Таблица узлов
Со времен сэра Уильяма Томсона математики теории вихрей пытались классифицировать и сводить в таблицы все возможные узлы . По состоянию на май 2008 г. все простые узлы до 16 пересечений сведены в таблицы. [1] Основная проблема этого процесса заключается в том, что многие, казалось бы, разные узлы на самом деле могут представлять собой разные геометрические представления одной и той же топологической сущности, и что доказать или опровергнуть эквивалентность узлов гораздо сложнее, чем кажется на первый взгляд.
Начало
[ редактировать ]В 19 веке сэр Уильям Томсон выдвинул гипотезу о том, что химические элементы основаны на запутанных вихрях в эфире. [2] Пытаясь составить периодическую таблицу элементов , П.Г. Тейт , К.Н. Литтл и другие начали пытаться подсчитать все возможные узлы. [3] Поскольку их работа предшествовала изобретению цифрового компьютера, всю работу приходилось выполнять вручную.
пара перко
[ редактировать ]В 1974 году Кеннет Перко обнаружил дублирование в таблицах Тейта-Литтла, названное парой Перко . В более поздних таблицах узлов использовалось два подхода к решению этой проблемы: некоторые просто пропускали одну из записей без изменения нумерации, а другие меняли нумерацию более поздних записей, чтобы удалить дыру. Возникшая в результате двусмысленность сохраняется и по сей день и усугубляется ошибочными попытками исправить вызванные этим ошибки, которые сами по себе были неправильными. Например, на странице Perko Pair в Wolfram Web ошибочно сравниваются два разных узла (из-за изменения нумерации такими математиками, как Бурде и Бар-Натан).
Новые методы
[ редактировать ]Джим Хост, Джефф Уикс и Морвен Тистлтуэйт использовали компьютерный поиск, чтобы подсчитать все узлы с 16 или менее пересечениями. Это исследование проводилось отдельно с использованием двух разных алгоритмов на разных компьютерах, что подтверждает правильность его результатов. Оба подсчета обнаружили 170–1936 простых узлов (включая неразветвленные ) с количеством пересечений до 16. [1] Совсем недавно, в 2020 году, Бенджамин Бертон классифицировал все простые узлы до 19 пересечений (из которых почти 300 миллионов). [4] [5]
Начиная с трех пересечений (минимум для любого нетривиального узла), количество простых узлов для каждого количества пересечений равно
- 1, 1, 2, 3, 7, 21, 49, 165, 552, 2176, 9988, 46972, 253293, 1388705, ... (последовательность A002863 в OEIS )
Современные автоматизированные методы теперь могут считывать миллиарды узлов за считанные дни. [3]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Хосте, Джим; Тистлетвейт, Морвен; Уикс, Джефф (1998), «Первые 1 701 936 узлов» (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 20 (4): 33–48, doi : 10.1007/BF03025227 , MR 1646740 , S2CID 18027155 , в архиве (PDF) из оригинала 29 июля 2010 г.
- ^ Томсон, Уильям (1869), «О вихревых атомах» , Труды Эдинбургского королевского общества , 6 : 94–105, doi : 10.1017/s0370164600045430
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Хост, Джим, Перечисление и классификация узлов и связей (PDF) , заархивировано (PDF) из оригинала 30 мая 2019 г. , получено 27 июня 2020 г.
- ^ Бертон, Бенджамин А. (2020). «Следующие 350 миллионов узлов» . В Кабельо, Серджио; Чен, Дэнни З. (ред.). 36-й Международный симпозиум по вычислительной геометрии (SoCG 2020) . Международные труды Лейбница по информатике (LIPIcs). Том 164. Дагштуль, Германия: Центр информатики Schloss Dagstuhl-Leibniz. стр. 25:1–25:17. doi : 10.4230/LIPIcs.SoCG.2020.25 . ISBN 978-3-95977-143-6 .
- ^ Ричесон, Дэвид С. (31 октября 2022 г.). «Почему математики изучают узлы» . Журнал Кванта . Проверено 5 ноября 2022 г.
