Двойная кривая

Кривые, двойственные друг другу; см. ниже свойства .

В проективной геометрии двойственная кривая к данной плоской кривой C — это кривая в двойственной проективной плоскости, из множества прямых касающихся , C. состоящая Существует карта от кривой к ее двойственной, отправляющая каждую точку в точку, двойственную ее касательной. Если C алгебраична , то она двойственна, а степень двойственной называется классом исходной кривой. Уравнение двойственного C , заданное в координатах известно как тангенциальное уравнение C. линейных , Двойственность — это инволюция : двойственная кривая C — это исходная C. кривая

Построение двойственной кривой является геометрической основой преобразования Лежандра в контексте гамильтоновой механики .

Уравнения

Пусть f ( x , y , z )=0 — уравнение кривой в однородных координатах на проективной плоскости . Пусть Xx + Yy + Zz = 0 — уравнение прямой, где ( X , Y , Z ) обозначают ее координаты линии в двойственной проективной плоскости. Условие касания линии к кривой можно выразить в форме F ( X , Y , Z ) = 0, которая является уравнением касательности кривой.

В точке ( p , q , r ) на кривой касательная определяется выражением

$x{\frac {\partial f}{\partial x}}(p,q,r)+y{\frac {\partial f}{\partial y}}(p,q,r)+z{\frac {\partial f}{\partial z}}(p,q,r)=0.$

Таким образом, Xx + Yy + Zz = 0 является касательной к кривой, если

${\begin{aligned}X&=\lambda {\frac {\partial f}{\partial x}}(p,q,r),\\Y&=\lambda {\frac {\partial f}{\partial y}}(p,q,r),\\Z&=\lambda {\frac {\partial f}{\partial z}}(p,q,r).\end{aligned}}$

Исключение p , q , r и λ из этих уравнений вместе с Xp + Yq + Zr = 0 дает уравнение в X , Y и Z двойственной кривой.

Продолжительность: 4 секунды. 0:04

Слева: эллипс ( ⁠ x / 2 ⁠ ) ²
+ ( ⁠ y / 3 ⁠ ) ²
= 1 с касательными xX + yY = 1 для любых X , Y таких, что (2 X ) ² + (3 года ) ² = 1 .
Справа: двойной эллипс (2 X ). ² + (3 года ) ² = 1 . Каждая касательная к первому эллипсу соответствует точке второго эллипса (отмечена тем же цветом).

Конический

Например, пусть C — конический топор. ² + по ² + Чешский ² = 0 . Двойственный находится путем исключения p , q , r и λ из уравнений

${\begin{array}{c}X=2\lambda ap,\ \ Y=2\lambda bq,\ \ Z=2\lambda cr,\\Xp+Yq+Zr=0.\end{array}}$

Первые три уравнения легко решаются относительно p , q , r , а подстановка в последнее уравнение дает

${\frac {X^{2}}{2\lambda a}}+{\frac {Y^{2}}{2\lambda b}}+{\frac {Z^{2}}{2\lambda c}}=0.$

Очистив 2 λ от знаменателей, получим двойственное уравнение:

${\frac {X^{2}}{a}}+{\frac {Y^{2}}{b}}+{\frac {Z^{2}}{c}}=0.$

Общая алгебраическая кривая

Рассмотрим параметрически заданную кривую $(x,y)=(x(t),y(t)),$ в проективных координатах $(x,y,z)=(x(t),y(t),1)$. Его проективная касательная линия представляет собой линейную плоскость, натянутую на точку касания и касательный вектор, с коэффициентами линейного уравнения, определяемыми векторным произведением :

$(X,Y,Z)=(x,y,1)\times (x',y',0)=(-y',x',xy'-yx'),$

что в аффинных координатах $(X,Y,1)$ является:

$X={\frac {-y'}{xy'-yx'}},\quad Y={\frac {x'}{xy'-yx'}}.$

Двойная точка перегиба даст точку перегиба , а две точки, имеющие одну и ту же касательную линию, дадут точку самопересечения на двойственной точке.

Двойной из двойного

Из проективного описания можно вычислить двойственное двойственному:

$(x(x'y''-y'x''),\,y(x'y''-y'x''),\,x'y''-y'x'')=(x,\,y,\,1)(x'y''-y'x''),$

что проективно эквивалентно исходной кривой $(x(t),y(t),1)$.

Свойства двойной кривой

Свойства исходной кривой соответствуют двойственным свойствам двойственной кривой. На изображении «Введение» красная кривая имеет три особенности: узел в центре и две точки возврата в правом нижнем и левом нижнем углу. Черная кривая не имеет особенностей, но имеет четыре выделенные точки: две самые верхние точки соответствуют узлу (двойной точке), поскольку обе они имеют одну и ту же касательную линию и, следовательно, соответствуют одной и той же точке двойственной кривой, а две точки перегиба соответствуют точкам возврата, поскольку касательные сначала идут в одну сторону, затем в другую (наклон увеличивается, затем уменьшается).

Напротив, на гладкой выпуклой кривой угол касательной меняется монотонно, и полученная двойственная кривая также является гладкой и выпуклой.

Кроме того, обе приведенные выше кривые обладают отражательной симметрией: проективная двойственность сохраняет симметрии в проективном пространстве, поэтому двойственные кривые имеют одну и ту же группу симметрии. В этом случае обе симметрии реализуются как лево-правое отражение; это артефакт того, как были отождествлены пространство и двойственное пространство – в общем, это симметрии разных пространств.

Степень

Если X — плоская алгебраическая кривая, то степень двойственной — это количество точек пересечения с прямой в двойственной плоскости. Поскольку линия в двойственной плоскости соответствует точке на плоскости, степень двойственности - это количество касательных к X , которые можно провести через данную точку. Точки касания этих касательных с кривой являются точками пересечения кривой и полярной кривой относительно данной точки. Если степень кривой равна d, то степень поляры равна d − 1 , и поэтому количество касательных, которые можно провести через данную точку, не превышает d ( d − 1) .

Двойственная прямой (кривая степени 1) является исключением из этого правила и считается точкой в ​​двойственном пространстве (а именно исходной линией). Двойником одной точки считается совокупность линий, проходящих через точку; это образует линию в двойственном пространстве, соответствующую исходной точке.

Если X гладкое (нет особых точек ), то двойственное к X имеет максимальную степень d ( d − 1) . Это означает, что двойственная коника также является коникой. Геометрически отображение коники в двойственную ей взаимно однозначно (поскольку ни одна прямая не касается двух точек коники, поскольку для этого требуется степень 4), а касательная линия меняется плавно (поскольку кривая выпуклая, поэтому наклон касательной меняется монотонно: точки возврата в двойственной кривой требуют точки перегиба исходной кривой, для чего требуется степень 3).

Для кривых с особыми точками эти точки также будут лежать на пересечении кривой и ее поляры, что уменьшает количество возможных касательных линий. Формулы Плюкера дают степень двойственного по d, а также количество и типы особых точек X .

Полярный обратный

Дуальное можно визуализировать как локус на плоскости в форме полярного реципрокаля . Это определяется относительно фиксированной коники Q места расположения полюсов касательных линий кривой C. как Коническая Q почти всегда принимается за круг, поэтому полярная обратной педалью C. является обратная величина

Обобщения

Высшие измерения

Аналогично, при обобщении на более высокие измерения, учитывая гиперповерхность , касательное пространство в каждой точке дает семейство гиперплоскостей и, таким образом, определяет двойственную гиперповерхность в двойственном пространстве. Для любого замкнутого подмногообразия X в проективном пространстве множество всех гиперплоскостей, касающихся некоторой точки , является замкнутым подмногообразием двойственного проективному пространству, называемого двойственным многообразием X X .

Примеры

• Если X — гиперповерхность, определяемая однородным полиномом F ( x ₀ , ..., x _n ) , то двойственное многообразие X — это образ X с помощью карты градиента

$x=(x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto \left({\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}(x),\ldots ,{\frac {\partial F}{\partial x_{n}}}(x)\right)$

который попадает в двойное проективное пространство.

• Двойственное многообразие точки ( a0 _: : an ₎ ... — это гиперплоскость

$a_{0}x_{0}+\ldots +a_{n}x_{n}=0.$

Двойной полигон

Основные статьи: Двойной многоугольник и выпуклое сопряжение

Конструкция двойственной кривой работает, даже если кривая кусочно-линейна или кусочно-дифференцируема , но результирующее отображение вырождено (при наличии линейных компонент) или нечетко определено (при наличии особых точек).

В случае многоугольника все точки на каждом ребре имеют одну и ту же касательную линию и, таким образом, сопоставляются с одной и той же вершиной двойственного треугольника, в то время как касательная линия вершины плохо определена и может интерпретироваться как все линии, проходящие через него под углом между двумя краями. Это согласуется как с проективной двойственностью (линии соответствуют точкам, а точки — линиям), так и с пределом гладких кривых без линейной составляющей: когда кривая сглаживается к краю, ее касательные линии отображаются во все более и более близкие точки; по мере того, как кривая приближается к вершине, ее касательные линии расходятся дальше друг от друга.

В более общем смысле, любой выпуклый многогранник или конус имеет двойственный многогранник , а любое выпуклое множество X с граничной гиперповерхностью H имеет выпуклое сопряжение X*, границей которого является двойственное многообразие H* .

См. также

• Преобразование Хафа
• Карта Гаусса

Ссылки

• Арнольд, Владимир Игоревич (1988), Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений , Springer, ISBN  3-540-96649-8
• Хилтон, Гарольд (1920), «Глава IV: Тангенциальное уравнение и полярное взаимное движение», Плоские алгебраические кривые , Оксфорд
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечения , Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4
• Уокер, Р.Дж. (1950), Алгебраические кривые , Принстон
• Брискорн, Э.; Кноррер, Х. (1986), Плоские алгебраические кривые , Биркхойзер, ISBN  978-3-7643-1769-0