Полигональная цепочка
В геометрии многоугольная цепочка [а] представляет собой связную серию отрезков . Более формально, многоугольная цепочка — кривая , заданная последовательностью точек называется его вершинами . Сама кривая состоит из отрезков, соединяющих последовательные вершины.
Вариации
[ редактировать ]Простой
[ редактировать ]Простая многоугольная цепь — это такая цепь, в которой пересекаются только последовательные сегменты и только в их конечных точках.
Закрыто
[ редактировать ]называется Замкнутой ломаной такая цепь, у которой первая вершина совпадает с последней или, наоборот, первая и последняя вершины также соединены отрезком. [1] Простая замкнутая ломаная цепь на плоскости является границей простого многоугольника . Часто термин « полигон » употребляют в значении «замкнутая полигональная цепь», но в некоторых случаях важно проводить различие между полигональной областью и полигональной цепочкой.
монотонный
[ редактировать ]Ломаная цепь называется монотонной, если существует прямая L такая, что каждая прямая, перпендикулярная к L, пересекает цепь не более одного раза. Любая нетривиальная монотонная ломаная цепь открыта. Для сравнения, монотонный многоугольник — это многоугольник (замкнутая цепь), который можно разбить ровно на две монотонные цепи. [2] Графики кусочно-линейных функций образуют монотонные цепи относительно горизонтальной прямой.
Параметризация
[ редактировать ]Каждый сегмент полигональной цепи обычно параметризуется линейно с использованием линейной интерполяции между последовательными вершинами. Для всей цепочки в практических приложениях распространены две параметризации: каждому сегменту цепочки может быть присвоен единичный интервал параметра, соответствующий индексу первой вершины; поочередно каждому сегменту цепочки может быть присвоен интервал параметра, соответствующий длине сегмента, так что параметр равномерно соответствует длине дуги по всей цепочке.
Из наборов точек
[ редактировать ]Каждый набор не менее точек содержит ломаный путь не менее ребра, у которых все уклоны имеют один и тот же знак. Это следствие теоремы Эрдеша – Секереша .
Приложения
[ редактировать ]Полигональные цепочки часто можно использовать для аппроксимации более сложных кривых. В этом контексте алгоритм Рамера-Дугласа-Пойкера можно использовать для поиска многоугольной цепи с небольшим количеством сегментов, которая служит точным приближением. [3] [4]
При рисовании графов многоугольные цепочки часто используются для представления ребер графов в стилях рисования, где рисование ребер в виде сегментов прямых линий может вызвать пересечения, столкновения ребер и вершин или другие нежелательные особенности. В этом контексте часто желательно рисовать края с как можно меньшим количеством сегментов и изгибов, чтобы уменьшить визуальный беспорядок на рисунке; Задача минимизации количества изгибов называется минимизацией изгибов . [5]
В компьютерном геометрическом проектировании гладкие кривые часто определяются списком контрольных точек , например, при определении кривой Безье сегментов . Соединившись вместе, контрольные точки образуют полигональную цепочку, называемую контрольным полигоном .
Полигональные цепочки также являются фундаментальным типом данных в вычислительной геометрии . Например, определения местоположения точки алгоритм Ли и Препараты работает путем разложения произвольных плоских подразделений в упорядоченную последовательность монотонных цепей, в которой проблема запроса местоположения точки может быть решена с помощью двоичного поиска ; позже этот метод был усовершенствован, чтобы дать оптимальные временные рамки для задачи определения местоположения точки. [6]
В географической информационной системе строки могут представлять любую линейную геометрию и могут быть описаны с использованием известной текстовой разметки как LineString
или MultiLineString
. [7] Линейные кольца (или LinearRing
) — это замкнутые и простые полигональные цепи, используемые для построения полигональной геометрии.
См. также
[ редактировать ]- Цепочка (алгебраическая топология) — формальная комбинация симплексов, включающая в 1-мерном случае полигональные цепи.
- Составная кривая Безье — обобщение, заменяющее каждую прямую линию многоугольной цепи гладкой кривой.
- Расстояние звена — количество сегментов кратчайшей цепи, соединяющей две точки внутри многоугольника.
- Кусочная регрессия
- Путь (теория графов) — аналогичная концепция в абстрактных графах.
- Многогранный рельеф — трехмерное обобщение монотонной многоугольной цепи.
- Спирангл — спиральная многоугольная цепочка.
- Число палочки , инвариант узла, основанный на представлении узла как замкнутой многоугольной цепи.
- Траверс , применение в геодезии
Примечания
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Мельхорн, Курт ; Нэхер, Стефан (1999), LEDA: платформа для комбинаторных и геометрических вычислений , издательство Кембриджского университета, стр. 758, ISBN 9780521563291 .
- ^ О'Рурк, Джозеф (1998), Вычислительная геометрия на языке C , Кембриджские трактаты по теоретической информатике, издательство Кембриджского университета, стр. 45, ISBN 9780521649766 .
- ^ Рамер, Урс (1972), «Итерационная процедура полигональной аппроксимации плоских кривых», Компьютерная графика и обработка изображений , 1 (3): 244–256, doi : 10.1016/S0146-664X(72)80017-0 .
- ^ Дуглас, Дэвид; Пойкер, Томас (1973), «Алгоритмы уменьшения количества точек, необходимых для представления оцифрованной линии или ее карикатуры», The Canadian Cartographer , 10 (2): 112–122, doi : 10.3138/FM57-6770-U75U -7727 .
- ^ Тамассиа, Роберто (1987), «О встраивании графа в сетку с минимальным количеством изгибов», SIAM Journal on Computing , 16 (3): 421–444, doi : 10.1137/0216030 .
- ^ Эдельсбруннер, Герберт ; Гибас, Леонидас Дж .; Столфи, Хорхе (1986), «Оптимальное расположение точки в монотонном подразделении», SIAM Journal on Computing , 15 (2): 317–340, doi : 10.1137/0215023 .
- ^ Jump up to: а б Открытый геопространственный консорциум (28 мая 2011 г.), Херринг, Джон Р. (редактор), Стандарт реализации OpenGIS® для географической информации. Простой доступ к функциям. Часть 1: Общая архитектура , 1.2.1, Открытый геопространственный консорциум , получено в 2016 г. 01-15
- ^ Гомес, Йонас; Велью, Луис; Коста Соуза, Марио (2012), Компьютерная графика: теория и практика , CRC Press, стр. 186, ISBN 9781568815800 .
- ^ Чейни, Уорд (2001), Анализ для прикладной математики , Тексты для выпускников по математике, том. 208, Спрингер, с. 13, ISBN 9780387952796 .
- ^ Jump up to: а б Буассонна, Жан-Даниэль; Тейо, Моник (2006), Эффективная вычислительная геометрия для кривых и поверхностей , Springer, с. 34, ISBN 9783540332596 .
- ^ Муггео, Вито М.Р. (май 2008 г.), «Сегментировано: пакет R для соответствия моделям регрессии с ломаными связями» (PDF) , R News , 8 (1): 20–25