Спирический раздел

Спирические сечения как плоские сечения тора

В геометрии спирикическое сечение , иногда называемое спирикой Персея , представляет собой плоскую кривую четвертой степени , определяемую уравнениями вида

$(x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f.\,$

Эквивалентно, спиральные сечения можно определить как бикруговые кривые четвертой степени, симметричные относительно осей x и y . Спирические сечения входят в семейство торических сечений и включают семейство гиппопедов и семейство овалов Кассини . Название происходит от σπειρα, что на древнегреческом языке означает тор.

Спирическое сечение иногда определяют как кривую пересечения тора и плоскости, параллельной его оси симметрии вращения. Однако это определение не включает все кривые, данные в предыдущем определении, если только воображаемые не разрешены плоскости.

Спирические сечения были впервые описаны древнегреческим геометром Персеем примерно в 150 г. до н.э. и считаются первыми описанными торическими сечениями. Название «спирик» происходит от древнего обозначения «спира» , обозначающего тор.

Уравнения

а = 1, б = 2, с = 0, 0,8, 1

Начнём с обычного уравнения для тора:

$(x^{2}+y^{2}+z^{2}+b^{2}-a^{2})^{2}=4b^{2}(x^{2}+y^{2}).\,$

Поменяв местами y и z так, чтобы ось вращения теперь находилась на плоскости xy , и установив z = c, чтобы найти кривую пересечения, получим

$(x^{2}+y^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(x^{2}+c^{2}).\,$

В этой формуле тор образуется путем вращения круга радиуса a, центр которого следует за другим кругом радиуса b (не обязательно больше a , самопересечение допускается). Параметр c — расстояние от пересекающей плоскости до оси вращения. нет Спирических сечений с c > b + a , поскольку нет пересечения; плоскость находится слишком далеко от тора, чтобы пересечь его.

Расширение уравнения дает форму, показанную в определении

$(x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f\,$

где

$d=2(a^{2}+b^{2}-c^{2}),\ e=2(a^{2}-b^{2}-c^{2}),\ f=-(a^{4}+b^{4}+c^{4}-2a^{2}b^{2}-2a^{2}c^{2}-2b^{2}c^{2}).\,$

В полярных координатах это становится

$(r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}\cos ^{2}\theta +c^{2})\,$

или

$r^{4}=r^{2}(d\cos ^{2}\theta +e\sin ^{2}\theta )+f.$

Спирические сечения на шпиндельном торе

Спирические сечения на шпиндельном торе

Спирические сечения на веретенообразном торе, плоскости которого пересекают веретено (внутренняя часть), состоят из внешней и внутренней кривых (см. рисунок).

Спирические сечения как изоптики

Изоптики эллипсов и гипербол представляют собой спирические сечения. (С. также веб-ссылка на «Энтузиаста математики ».)

Примеры спирических разделов

Примеры включают гиппопеда и овал Кассини и их родственников, таких как лемниската Бернулли . Овал Кассини обладает замечательным свойством: произведение расстояний до двух фокусов постоянно. Для сравнения: сумма постоянна в эллипсах , разность постоянна в гиперболах и отношение постоянно в кругах .

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Спирическая секция» . Математический мир .
• История MacTutor
• Описание сайта 2Dcurves.com
• MacTutor биография Персея
• Любитель математики номер 9, статья 4

Специфический