Лемниската или Джероно

Лемниската Героно

В алгебраической геометрии лемниската Героно , или лемниската Гюйгенса , или кривая восьмерка , представляет собой плоскую алгебраическую кривую четвертой степени и рода нулевого и представляет собой лемнискатную кривую, имеющую форму $\infty$ символ или цифра восемь. Оно имеет уравнение

$x^{4}-x^{2}+y^{2}=0.$

Его изучал Камилла-Кристоф Джероно .

Параметризация

Поскольку кривая имеет нулевой род, ее можно параметризовать рациональными функциями; одним из способов сделать это является

$x={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\ y={\frac {2t(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}.$

Другое представление —

$x=\cos \varphi ,\ y=\sin \varphi \,\cos \varphi =\sin(2\varphi )/2$

что показывает, что эта лемниската является частным случаем фигуры Лиссажу .

Двойная кривая

Таким образом, двойная кривая (см. формулу Плюкера ), изображенная ниже, имеет несколько иной характер. Его уравнение

$(x^{2}-y^{2})^{3}+8y^{4}+20x^{2}y^{2}-x^{4}-16y^{2}=0.$

Двойственен лемнискате Героно.

Ссылки

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Дуврские публикации . п. 124 . ISBN  0-486-60288-5 .

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Кривая восьмерки» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс