Jump to content

Полиномиальная лемниската

В математике полиномиальная лемниската или полиномиальная кривая уровня — это плоская алгебраическая кривая степени 2n, построенная из многочлена p с комплексными коэффициентами степени n .

Для любого такого полинома p и положительного действительного числа c мы можем определить набор комплексных чисел формулой Этот набор чисел можно приравнять к точкам на действительной декартовой плоскости, что приводит к алгебраической кривой ƒ ( x , y ) = c 2 степени 2 n , что является результатом расширения с точки зрения z = x + iy .

Когда p — многочлен степени 1, результирующая кривая представляет собой просто круг, центром которого является нуль p . Если p — многочлен степени 2, то кривая представляет собой овал Кассини .

Лесная лемниската

[ редактировать ]
Лемниската Эрдеша десятой степени и шестого рода

Гипотеза Эрдеша, вызвавшая значительный интерес, касается максимальной длины полиномиальной лемнискаты ƒ ( x , y ) = 1 степени 2 n, когда p моник , которая , по предположению Эрдеша, достигается, когда p ( z ) = z н − 1.Это до сих пор не доказано, но Фрынтов и Назаров доказали, что p даетлокальный максимум. [1] В случае, когда n = 2, лемниската Эрдеша является лемнискатой Бернулли.

и было доказано, что это действительно максимальная длина четвертой степени. Лемниската Эрдеша имеет три обычные n -кратные точки, одна из которых находится в начале координат, и род ( n - 1)( n - 2)/2. Инвертируя лемнискату Эрдеша в единичной окружности , можно получить неособую кривую степени n .

Общий полиномиальный лемниската

[ редактировать ]

В общем, полиномиальная лемниската не будет соприкасаться в начале координат и будет иметь только две обычные n -кратные особенности и, следовательно, род ( n - 1) 2 . Как реальная кривая, она может иметь ряд несвязных компонентов. Следовательно, оно не будет похоже на лемнискату , что делает название неправильным.

Интересным примером таких полиномиальных лемнискат являются кривые Мандельброта.Если мы положим p 0 = z и p n = p n −1 2 + z , то соответствующие полиномиальные лемнискаты M n, определенные формулой | п п ( z )| = 2 сходятся к границе множества Мандельброта . [2] Кривые Мандельброта имеют степень 2. п+1 . [3]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Фрынтов А; Назаров, Ф (2008). «Новые оценки длины лемнискаты Эрдош-Герцог-Пиран». Линейный и комплексный анализ . 226 : 49–60. arXiv : 0808.0717 . Бибкод : 2008arXiv0808.0717F .
  2. ^ Desmos.com - Кривые Мандельброта
  3. ^ Иванцевич, Владимир Г.; Иванцевич, Тияна Т. (2007), Многомерные хаотические системы и системы аттракторов: всестороннее введение , Springer, стр. 492, ISBN  9781402054563 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a5037cd76b5df5a065d78e47a657caf2__1699445700
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a5/f2/a5037cd76b5df5a065d78e47a657caf2.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Polynomial lemniscate - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)