Гиппопед

В геометрии гиппопеда определяемая (от древнегреческого ἱπποπέδη (hippopédē) «конские кандалы ») — плоская кривая, уравнением вида

(x^{2}+y^{2})^{2}=cx^{2}+dy^{2},

где предполагается, что $c > 0$ и $c > d,$ поскольку остальные случаи либо сводятся к одной точке, либо могут быть приведены к заданному виду поворотом. Гиппопеды — это бициркулярные , рациональные , алгебраические кривые степени 4 , симметричные относительно $осей x$ и $y$ .

Особые случаи

Когда d > 0, кривая имеет овальную форму и часто известна как овал Бута , а когда d < 0, кривая напоминает перевернутую восьмерку, или лемнискату , и часто известна как лемниската Бута , после 19-го века. математик Джеймс Бут, изучавший их. Гиппопеды также исследовались Проклом (по которому их иногда называют Гиппопедами Прокла ) и Евдоксом . Для d = − c гиппопед соответствует лемнискате Бернулли .

Определение как духовные разделы

Гиппопеды с a = 1, b = 0,1, 0,2, 0,5, 1,0, 1,5 и 2,0.

Гиппопеды с b = 1, a = 0,1, 0,2, 0,5, 1,0, 1,5 и 2,0.

Гиппопеды можно определить как кривую, образованную пересечением тора и плоскости, где плоскость параллельна оси тора и касается ее на внутренней окружности. Таким образом, это спирическое сечение , которое, в свою очередь, является разновидностью торического сечения .

Если повернуть круг радиуса а вокруг оси на расстоянии b от его центра, то уравнение полученного гиппопеда в полярных координатах

r^{2}=4b(a-b\sin ^{2}\!\theta )

или в декартовых координатах

(x^{2}+y^{2})^{2}+4b(b-a)(x^{2}+y^{2})=4b^{2}x^{2}

.

Обратите внимание, что при a > b тор пересекает сам себя, поэтому он не похож на обычное изображение тора.

См. также

Список кривых

Ссылки

Лоуренс Джей Ди. (1972) Каталог специальных плоских кривых , Dover Publications. Стр. 145–146.
Бут Дж. Трактат о некоторых новых геометрических методах , Лонгманс, Грин, Ридер и Дайер, Лондон, Том. I (1873) и Vol. II (1877 г.).
Вайсштейн, Эрик В. «Гиппопед» . Математический мир .
«Гиппопед» на 2dcurves.com
«Кривые стенда» в Энциклопедии замечательных математических форм

Внешние ссылки

«Гиппопед Прокла» в Национальном банке кривых