Топологический квантовый компьютер

Топологический квантовый компьютер — теоретический квантовый компьютер, предложенный российско-американским физиком Алексеем Китаевым в 1997 году. Он использует квазичастицы в двумерных системах, называемых анионами , мировые линии которых проходят друг вокруг друга, образуя косы в трехмерном пространстве-времени (т.е. одно временное плюс два пространственных измерения). Эти косы образуют логические элементы , из которых состоит компьютер. Преимущество квантового компьютера на основе квантовых кос перед использованием захваченных квантовых частиц состоит в том, что первый гораздо более стабилен. Небольшие кумулятивные возмущения могут привести к декогеренции кос квантовых состояний и внести ошибки в вычисления, но такие небольшие возмущения не меняют топологические свойства . Это похоже на усилие, необходимое для того, чтобы разрезать веревку и снова соединить концы, чтобы сформировать другую косу, в отличие от шарика (представляющего обычную квантовую частицу в четырехмерном пространстве-времени), ударяющегося о стену.

Хотя элементы топологического квантового компьютера возникли в чисто математической области, эксперименты с дробными квантовыми системами Холла показывают, что эти элементы могут быть созданы в реальном мире с использованием полупроводников, изготовленных из арсенида галлия при температуре, близкой к абсолютному нулю и подвергнутых сильным магнитным полям. .

Введение

Анионы — это квазичастицы в двумерном пространстве. Анионы не являются ни фермионами , ни бозонами , но, как и фермионы, не могут находиться в одном и том же состоянии. Таким образом, мировые линии двух анионов не могут пересекаться или сливаться, что позволяет их путям образовывать устойчивые косы в пространстве-времени. Анионы могут образовываться в результате возбуждений в холодном двумерном электронном газе в очень сильном магнитном поле и переносить дробные единицы магнитного потока. Это явление называется дробным квантовым эффектом Холла . В типичных лабораторных системах электронный газ занимает тонкий полупроводниковый слой, зажатый между слоями арсенида алюминия-галлия.

При сплетении анионов трансформация квантового состояния системы зависит только от топологического класса траекторий анионов (которые классифицируются по группе кос ). Следовательно, квантовая информация, хранящаяся в состоянии системы, невосприимчива к небольшим ошибкам в траекториях. В 2005 году Санкар Дас Сарма , Майкл Фридман и Четан Наяк предложили квантовое устройство Холла, которое реализовало бы топологический кубит. В 2005 году Владимир Дж. Голдман, Фернандо Э. Камино и Вэй Чжоу. утверждали, что создали и наблюдали первые экспериментальные доказательства использования дробного квантового эффекта Холла для создания настоящих анионов, хотя другие предполагали, что их результаты могут быть продуктом явлений, не связанных с анионами. Неабелевы анионы, вид, необходимый для топологических квантовых компьютеров, еще не подтвержден экспериментально. Были найдены возможные экспериментальные доказательства, но выводы остаются спорными. В 2018 году ученые снова заявили, что выделили необходимые частицы Майораны, но в 2021 году это открытие было опровергнуто. В 2021 году журнал Quanta заявил, что «никто не доказал убедительно существование хотя бы одной квазичастицы (нулевой моды Майораны)». хотя в 2023 году новая статья журнал поместил несколько препринтов Google и Квантинуум заявляя о реализации неабелевых анионов на квантовых процессорах, первый использовал торический код с твист-дефектами в качестве топологического вырождения (или топологического дефекта ), в то время как второй использовал другой, но родственный протокол, оба из которых можно понимать как связанные состояния Майораны в квантовая коррекция ошибок .

квантовый

Топологические квантовые компьютеры эквивалентны по вычислительной мощности другим стандартным моделям квантовых вычислений, в частности модели квантовой схемы и модели квантовой машины Тьюринга . То есть любая из этих моделей может эффективно имитировать любую другую. Тем не менее, некоторые алгоритмы могут быть более естественными для топологической модели квантового компьютера. Например, алгоритмы вычисления полинома Джонса сначала были разработаны в топологической модели и лишь позже преобразованы и расширены в стандартной модели квантовой схемы.

Расчеты

Чтобы соответствовать своему названию, топологический квантовый компьютер должен обеспечивать уникальные вычислительные свойства, обещанные конструкцией обычного квантового компьютера, в котором используются захваченные квантовые частицы. В 2000 году Майкл Х. Фридман , Алексей Китаев , Майкл Дж. Ларсен и Чжэнхан Ван доказали, что топологический квантовый компьютер в принципе может выполнять любые вычисления, которые может выполнить обычный квантовый компьютер, и наоборот.

Они обнаружили, что обычный квантовый компьютер при безошибочной работе его логических схем даст решение с абсолютным уровнем точности, тогда как топологический квантовый компьютер с безупречной работой даст решение только с конечным уровнем точности. точность. Однако любой уровень точности ответа можно получить, добавив больше витков кос (логических схем) к топологическому квантовому компьютеру в простой линейной зависимости. Другими словами, разумным увеличением элементов (скруток косы) можно добиться высокой степени точности ответа. Фактические вычисления [ворота] выполняются с помощью краевых состояний дробного квантового эффекта Холла. Это делает важными модели одномерных анионов. В одном измерении пространства анионы определяются алгебраически.

Исправление ошибок и контроль

Несмотря на то, что квантовые косы по своей природе более стабильны, чем захваченные квантовые частицы, все еще существует необходимость контролировать ошибки, вызывающие тепловые флуктуации, которые создают случайные случайные пары анионов, которые мешают соседним косам. Контролировать эти ошибки — это просто вопрос разделения анионов на расстояние, на котором скорость мешающих отклонений падает почти до нуля. Моделирование динамики топологического квантового компьютера может стать многообещающим методом реализации отказоустойчивых квантовых вычислений даже со стандартной схемой квантовой обработки информации. Рауссендорф, Харрингтон и Гоял изучили одну модель и получили многообещающие результаты моделирования.

Пример: Вычисления с помощью анионов Фибоначчи

Одним из ярких примеров топологических квантовых вычислений является система анионов Фибоначчи. Анион Фибоначчи был описан как «возникающая частица, обладающая свойством: по мере добавления в систему новых частиц число квантовых состояний растет подобно последовательности Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8 и т. д.». В контексте конформной теории поля анионы Фибоначчи описываются моделью Янга–Ли, частным случаем SU(2) теории Черна–Саймонса и моделями Весса–Зумино–Виттена . Эти анионы можно использовать для создания универсальных вентилей для топологических квантовых вычислений. Создание модели состоит из трех основных этапов:

• Выберите наш базис и ограничьте наше гильбертово пространство.
• Сплетите анионы вместе
• Соедините анионы в конце и определите, как они сливаются, чтобы прочитать выходные данные системы.

Государственная подготовка

Анионы Фибоначчи характеризуются тремя качествами:

1. Они имеют топологический заряд $\tau$. В этом обсуждении мы рассматриваем еще один заряд, называемый $1$ что является зарядом «вакуума», если любые атомы аннигилируют друг с другом.
2. Каждый из этих анионов является собственной античастицей. $\tau =\tau ^{*}$ и $1=1^{*}$.
3. Если их приблизить друг к другу, они «срастутся» нетривиальным образом. В частности, правила «слияния» таковы:
   1. $1\otimes 1=1$
   2. $1\otimes \tau =\tau \otimes 1=\tau$
   3. $\tau \otimes \tau =1\oplus \tau$
4. Многие свойства этой системы можно объяснить аналогично свойствам двух частиц со спином 1/2. В частности, мы используем одно и то же тензорное произведение $\otimes$ и прямая сумма $\oplus$ операторы.

Последнее правило «слияния» можно распространить на систему трех анионов:

$\tau \otimes \tau \otimes \tau =\tau \otimes (1\oplus \tau )=\tau \otimes 1\oplus \tau \otimes \tau =\tau \oplus 1\oplus \tau =1\oplus 2\cdot \tau$

Таким образом, слияние трех анионов приведет к окончательному состоянию полного заряда. $\tau$ 2 способами, или за плату $1$ ровно одним способом. Мы используем три состояния, чтобы определить нашу основу. Однако, поскольку мы хотим закодировать эти три анионных состояния как суперпозиции 0 и 1, нам необходимо ограничить базис двумерным гильбертовым пространством. Таким образом, мы рассматриваем только два состояния с суммарным зарядом $\tau$. Этот выбор чисто феноменологический. В этих состояниях мы группируем два крайних левых аниона в «контрольную группу», а крайний правый оставляем как «невычислительный анион». Мы классифицируем $|0\rangle$ состояние как состояние, в котором контрольная группа имеет полный «сплавленный» заряд $1$, и состояние $|1\rangle$ имеет контрольную группу с общим «сплавленным» зарядом $\tau$. Более полное описание см. в разделе Наяк.

Ворота

Следуя изложенным выше идеям, адиабатическое сплетение этих анионов друг с другом приведет к унитарному преобразованию. Эти операторы кос являются результатом двух подклассов операторов:

• Матрица F ​
• Матрица R ​

Матрицу R можно концептуально рассматривать как топологическую фазу, которая передается анионам во время переплетения. Когда анионы вращаются вокруг друг друга, они набирают некоторую фазу из-за эффекта Ааронова-Бома .

Матрица F является результатом физического вращения анионов. Поскольку они сплетаются друг с другом, важно понимать, что два нижних аниона — контрольная группа — по-прежнему будут различать состояние кубита. Таким образом, переплетение анионов изменит то, какие анионы находятся в контрольной группе, и, следовательно, изменит основу. Мы оцениваем анионы, всегда сначала объединяя контрольную группу (нижние анионы), поэтому замена этих анионов приведет к повороту системы. Поскольку эти анионы неабелевы , порядок анионов (какие из них находятся в контрольной группе) будет иметь значение, и поэтому они преобразуют систему.

Полный оператор косы можно получить как:

$B=F^{-1}RF$

Чтобы математически построить операторы F и R , мы можем рассмотреть перестановки этих операторов F и R. Мы знаем, что если мы последовательно изменим основу, на которой действуем, это в конечном итоге приведет нас обратно к той же основе. Точно так же мы знаем, что если мы сплетем анионы друг с другом определенное количество раз, это приведет обратно в то же состояние. Эти аксиомы называются пятиугольными и шестиугольными аксиомами соответственно, поскольку выполнение операции можно визуализировать с помощью пятиугольника/шестиугольника преобразований состояний. Хотя это математически сложно, к этому можно гораздо успешнее подойти визуально.

С помощью этих операторов кос мы можем наконец формализовать понятие кос с точки зрения того, как они действуют на наше гильбертово пространство, и построить произвольные универсальные квантовые вентили.

См. также

• Топологический порядок
• Топологический порядок, защищенный симметрией
• Теория Гинзбурга – Ландау
• Из представления Q
• Случайная матрица

Дальнейшее чтение

• Коллинз, Грэм П. (апрель 2006 г.). «Вычисления с квантовыми узлами» (PDF) . Научный американец .
• Сарма, Санкар Дас; Фридман, Майкл; Наяк, Четан (2005). «Топологически защищенные кубиты от возможного неабелева дробного состояния квантового зала». Письма о физических отзывах . 94 (16): 166802. arXiv : cond-mat/0412343 . Бибкод : 2005PhRvL..94p6802D . doi : 10.1103/PhysRevLett.94.166802 . ПМИД   15904258 . S2CID   8773427 .
• Наяк, Четан; Саймон, Стивен Х .; Стерн, Ади ; Фридман, Майкл ; Сарма, Санкар Дас (2008). «Неабелевы анионы и топологические квантовые вычисления». Обзоры современной физики . 80 (3): 1083–1159. arXiv : 0707.1889 . Бибкод : 2008РвМП...80.1083Н . дои : 10.1103/RevModPhys.80.1083 . S2CID   119628297 .
• Саймон, Стивен Х. «Квантовые вычисления с изюминкой» .