Узел ленты

Трехмерная визуализация узла ленты. $8_{20}$, показывая свойство ленты

В математической области теории узлов ленточный узел — это узел , ограничивающий самопересекающийся диск только с ленточными особенностями . Интуитивно понятно, что сингулярность такого рода можно образовать, если прорезать в диске щель и пропустить через нее другую часть диска. Точнее, этот тип особенности представляет собой замкнутую дугу, состоящую из точек пересечения диска с самим собой, такую, что прообраз этой дуги состоит из двух дуг в диске: одна полностью находится внутри диска, а другая имеет два своих дуги. конечные точки на границе диска.

Формулировка теории Морса

Диск-срез М представляет собой гладко вложенный $D^{2}$ в $D^{4}$ с $M\cap \partial D^{4}=\partial M\subset S^{3}$. Рассмотрим функцию $f\colon D^{4}\to \mathbb {R}$ данный $f(x,y,z,w)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$. С помощью малой изотопии M можно гарантировать, что f ограничивается функцией Морса на M . Один говорит $\partial M\subset \partial D^{4}=S^{3}$ является ленточным узлом, если $f_{|M}\colon M\to \mathbb {R}$ не имеет внутренних локальных максимумов.

Гипотеза о срезе ленты

Известно, что каждый узел на ленте является узлом-ломтиком . Знаменитая открытая задача, поставленная Ральфом Фоксом и известная как гипотеза о срезе ленты , задается вопросом, верно ли обратное: каждый ли (гладкий) срез узла является лентой?

Лиска (2007) показал, что гипотеза верна для узлов моста номер два. Грин и Джабука (2011) показали, что это справедливо для трехниточных узлов-кренделей с нечетными параметрами. Однако Гомпф, Шарлеманн и Томпсон (2010) предположили, что эта гипотеза может быть неверной, и предложили семейство узлов, которые могли бы служить ей контрпримерами. Гипотеза еще больше усилилась, когда было показано, что знаменитый потенциальный контрпример, трос (2, 1) узла восьмерки не разрезается, тем самым удаляя его как контрпример.

Ссылки

• Фокс, Р.Х. (1962), «Некоторые проблемы теории узлов», Топология трехмерных многообразий и смежные темы (Proc. The Univ. of Georgia Institute, 1961) , Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл, стр. 168–176. , МР   0140100 . Перепечатано Dover Books, 2010 г.
• Гомпф, Роберт Э .; Шарлеманн, Мартин ; Томпсон, Эбигейл (2010), «Расслоенные узлы и потенциальные контрпримеры к свойству 2R и гипотезы о срезах ленты», Geometry & Topology , 14 (4): 2305–2347, arXiv : 1103.1601 , doi : 10.2140/gt.2010.14.2305 , МР   2740649 , S2CID   58915479 .
• Грин, Джошуа; Ябука, Станислав (2011), «Гипотеза о срезе ленты для трехнитевых узлов кренделя», American Journal of Mathematics , 133 (3): 555–580, arXiv : 0706.3398 , doi : 10.1353/ajm.2011.0022 , MR   2808326 , S2CID   10279100 .
• Кауфман, Луи Х. (1987), О узлах , Анналы математических исследований, том. 115, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-08434-3 , МР   0907872 .
• Лиска, Паоло (2007), «Пространства линз, рациональные шары и гипотеза о ленте», Geometry & Topology , 11 : 429–472, arXiv : math/0701610 , doi : 10.2140/gt.2007.11.429 , MR   2302495 , S2CID   15238217 .

Внешние ссылки

• Сломан, Лейла (18 мая 2022 г.). «Насколько сложен узел? Новое доказательство показывает, что система ранжирования работает» . Журнал Кванта .