Обобщенная коническая

В математике обобщенная коника — это геометрический объект , определяемый свойством, которое является обобщением некоторого определяющего свойства классической коники . Например, в элементарной геометрии эллипс геометрическое можно определить как место точки, которая движется в плоскости так, что сумма ее расстояний от двух фиксированных точек – фокусов – на плоскости является постоянной. Кривая, полученная при замене множества двух неподвижных точек произвольным, но фиксированным конечным набором точек плоскости, называется n -эллипсом и может рассматриваться как обобщенный эллипс. Поскольку эллипс представляет собой эквидистантный набор двух окружностей, где один круг находится внутри другого, эквидистантный набор двух произвольных наборов точек на плоскости можно рассматривать как обобщенную конику. В прямоугольных декартовых координатах уравнение y = x ² представляет собой параболу . Обобщенное уравнение y = x ^р , для r ≠ 0 и r ≠ 1, можно рассматривать как определение обобщенной параболы. Идея обобщенной коники нашла применение в теории приближений и теории оптимизации .

Среди нескольких возможных способов обобщения понятия коники наиболее широко используемый подход — определить его как обобщение эллипса . Отправной точкой для этого подхода является рассмотрение эллипса как кривой, удовлетворяющей «свойству двух фокусов»: эллипс — это кривая, которая является геометрическим местом точек, сумма расстояний которых от двух заданных точек постоянна. Эти две точки являются фокусами эллипса. Кривую, полученную заменой множества двух неподвижных точек произвольным, но фиксированным конечным набором точек плоскости, можно представить как обобщенный эллипс. Обобщенные коники с тремя фокусами называются трифокальными эллипсами. Это можно далее обобщить на кривые, которые получаются как места расположения точек, причем некоторая взвешенная сумма расстояний от конечного набора точек является константой. Еще одно обобщение возможно, если предположить, что веса, присвоенные расстояниям, могут иметь произвольный знак, а именно плюс или минус. Наконец, можно снять и ограничение на конечность множества неподвижных точек, называемого множеством фокусов обобщенной коники. Множество можно считать конечным или бесконечным. В бесконечном случае взвешенное среднее арифметическое необходимо заменить соответствующим интегралом. Обобщенные коники в этом смысле называются еще полиэллипсы , яйцеобразные или обобщенные эллипсы . Поскольку такие кривые были рассмотрены немецким математиком Эренфридом Вальтером фон Чирнхаусом (1651–1708), они также известны как Tschirnhaus'sche Eikurve . Также такие обобщения обсуждались Рене Декартом. и Джеймс Клерк Максвелл.

Мультифокальные овальные кривые

Построение овала, определяемого формулой AP + 2 BP = c, с помощью булавок, карандаша и веревки, как описано Джеймсом Клерком Максвеллом.

Построение овала, определяемого формулой AP + BP + CP = c, с помощью булавок, карандаша и веревки, как описано Джеймсом Клерком Максвеллом.

Рене Декарт (1596–1650), отец аналитической геометрии, в своей книге «Геометрия», опубликованной в 1637 году, выделил раздел примерно в 15 страниц, чтобы обсудить то, что он назвал бифокальными эллипсами. Там бифокальный овал определялся как геометрическое место точки P , которая движется в плоскости так, что $AP+\lambda BP=c$ где A и B — неподвижные точки на плоскости, а λ и c — константы, которые могут быть положительными или отрицательными. Декарт ввел эти овалы, которые теперь известны как декартовы овалы , чтобы определить поверхности стекла, на которых после преломления лучи встречаются в одной и той же точке. Декарт также признавал эти овалы обобщениями центральных коник, поскольку при определенных значениях λ эти овалы сводятся к знакомым центральным коникам, а именно к кругу, эллипсу или гиперболе.

Мультифокальные овалы были заново открыты Джеймсом Клерком Максвеллом (1831–1879), когда он был еще школьником. В возрасте 15 лет Максвелл написал научную статью об этих овалах под названием «Наблюдения за описанными фигурами, имеющими множество фокусов и радиусы различных пропорций» и представил ее профессору Дж. Д. Форбсу на собрании Королевского общества. из Эдинбурга в 1846 году. Профессор Дж. Д. Форбс также опубликовал отчет об этой статье в Трудах Королевского общества Эдинбурга. В своей статье, хотя Максвелл не использовал термин «обобщенная коника», он рассматривал кривые, определяемые условиями, которые были обобщениями определяющего условия эллипса.

Определение

Многофокальный овал — это кривая, которая определяется как геометрическое место точки, движущейся так, что

$\lambda _{1}A_{1}P+\lambda _{2}A_{2}P+\cdots +\lambda _{n}A_{n}P=c$

где А ₁ , А ₂ , . . . , An _— неподвижные точки плоскости и λ ₁ , λ ₂ , . . . , λ _n — фиксированные рациональные числа, c — константа. Он предложил простые методы рисования таких овалов с помощью булавочного карандаша.

Метод рисования овала, определяемого уравнением $AP+2BP=c$ иллюстрирует общий подход, принятый Максвеллом для построения таких кривых. фокусах А и В. Закрепите два штифта в Возьмите веревку длиной c + AB и привяжите один ее конец к булавке в A. точке и нить обвивают булавку в фокусе B. К другому концу веревки прикрепляют карандаш , Затем карандаш перемещают, направляя его за кончик веревки. Кривая, проведенная карандашом, является геометрическим местом P . Его изобретательность более заметна в описании метода рисования трехфокального овала, определяемого уравнением вида $AP+BP+CP=c$. три штифта закреплены в трех фокусах A , B , C. Пусть Пусть один конец веревки будет закреплен на булавке в точке C , а веревка будет пропущена вокруг других булавок. Прикрепите карандаш к другому концу веревки. Пусть карандаш зацепится за веревку между A и C затем протянется до P. , а Карандаш перемещают так, чтобы струна натянулась. Полученная фигура будет частью трифокального эллипса. Положение веревки, возможно, придется отрегулировать, чтобы получить полный овал.

В течение двух лет после того, как его статья была представлена ​​Королевскому обществу Эдинбурга, Максвелл систематически разработал геометрические и оптические свойства этих овалов.

Специализация и обобщение подхода Максвелла.

В качестве частного случая подхода Максвелла рассмотрим n-эллипс — геометрическое положение точки, которая движется так, что выполняется следующее условие:

$A_{1}P+A_{2}P+\cdots +A_{n}P=c.\,$

Разделив на n и заменив c / n на c , это определяющее условие можно сформулировать как

${\frac {1}{n}}(A_{1}P+A_{2}P+\cdots +A_{n}P)=c$

Это предполагает простую интерпретацию: обобщенная коника — это кривая, у которой среднее расстояние каждой точки P на кривой от множества { A ₁ , A ₂ , . . . , An _. } имеет то же постоянное значение Эта формулировка понятия обобщенной коники получила дальнейшее обобщение несколькими различными способами.

• Измените определение среднего . В формулировке среднее значение интерпретировалось как среднее арифметическое. Это можно заменить другими понятиями средних значений, такими как среднее геометрическое расстояний. Если для указания среднего используется среднее геометрическое, то полученные кривые оказываются лемнискатами . «Лемнискаты — это множества, все точки которых имеют одинаковое среднее геометрическое расстояний (т.е. их произведение постоянно). Лемнискаты играют центральную роль в теории приближения. Полиномиальное приближение голоморфной функции можно интерпретировать как приближение кривые уровня с лемнискатами. Произведение расстояний соответствует абсолютному значению корневого разложения многочленов в комплексной плоскости».
• Измените мощность фокусного набора . Измените определение так, чтобы его можно было применять даже в случае, когда фокальное множество бесконечно. Эту возможность впервые представили К. Гросс и Т.-К. Стремпель [2] и поставили вопрос о том, можно ли распространить какие результаты (классического случая) на случай бесконечного числа фокусов или на случай непрерывного множества фокусов.
• Измените размер основного пространства . Можно считать, что точки лежат в некотором d -мерном пространстве.
• Измените определение расстояния . Традиционно используются евклидовы определения. вместо него такие как расстояние в такси . могут использоваться другие понятия расстояния, Обобщенные коники с таким понятием расстояния нашли применение в геометрической томографии .

Формулировка определения обобщенной коники в наиболее общем случае, когда мощность фокального множества бесконечна, предполагает использование понятий измеримых множеств и интегрирования Лебега. Все они использовались разными авторами, а полученные кривые изучались с особым акцентом на приложения.

Определение

Позволять $d:R^{n}\rightarrow R$ быть метрикой и $\mu$ мера на компакте $K\subset R^{n}$ с $\mu (K)>0$. Невзвешенная обобщенная коническая функция $f_{K}$ связанный с $K$ является

$f_{K}(x)=\int _{K}g(x,y)d(x,y)\,d_{\mu }y$

где $g:R^{n}\times R^{n}\rightarrow R$ это функция ядра, связанная с $f_{K}$. $K$ представляет собой совокупность фокусов. Уровень устанавливает $\{x\in R^{n}:f_{K}(x)<c\}$ называются обобщенными кониками.

Обобщенные коники через полярные уравнения

На рисунке показано исходное положение правого кругового конуса вместе с плоской секцией до его развертывания на плоскость.

На рисунке показано произвольное положение правого кругового конуса вместе с плоским сечением, когда конус разворачивается на плоскость. На рисунке также показана обобщенная коника (пунктирная кривая на плоскости), к которой коническое сечение конуса развернуто в плоскость.

Учитывая конику, выбрав фокус коники в качестве полюса и линию, проходящую через полюс, проведенную параллельно директрисе можно записать в следующей коники в качестве полярной оси, полярное уравнение коники форме:

$r={\frac {ed}{1+e\sin \theta }}$

Здесь e — эксцентриситет коники, d — расстояние директрисы от полюса. Том М. Апостол и Мамикон А. Мнацаканян в своем исследовании кривых, нарисованных на поверхностях прямых круговых конусов, ввели новый класс кривых, которые они назвали обобщенными кониками. Это кривые, полярные уравнения которых подобны полярным уравнениям обыкновенных коник, а обыкновенные коники являются частными случаями этих обобщенных коник.

Определение

Для констант r ₀ ≥ 0, λ ≥ 0 и действительного k плоская кривая, описываемая полярным уравнением

$r={\frac {r_{0}}{1+\lambda \sin(k\theta )}}$

называется обобщенной коникой . Коника называется обобщенным эллипсом, параболой или гиперболой в зависимости от того, что λ < 1, λ = 1 или λ > 1.

Особые случаи

• В частном случае, когда k = 1, обобщенная коника сводится к обычной конике.
• В частном случае, когда k > 1, существует простой геометрический метод построения соответствующей обобщенной коники.

Пусть α — такой угол, что sin α = 1/ k . Рассмотрим прямой круговой конус с полувертикальным углом, равным α . Рассмотрим пересечение этого конуса плоскостью так, что это пересечение представляет собой конику с эксцентриситетом λ . Разверните конус на плоскость. Тогда кривая в плоскости, на которую коническое сечение эксцентриситета λ, является обобщенной коникой с полярным уравнением, указанным в определении. разворачивается

• В частном случае, когда k < 1, обобщенную конику нельзя получить развертыванием конического сечения. В данном случае есть другая интерпретация.

Рассмотрим обычную конику, нарисованную на плоскости. Оберните плоскость, чтобы сформировать правильный круговой конус, чтобы конус стал кривой в трехмерном пространстве. Проекция кривой на плоскость, перпендикулярную оси конуса, будет обобщенной коникой в ​​смысле Апостола и Мнацаканиана при k < 1.

Примеры

r 0 = 5, λ = 0,6, k = 1,5	r 0 = 5, λ = 0,22, k = 5,5	r 0 = 5, λ = 1, k = 1,5	г 0 = 5, λ = 1, k = 1,15
г 0 = 5, λ = 1,6, k = 1,5	r 0 = 5, λ = 0,8, k = 0,5	r 0 = 5, λ = 1,0, k = 0,5	r 0 = 5, λ = 1,5, k = 0,5

Обобщенные коники в аппроксимации кривых

В 1996 году Жуйбин Цюй представил новое понятие обобщенной коники как инструмента для создания аппроксимаций кривых. Отправной точкой для этого обобщения является тот результат, что последовательность точек $\{P_{k}:k=0,1,2,\ldots \}$ определяется

$P_{k+1}=2\alpha P_{k}-P_{k-1}$

лежать на конике. В этом подходе обобщенная коника теперь определяется, как показано ниже.

Определение

Обобщенная коника — это такая кривая, у которой, если две точки $P_{0}$ и $P_{1}$ находятся на нем, то точки $\{P_{k}:k>1\}$ порожденный рекурсивным отношением

$P_{k+1}=2\alpha P_{k}+\beta P_{k-1}$

для некоторых $\alpha$ и $\beta$ удовлетворение отношений

$\alpha \beta \neq 0,\quad (\alpha ,\beta )\neq (\pm 1,-1),\quad \alpha ^{2}+\beta \neq 0$

тоже на нем.

Обобщенные коники как эквидистантные множества

Анимация, показывающая создание эллипса как равноудаленного набора двух кругов.

Определение

Пусть ( X , d ) — метрическое пространство и пусть A — непустое подмножество X. , Если x является точкой в ​​X , расстояние x от A определяется как d ( x , A ) = inf { d ( x , a ): a in A }. Если A и B оба являются непустыми подмножествами X , то эквидистантное множество, определенное A и B , определяется как множество { x в X : d ( x , A ) = d ( x , B )}. Это эквидистантное множество обозначается { A = B }. Термин обобщенная коника используется для обозначения общего эквидистантного множества.

Примеры

Классические коники можно реализовать как эквидистантные множества. Например, если A — одноэлементное множество, а B — прямая линия, то эквидистантное множество { A = B } — парабола. Если A и B — круги такие, что A полностью находится внутри B, то эквидистантное множество { A = B } является эллипсом. С другой стороны, если A полностью лежит вне B, эквидистантное множество { A = B } является гиперболой.

Подобный подход рассматривает обобщение интерпретации коник фокусом/директрисой/эксцентриситетом путем сохранения одной точки F в качестве фокуса, любой дифференцируемой кривой d, служащей директрисой, и e > 0, эксцентриситета. Пусть X — переменная точка на d. Результирующая обобщенная коника — это набор точек P (каждая из которых лежит на нормали к d через X ), для которых расстояния PF и PX удовлетворяют отношению PF/PX = e . Норман и поплин назвал эти кривые псевдокониками, и ограничение на минимальное расстояние от P до направляющей было отброшено.

Псевдопараболы с параболической и кубической направляющими соответственно

Если сохранить требование минимальности, то множество точек P, удовлетворяющих этому требованию, считаются первичной псевдоконикой, а остаток кривой — вторичной ветвью псевдоконики. Подобные примеры обобщенных парабол можно найти у Джозефа и др. .

Дальнейшее чтение

• Подробное обсуждение обобщенных коник с точки зрения дифференциальной геометрии см. в главе об обобщенных кониках в книге Чабы Винче «Выпуклая геометрия», доступной в Интернете.