƒ ( x , y ) = 1 степени 2 n, когда p моник , которая , по предположению Эрдеша, достигается, когда p ( z ) = z н − 1.Это до сих пор не доказано, но Фрынтов и Назаров доказали, что p даетлокальный максимум. [1] В случае, когда n = 2, лемниската Эрдеша является лемнискатой Бернулли.
и было доказано, что это действительно максимальная длина четвертой степени. Лемниската Эрдеша имеет три обычные n -кратные точки, одна из которых находится в начале координат, и род ( n - 1)( n - 2)/2. Инвертируя лемнискату Эрдеша в единичной окружности , можно получить неособую кривую степени n .
Общий полиномиальный лемниската
[ редактировать ]В общем, полиномиальная лемниската не будет соприкасаться в начале координат и будет иметь только две обычные n -кратные особенности и, следовательно, род ( n - 1) 2 . Как реальная кривая, она может иметь ряд несвязных компонентов. Следовательно, оно не будет похоже на лемнискату , что делает название неправильным.
Интересным примером таких полиномиальных лемнискат являются кривые Мандельброта.Если мы положим p 0 = z и p n = p n −1 2 + z , то соответствующие полиномиальные лемнискаты M n, определенные формулой | п п ( z )| = 2 сходятся к границе множества Мандельброта . [2] Кривые Мандельброта имеют степень 2. п+1 . [3]
Примечания
[ редактировать ]- ^ Фрынтов А; Назаров, Ф (2008). «Новые оценки длины лемнискаты Эрдош-Герцог-Пиран». Линейный и комплексный анализ . 226 : 49–60. arXiv : 0808.0717 . Бибкод : 2008arXiv0808.0717F .
- ^ Desmos.com - Кривые Мандельброта
- ^ Иванцевич, Владимир Г.; Иванцевич, Тияна Т. (2007), Многомерные хаотические системы и системы аттракторов: всестороннее введение , Springer, стр. 492, ISBN 9781402054563 .
Ссылки
[ редактировать ]- Александр Еременко и Уолтер Хейман , О длине лемнискат , Мичиганская математика. Дж., (1999), 46 , вып. 2, 409–415 [1]
- О. С. Кузнецова, В. Г. Ткачев, Функции длины лемнискат , Manuscripta Math., (2003), 112 , 519–538 [2]