История теории узлов

Тривиальные узлы или развязки

Узлы использовались для основных целей, таких как запись информации , скрепление и связывание предметов, на протяжении тысячелетий. Ранний значительный стимул в теории узлов появился позже, когда сэр Уильям Томсон (лорд Кельвин) и его вихревая теория атома .

История

Домодернистский

Разные узлы лучше подходят для разных задач, например, для скалолазания или плавания под парусом . Считалось, что узлы помимо эстетических качеств имеют духовную и религиозную символику. Бесконечный узел появляется в тибетском буддизме, а кольца Борромео неоднократно появлялись в разных культурах, часто символизируя единство. Кельтские монахи , создавшие Келлскую книгу, украсили целые страницы замысловатым кельтским узлом .

Ранний модерн

Узлы изучались с математической точки зрения Карлом Фридрихом Гауссом , который в 1833 году разработал интеграл зацепления Гаусса для вычисления числа зацеплений двух узлов. Его ученик Иоганн Бенедикт Листинг , в честь которого узел Листинга назван , продолжил их исследование.

В 1867 году, наблюдая за экспериментами шотландского физика Питера Тейта с кольцами дыма, Томсон пришёл к мысли, что атомы представляют собой узлы закрученных вихрей в эфире . Таким образом, химические элементы будут соответствовать узлам и связям. Эксперименты Тейта были вдохновлены статьей Гельмгольца о вихревых кольцах в несжимаемых жидкостях. Томсон и Тейт считали, что понимание и классификация всех возможных узлов объяснит, почему атомы поглощают и излучают свет только на тех дискретных длинах волн , которые они делают. Например, Томсон считал, что натрий может быть звеном Хопфа из-за двух линий его спектра.

Впоследствии Тейт начал перечислять уникальные узлы, полагая, что он создает таблицу элементов. Он сформулировал то, что сейчас известно как гипотеза Тейта о чередующихся узлах . (Эти гипотезы были доказаны в 1990-х годах.) Таблицы узлов Тейта впоследствии были улучшены К. Н. Литтлом и Томасом Киркманом .

Джеймс Клерк Максвелл , коллега и друг Томсона и Тейта, также проявил большой интерес к узлам. Максвелл изучал работы Листинга по узлам. Он переосмыслил интеграл связи Гаусса с точки зрения электромагнитной теории. В его формулировке интеграл представлял собой работу, совершаемую заряженной частицей, движущейся по одной составляющей звена под действием магнитного поля, создаваемого электрическим током вместе с другой составляющей. Максвелл также продолжил исследование дымовых колец, рассмотрев три взаимодействующих кольца.

Когда светоносный эфир не был обнаружен в эксперименте Майкельсона-Морли , теория вихрей полностью устарела, а теория узлов перестала представлять большой научный интерес. Современная физика показывает, что дискретные длины волн зависят от квантовых уровней энергии .

Поздний модерн

Следуя развитию топологии в начале 20-го века, возглавляемому Анри Пуанкаре , такие топологи, как Макс Ден , Дж. У. Александер и Курт Райдемайстер , исследовали узлы. Из этого возникли движения Райдемейстера и полином Александера . Ден также разработал хирургию Дена , которая связала узлы с общей теорией 3-многообразий, и сформулировал проблемы Дена в теории групп , такие как проблема слов . Среди пионеров первой половины 20-го века был Ральф Фокс , который популяризировал эту тему. В этот ранний период теория узлов в основном состояла из изучения группы узлов и гомологических инвариантов дополнения к узлам .

Современный

В 1961 году Вольфганг Хакен открыл алгоритм, который может определить, является ли узел нетривиальным . Он также изложил стратегию решения общей проблемы распознавания узлов, то есть определения того, эквивалентны ли два заданных узла или нет. В начале 1970-х годов Фридхельм Вальдхаузен объявил о завершении программы Хакена, основанной на его результатах и ​​результатах Клауса Йоханнсона , Уильяма Жако , Питера Шалена и Джеффри Хемиона . В 2003 году Сергей Матвеев указал и восполнил серьезный пробел.

Несколько крупных открытий, сделанных в конце 20-го века, значительно обновили теорию узлов и сделали ее еще более популярной. В конце 1970-х годов теорема Уильяма Тёрстона о гиперболизации ввела теорию гиперболических 3-многообразий в теорию узлов и придала ей первостепенное значение. В 1982 году Терстон получил Филдсовскую медаль, высшую награду в области математики, во многом благодаря этому прорыву. Работа Терстона, после значительного расширения другими, также привела к эффективному использованию инструментов теории представлений и алгебраической геометрии . Последовали важные результаты, в том числе теорема Гордона-Люке , которая показала, что узлы определяются (с точностью до зеркального отражения) их дополнениями, и гипотеза Смита .

Интерес к теории узлов со стороны общего математического сообщества значительно вырос после Воаном Джонсом открытия полинома Джонса в 1984 году. Это привело к появлению других полиномов узлов, таких как скобочный полином , полином ХОМФЛИ и полином Кауфмана . За эту работу Джонс был награжден медалью Филдса в 1990 году. В 1988 году Эдвард Виттен предложил новую структуру полинома Джонса, используя существующие идеи математической физики , такие как интегралы по путям Фейнмана , и вводя новые понятия, такие как топологическая квантовая теория поля . Виттен также получил медаль Филдса в 1990 году, частично за эту работу. Описание Виттеном полинома Джонса подразумевало связанные инварианты для 3-многообразий . Одновременные, но разные подходы других математиков привели к появлению инвариантов Виттена-Решетихина-Тураева и различных так называемых « квантовых инвариантов », которые кажутся математически строгой версией инвариантов Виттена. В 1980-х годах Джон Хортон Конвей открыл процедуру развязывания узлов, постепенно известную как нотация Конвея .

В 1992 году был основан Журнал теории узлов и ее разветвлений , ставший журналом, посвященным исключительно теории узлов.

инварианты узлов, охватывающие полином Джонса и его обобщения, называемые инвариантами конечного типа были обнаружены В начале 1990-х годов Васильевым и Гусаровым . Эти инварианты, первоначально описанные с использованием «классических» топологических средств, как показал медалист Филдса 1994 года Максим Концевич, являются результатом интегрирования с использованием интеграла Концевича определенных алгебраических структур.

За этими прорывами последовало открытие гомологий Хованова и гомологий узла Флоера , которые значительно обобщают полиномы Джонса и Александера. Эти теории гомологии способствовали дальнейшему распространению теории узлов.

В последние несколько десятилетий 20-го века ученые и математики начали находить применение теории узлов для решения задач биологии и химии . Теорию узлов можно использовать, чтобы определить, является ли молекула хиральной (имеет «направленность») или нет. Химические соединения разного происхождения могут иметь совершенно разные свойства, талидомид ярким примером этого является . В более общем плане методы теории узлов использовались при изучении топоизомеров , топологически различных структур одной и той же химической формулы. Тесно связанная теория клубков эффективно использовалась при изучении действия некоторых ферментов на ДНК. Междисциплинарная область теории физических узлов исследует математические модели узлов, основанные на физических соображениях, чтобы понять явления завязывания, возникающие в таких материалах, как ДНК или полимеры.

В физике было показано, что некоторые гипотетические квазичастицы, такие как неабелевы анионы, обладают полезными топологическими свойствами, а именно, что их квантовые состояния остаются неизменными из-за окружающей изотопии их мировых линий . Есть надежда, что их можно будет использовать для создания квантового компьютера, устойчивого к декогеренции . Поскольку мировые линии образуют математическую косу , теория кос , родственная область теории узлов , используется при изучении свойств такого компьютера, называемого топологическим квантовым компьютером .

Развитием, связанным с теорией узлов и дополняющим ее, является топология цепей , первоначально предложенная Алирезой Машаги. как теория, фокусирующаяся на открытых цепях, включающих внутрицепные контакты или связи. Теория исторически была разработана для решения проблем молекулярной топологии и, в частности, биологии.

Ссылки

• Сильвер, Дэн, шотландская физика и странное происхождение теории узлов (расширенная версия Сильвера, «Необычное происхождение теории узлов», American Scientist, 94, № 2, 158–165)
• Дж. К. Тернер и П. ван де Гриенд, редакторы (1995) «История и наука о узлах» , World Scientific .
• Бар-Натан, Дрор (1995), «Об инвариантах узла Васильева», Топология , 34 (2): 423–472, doi : 10.1016/0040-9383(95)93237-2
• Концевич, М. (1993). «Инварианты узла Васильева». Семинар И.М. Гельфанда . АДВСОВ. Том. 16. С. 137–150. дои : 10.1090/advsov/016.2/04 . ISBN  978-0-8218-4117-4 .
• Тураев, Владимир Георгиевич (2016) [1994]. Квантовые инварианты узлов и 3-многообразий . дои : 10.1515/9783110435221 . ISBN  978-3-11-043522-1 . S2CID   118682559 .
• Виттен, Эдвард (1989), «Квантовая теория поля и полином Джонса» , Comm. Математика. Физ. , 121 (3): 351–399, Bibcode : 1989CMaPh.121..351W , doi : 10.1007/BF01217730 , S2CID   14951363

Внешние ссылки

• Томсон, сэр Уильям (лорд Кельвин), О вихревых атомах , Труды Королевского общества Эдинбурга, Vol. VI, 1867, стр. 94–105.
• Силлиман, Роберт Х., Уильям Томсон: кольца дыма и атомизм девятнадцатого века , Исида, Том. 54, № 4. (декабрь 1963 г.), стр. 461–474. ссылка на JSTOR
• Фильм о современной реконструкции эксперимента Тейта с дымовым кольцом.
• История узлов