Номер палки

Узел 2,3 тора (или трилистника) имеет число палочек шесть.

В математической теории узлов число палочек — это инвариант узла , который интуитивно дает наименьшее количество прямых «палочек», застрявших встык, необходимое для образования узла. В частности, для любого узла $K$, количество палочек $K$, обозначенный $\operatorname {stick} (K)$, — наименьшее количество ребер многоугольного пути эквивалентное , $K$.

Известные значения

Шесть — это наименьшее число палочек для любого нетривиального узла. Есть несколько узлов, номер палочки которых можно определить точно. Гё Тэк Джин определил номер клюшки $(p,q)$- торический узел $T(p,q)$ в случае, если параметры $p$ и $q$ находятся не слишком далеко друг от друга:

$\operatorname {stick} (T(p,q))=2q$, если $2\leq p<q\leq 2p.$

Тот же результат был независимо получен примерно в то же время исследовательской группой Колина Адамса , но для меньшего диапазона параметров.

Границы

Квадратный узел = трилистник + отражение трилистника.

Число палочек суммы узлов может быть ограничено сверху числами палочек слагаемых: $${\text{stick}}(K_{1}\#K_{2})\leq {\text{stick}}(K_{1})+{\text{stick}}(K_{2})-3\,$$

Связанные инварианты

Число палочек узла $K$ связано с номером его пересечения $c(K)$ следующими неравенствами: $${\frac {1}{2}}(7+{\sqrt {8\,{\text{c}}(K)+1}})\leq {\text{stick}}(K)\leq {\frac {3}{2}}(c(K)+1).$$

Оба этих неравенства являются точными для узла-трилистника , который имеет число пересечений 3 и число палочек 6.

Ссылки

Вводный материал

• Адамс, CC (май 2001 г.), «Почему узел: узлы, молекулы и числа палочек» , Plus Magazine . Доступное введение в тему, в том числе для читателей с небольшим математическим образованием.
• Адамс, CC (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-3678-1 .

Научные статьи

• Адамс, Колин С .; Бреннан, Бевин М.; Грейлшаймер, Дебора Л.; Ву, Александр К. (1997), «Числа палочек и состав узлов и связей», Журнал теории узлов и ее разветвлений , 6 (2): 149–161, doi : 10.1142/S0218216597000121 , MR   1452436
• Кальво, Хорхе Альберто (2001), «Геометрические пространства узлов и многоугольная изотопия», Журнал теории узлов и ее разветвлений , 10 (2): 245–267, arXiv : math/9904037 , doi : 10.1142/S0218216501000834 , MR   1822491
• Эдди, Томас Д.; Шонквилер, Клейтон (2019), Новые границы числа палочек на основе случайной выборки ограниченных многоугольников , arXiv : 1909.00917
• Джин, Гё Тэк (1997), «Индексы многоугольников и индексы супермостов торических узлов и связей», Journal of Knot Theory and its Ramifications , 6 (2): 281–289, doi : 10.1142/S0218216597000170 , MR   1452441
• Негами, Сейя (1991), «Теоремы Рамсея для узлов, связей и пространственных графов», Труды Американского математического общества , 324 (2): 527–541, doi : 10.2307/2001731 , MR   1069741
• Ха, Янгсик; О, Сынсан (2011), «Верхняя граница количества узлов на палке», Journal of Knot Theory and its Ramifications , 20 (5): 741–747, arXiv : 1512.03592 , doi : 10.1142/S0218216511008966 , MR   2806342

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Число палочки» , MathWorld
• « Числа палочек для минимального количества узлов », сайт исследований и разработок KnotPlot .