Топологический порядок, защищенный симметрией

Топологический порядок с защищенной симметрией (SPT) ^[1]^[2] — это своего рода порядок в нулевой температуре квантово-механических состояниях вещества при , обладающих симметрией и конечной энергетической щелью.

Для получения результатов наиболее инвариантным способом методы ренормгруппы (приводящие к классам эквивалентности, соответствующим определенным фиксированным точкам). используются ^[1] Ордер SPT имеет следующие определяющие свойства:

(а) отдельные состояния СПД с заданной симметрией не могут плавно деформироваться друг в друга без фазового перехода, если деформация сохраняет симметрию .
(б) однако все они могут быть плавно деформированы в одно и то же тривиальное состояние продукта без фазового перехода, если симметрия нарушена во время деформации .

Приведенное выше определение работает как для бозонных, так и для фермионных систем, что приводит к понятиям бозонного порядка СПД и фермионного порядка СПД.

Используя понятие квантовой запутанности , мы можем сказать, что состояния SPT — это короткодействующие запутанные состояния с симметрией (напротив: для дальнодействующей запутанности см. топологический порядок , который не связан со знаменитым парадоксом ЭПР ). Поскольку запутанные состояния ближнего действия имеют только тривиальные топологические порядки, мы также можем называть порядок SPT «тривиальным» порядком, защищенным симметрией.

Характеристические свойства [ править ]

Граничная эффективная теория нетривиального СПД-состояния всегда имеет чистую калибровочную аномалию или смешанную аномалию калибровочной гравитации для группы симметрии. ^[3] В результате граница состояния СПД либо бесщелевая, либо вырожденная, независимо от того, как мы разрезали образец для формирования границы. Для нетривиального состояния СПД невозможна невырожденная граница с щелями. Если граница представляет собой вырожденное состояние с разрывом, вырождение может быть вызвано спонтанным нарушением симметрии и/или (внутренним) топологическим порядком.
Дефекты монодромии в нетривиальных 2+1D состояниях SPT несут нетривиальную статистику. ^[4] и дробные квантовые числа ^[5] группы симметрии. Дефекты монодромии создаются путем скручивания граничного условия вдоль разреза путем преобразования симметрии. Концы такого разреза являются дефектами монодромии. Например, 2+1D бозонные состояния Z _n SPT классифицируются целым _{Z n} числом m . Можно показать, что n идентичных элементарных дефектов монодромии в состоянии Zn _SPT , помеченном m, будут нести общее _Zn квантовое число 2m, которое не кратно n .
2+1D бозонные состояния U(1) SPT имеют холловскую проводимость, которая квантуется как четное целое число. ^[6]^[7] 2+1D бозонные состояния SO(3) SPT имеют квантованную спиновую холловскую проводимость. ^[8]

Связь между порядком SPT и (внутренним порядком ) топологическим

Состояния SPT являются запутанными на ближнем расстоянии, тогда как топологически упорядоченные состояния запутаны на дальних расстояниях.Как внутренний топологический порядок , так и порядок СПП иногда могут иметь защищенные бесщелевые граничные возбуждения . Разница невелика: бесщелевые граничные возбуждения во внутреннем топологическом порядке могут быть устойчивы к любым локальным возмущениям, тогда как бесщелевые граничные возбуждения в SPT-порядке устойчивы только к локальным возмущениям, которые не нарушают симметрию . Таким образом, бесщелевые граничные возбуждения во внутреннем топологическом порядке топологически защищены, тогда как бесщелевые граничные возбуждения в SPT-порядке защищены по симметрии . ^[9]

Мы также знаем, что внутренний топологический порядок имеет возникающий дробный заряд , возникающую дробную статистику и возникающую калибровочную теорию . Напротив, порядок SPT не имеет ни возникающего дробного заряда / дробной статистики для возбуждений с конечной энергией, ни возникающей калибровочной теории (из-за его короткодействующей запутанности). Обратите внимание, что обсуждавшиеся выше дефекты монодромии не являются возбуждениями с конечной энергией в спектре гамильтониана, а являются дефектами, созданными в результате модификации гамильтониана.

Примеры [ править ]

Первым примером SPT-порядка является фаза Холдейна нечетно-целой спиновой цепочки. ^[10]^[11]^[12]^[13]^[14] Это SPT-фаза, защищенная SO (3) . симметрией вращения спина ^[1] Обратите внимание, что фазы Холдейна цепочки с четными спинами не имеют SPT-порядка.Более известный пример SPT-порядка — топологический изолятор невзаимодействующих фермионов, SPT-фаза, защищенная U(1) и симметрией обращения времени .

С другой стороны, дробные квантовые состояния Холла не являются состояниями SPT. Это состояния с (внутренним) топологическим порядком и дальнодействующими запутанностями.

когомологий для фаз групповых Теория SPT

Используя понятие квантовой запутанности , можно получить следующую общую картину существования щелей.фазы при нулевой температуре. Все фазы с нулевой температурой с зазором можно разделить на два класса: запутанные фазы дальнего действия ( т. е. фазы с собственным топологическим порядком ) и запутанные фазы ближнего действия ( т. е. фазы без внутреннего топологического порядка ). Все короткодействующие запутанные фазы можно разделить на три класса: фазы с нарушением симметрии , фазы СПД и их смесь (порядок нарушения симметрии и порядок СПД могут появляться вместе).

Хорошо известно, что порядки , нарушающие симметрию, описываются теорией групп . Для бозонных фаз СПД с чисто калибровочной аномальной границей было показано, что они классифицируются теорией групповых когомологий : ^[15]^[16] те (d+1)D состояния SPT с симметрией G помечены элементами класса групповых когомологий $H^{d+1}[G,U(1)]$ .Для других (d+1)D состояний SPT ^[17]^[18]^[19]^[20] со смешанной аномальной границей калибровочной гравитации их можно описать формулой $\oplus _{k=1}^{d}H^{k}[G,iTO^{d+1-k}]$ , ^[21] где $iTO^{d+1}$ — абелева группа, образованная (d+1)D топологически упорядоченными фазами, не имеющими нетривиальных топологических возбуждений (называемыми iTO-фазами).

На основе приведенных выше результатов предсказано множество новых квантовых состояний материи, в том числе бозонные топологические изоляторы (состояния SPT, защищенные U (1) и симметрией обращения времени) и бозонные топологические сверхпроводники (состояния SPT, защищенные симметрией обращения времени), а также многие другие новые государства СПТ, защищенные другими симметриями.

Список бозонных состояний СПД из групповых когомологий $H^{d+1}[G,U(1)]\oplus _{k=1}^{d}H^{k}[G,iTO^{d+1-k}]$ ( $Z_{2}^{T}$ = группа симметрии обращения времени)

группа симметрии	1+1Д	2+1Д	3+1Д	4+1Д	комментарий
$0$	$0$	$Z$	$0$	$Z_{2}$	Фазы iTO без симметрии: $iTO^{d+1}$
$U(1)\rtimes Z_{2}^{T}$	$Z_{2}$	$Z_{2}$	$2Z_{2}+Z_{2}$	$Z\oplus Z_{2}+Z$	бозонный топологический изолятор
$Z_{2}^{T}$	$Z_{2}$	$0$	$Z_{2}+Z_{2}$	$0$	бозонный топологический сверхпроводник
$Z_{n}$	$0$	$Z_{n}$	$0$	$Z_{n}+Z_{n}$
$U(1)$	$0$	$Z$	$0$	$Z+Z$	2+1D: квантовый эффект Холла
$SO(3)$	$Z_{2}$	$Z$	$0$	$Z_{2}$	1+1D: цепочка со спином нечетных чисел; 2+1D: спин-эффект Холла
$SO(3)\times Z_{2}^{T}$	$2Z_{2}$	$Z_{2}$	$3Z_{2}+Z_{2}$	$2Z_{2}$
$Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}^{T}$	$4Z_{2}$	$6Z_{2}$	$9Z_{2}+Z_{2}$	$12Z_{2}+2Z_{2}$

Фазы перед «+» происходят от $H^{d+1}[G,U(1)]$ . Фазы после «+» берутся из $\oplus _{k=1}^{d}H^{k}[G,iTO^{d+1-k}]$ .Точно так же, как теория групп может дать нам 230 кристаллических структур в 3+1D, теория групповых когомологий может дать нам различные фазы SPT в любых измерениях с любыми группами симметрии на месте.

С другой стороны, фермионные порядки СПД описываются теорией групповых суперкогомологий . ^[22] Таким образом, теория групповых (супер-)когомологий позволяет нам построить множествоСПП заказывает даже для взаимодействующих систем, в состав которых входит взаимодействующий топологический изолятор/сверхпроводник.

Полная классификация одномерных квантовых фаз с пробелами ( с ) взаимодействиями

Используя понятия квантовой запутанности и порядка СПД, можно получитьполная классификация всех одномерных квантовых фаз с пробелами.

Во-первых, показано, что не существует (внутреннего) топологического порядка в 1D ( т.е. все 1D состояния с пробелами).запутались на близком расстоянии). ^[23]Таким образом, если гамильтонианы не обладают симметрией, все их одномерные квантовые состояния с щелями принадлежат одной фазе — фазе тривиальных состояний-продуктов.С другой стороны, если гамильтонианы действительно обладают симметрией, их одномерные квантовые состояния с щелями Это либо фазы, нарушающие симметрию , либо СПД-фазы, либо их смесь.

Такое понимание позволяет классифицировать все одномерные квантовые фазы с щелями: ^[15]^[24]^[25]^[26]^[27] Все 1D-фазы с зазором классифицируются последующие три математических объекта: $(G_{H},G_{\Psi },H^{2}[G_{\Psi },U(1)])$ , где $G_{H}$ – группа симметрии гамильтониана, $G_{\Psi }$ группа симметрии основных состояний и $H^{2}[G_{\Psi },U(1)]$ второй групповых когомологий класс $G_{\Psi }$ . (Обратите внимание, что $H^{2}[G,U(1)]$ классифицирует проективные представления $G$ .) Если нет нарушения симметрии ( т.е. $G_{\Psi }=G_{H}$ ), 1D щелевые фазы классифицируются по проективным представлениям группы симметрии $G_{H}$ .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (26 октября 2009 г.). «Подход перенормировки с тензорной фильтрацией запутывания и топологический порядок, защищенный симметрией». Физический обзор B . 80 (15): 155131. arXiv : 0903.1069 . Бибкод : 2009PhRvB..80o5131G . дои : 10.1103/physrevb.80.155131 . ISSN 1098-0121 . S2CID 15114579 .
^ Поллманн, Франк; Берг, Эрез; Тернер, Ари М.; Осикава, Масаки (22 февраля 2012 г.). «Защита симметрии топологических фаз в одномерных квантовых спиновых системах». Физический обзор B . 85 (7): 075125. arXiv : 0909.4059 . Бибкод : 2012PhRvB..85g5125P . дои : 10.1103/physrevb.85.075125 . ISSN 1098-0121 . S2CID 53135907 .
^ Вэнь, Сяо-Ган (9 августа 2013 г.). «Классификация калибровочных аномалий с помощью тривиальных порядков, защищенных симметрией, и классификация гравитационных аномалий с помощью топологических порядков». Физический обзор D . 88 (4): 045013. arXiv : 1303.1803 . Бибкод : 2013PhRvD..88d5013W . дои : 10.1103/physrevd.88.045013 . ISSN 1550-7998 . S2CID 18250786 .
^ Левин, Майкл; Гу, Чжэн-Чэн (10 сентября 2012 г.). «Подход статистики переплетения к топологическим фазам, защищенным симметрией». Физический обзор B . 86 (11): 114109. arXiv : 1202.3120 . Бибкод : 2012PhRvB..86k5109L . дои : 10.1103/physrevb.86.115109 . ISSN 1098-0121 . S2CID 118688476 .
^ Вэнь, Сяо-Ган (31 января 2014 г.). «Топологические инварианты защищенных симметрией топологических фаз взаимодействующих бозонов и фермионов». Физический обзор B . 89 (3): 035147. arXiv : 1301.7675 . Бибкод : 2014PhRvB..89c5147W . дои : 10.1103/physrevb.89.035147 . ISSN 1098-0121 . S2CID 55842699 .
^ Лу, Юань-Мин; Вишванат, Ашвин (14 сентября 2012 г.). «Теория и классификация взаимодействующих целочисленных топологических фаз в двух измерениях: подход Черна-Саймонса». Физический обзор B . 86 (12): 125119. arXiv : 1205.3156 . Бибкод : 2012PhRvB..86l5119L . дои : 10.1103/physrevb.86.125119 . ISSN 1098-0121 . S2CID 86856666 .
^ Лю, Чжэн-Синь; Мэй, Цзя-Вэй; Да, Пэн; Вэнь, Сяо-Ган (24 декабря 2014 г.). «Топологический порядок U (1) × U (1) защищенный симметрией в волновых функциях Гутцвиллера». Физический обзор B . 90 (23): 235146. arXiv : 1408.1676 . Бибкод : 2014PhRvB..90w5146L . дои : 10.1103/physrevb.90.235146 . ISSN 1098-0121 . S2CID 14800302 .
^ Лю, Чжэн-Синь; Вэнь, Сяо-Ган (7 февраля 2013 г.). «Фазы квантового спинового зала с защищенной симметрией в двух измерениях». Письма о физических отзывах . 110 (6): 067205. arXiv : 1205.7024 . Бибкод : 2013PhRvL.110f7205L . дои : 10.1103/physrevlett.110.067205 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 23432300 . S2CID 12995741 .
^ Следует также отметить семантическую тонкость названия SPT: «защищенная симметрия» не означает, что устойчивость состояния сохраняется «благодаря симметрии», а лишь означает, что симметрия сохраняется за счет взаимодействий, соответствующих процесс.
^ Холдейн, FDM (11 апреля 1983 г.). «Нелинейная теория поля антиферромагнетиков Гейзенберга с большим спином: полуклассически квантованные солитоны одномерного состояния Нееля с легкой осью» . Письма о физических отзывах . 50 (15). Американское физическое общество (APS): 1153–1156. Бибкод : 1983PhRvL..50.1153H . дои : 10.1103/physrevlett.50.1153 . ISSN 0031-9007 .
^ Холдейн, FDM (1983). «Континуальная динамика одномерного антиферромагнетика Гейзенберга: идентификация с помощью нелинейной сигма-модели O (3)». Буквы по физике А. 93 (9). Эльзевир Б.В.: 464–468. Бибкод : 1983PhLA...93..464H . дои : 10.1016/0375-9601(83)90631-x . ISSN 0375-9601 .
^ Аффлек, Ян; Холдейн, FDM (1 сентября 1987 г.). «Критическая теория квантовых спиновых цепочек». Физический обзор B . 36 (10). Американское физическое общество (APS): 5291–5300. Бибкод : 1987PhRvB..36.5291A . дои : 10.1103/physrevb.36.5291 . ISSN 0163-1829 . ПМИД 9942166 .
^ Аффлек, I (15 мая 1989 г.). «Квантовые спиновые цепочки и щель Холдейна». Физический журнал: конденсированное вещество . 1 (19). Издательство ИОП: 3047–3072. Бибкод : 1989JPCM....1.3047A . дои : 10.1088/0953-8984/19.01.001 . ISSN 0953-8984 . S2CID 250850599 .
^ Мишра, Шантану; Катарина, Гонсалу; Ву, Фупенг; Ортис, Рикардо; Джейкоб, Дэвид; Эймре, Кристьян; Ма, Джи; Пиньедоли, Карло А.; Фэн, Синьлян; Руффье, Паскаль; Фернандес-Россье, Хоакин; Фазель, Роман (13 октября 2021 г.). «Наблюдение дробных краевых возбуждений в спиновых цепочках нанографена». Природа . 598 (7880): 287–292. arXiv : 2105.09102 . Бибкод : 2021Natur.598..287M . дои : 10.1038/s41586-021-03842-3 . ПМИД 34645998 . S2CID 234777902 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Чен, Се; Лю, Чжэн-Синь; Вэнь, Сяо-Ган (22 декабря 2011 г.). «Двумерные топологические порядки, защищенные симметрией, и их защищенные бесщелевые краевые возбуждения». Физический обзор B . 84 (23): 235141. arXiv : 1106.4752 . Бибкод : 2011PhRvB..84w5141C . дои : 10.1103/physrevb.84.235141 . ISSN 1098-0121 . S2CID 55330505 .
^ Чен, Се; Гу, Чжэн-Чэн; Лю, Чжэн-Синь; Вэнь, Сяо-Ган (4 апреля 2013 г.). «Симметрия защищает топологические порядки и групповые когомологии их группы симметрии». Физический обзор B . 87 (15): 155114. arXiv : 1106.4772 . Бибкод : 2013PhRvB..87o5114C . дои : 10.1103/physrevb.87.155114 . ISSN 1098-0121 . S2CID 118546600 .
^ Вишванат, Ашвин; Сентил, Т. (28 февраля 2013 г.). «Физика трехмерных бозонных топологических изоляторов: ограниченная поверхностью критичность и квантовый магнитоэлектрический эффект» . Физический обзор X . 3 (1): 011016. arXiv : 1209.3058 . Бибкод : 2013PhRvX...3a1016V . дои : 10.1103/physrevx.3.011016 . ISSN 2160-3308 .
^ Антон Капустин, «Топологические фазы, аномалии и кобордизмы, защищенные симметрией: за пределами групповых когомологий» arXiv:1403.1467
^ Ван, Ювен К.; Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (22 января 2015 г.). «Теоретико-полевое представление топологических инвариантов, защищенных симметрией калибровочной гравитации, групповых когомологий и не только». Письма о физических отзывах . 114 (3): 031601. arXiv : 1405.7689 . Бибкод : 2015PhRvL.114c1601W . doi : 10.1103/physrevlett.114.031601 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 25658993 . S2CID 2370407 .
^ Капустин Антон; Торнгрен, Райан; Турзилло, Алекс; Ван, Цзытао (2015). «Фермионная симметрия защищает топологические фазы и кобордизмы». Журнал физики высоких энергий . 2015 (12): 1–21. arXiv : 1406.7329 . Бибкод : 2015JHEP...12..052K . дои : 10.1007/jhep12(2015)052 . ISSN 1029-8479 . S2CID 42613274 .
^ Вэнь, Сяо-Ган (4 мая 2015 г.). «Построение тривиальных состояний с защищенной бозонной симметрией и их топологических инвариантов с помощью нелинейных σ-моделей G × SO (∞)». Физический обзор B . 91 (20): 205101. arXiv : 1410.8477 . Бибкод : 2015PhRvB..91t5101W . дои : 10.1103/physrevb.91.205101 . ISSN 1098-0121 . S2CID 13950401 .
^ Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (23 сентября 2014 г.). «Топологические порядки с защищенной симметрией для взаимодействующих фермионов: фермионные топологические нелинейные σ-модели и теория специальных групповых суперкогомологий». Физический обзор B . 90 (11): 115141. arXiv : 1201.2648 . Бибкод : 2014PhRvB..90k5141G . дои : 10.1103/physrevb.90.115141 . ISSN 1098-0121 . S2CID 119307777 .
^ Верстраете, Ф.; Сирак, Дж.И.; Латорре, Дж.И.; Рико, Э.; Вольф, ММ (14 апреля 2005 г.). «Преобразования ренормгруппы в квантовых состояниях». Письма о физических отзывах . 94 (14): 140601. arXiv : quant-ph/0410227 . Бибкод : 2005PhRvL..94n0601V . дои : 10.1103/physrevlett.94.140601 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 15904055 . S2CID 21362387 .
^ Чен, Се; Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (13 января 2011 г.). «Классификация щелевых симметричных фаз в одномерных спиновых системах». Физический обзор B . 83 (3): 035107. arXiv : 1008.3745 . Бибкод : 2011PhRvB..83c5107C . дои : 10.1103/physrevb.83.035107 . ISSN 1098-0121 . S2CID 9139955 .
^ Тернер, Ари М.; Поллманн, Франк; Берг, Эрез (8 февраля 2011 г.). «Топологические фазы одномерных фермионов: точка зрения запутанности». Физический обзор B . 83 (7): 075102. arXiv : 1008.4346 . Бибкод : 2011PhRvB..83g5102T . дои : 10.1103/physrevb.83.075102 . ISSN 1098-0121 . S2CID 118491997 .
^ Фидковский, Лукаш; Китаев, Алексей (8 февраля 2011 г.). «Топологические фазы фермионов в одном измерении». Физический обзор B . 83 (7). Американское физическое общество (APS): 075103. arXiv : 1008.4138 . Бибкод : 2011PhRvB..83g5103F . дои : 10.1103/physrevb.83.075103 . ISSN 1098-0121 . S2CID 1201670 .
^ Шух, Норберт; Перес-Гарсия, Давид; Сирак, Игнасио (31 октября 2011 г.). «Классификация квантовых фаз с использованием состояний матричного произведения и прогнозируемых состояний запутанной пары». Физический обзор B . 84 (16): 165139. arXiv : 1010.3732 . Бибкод : 2011PhRvB..84p5139S . дои : 10.1103/physrevb.84.165139 . ISSN 1098-0121 . S2CID 74872240 .

[defspt-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (26 октября 2009 г.). «Подход перенормировки с тензорной фильтрацией запутывания и топологический порядок, защищенный симметрией». Физический обзор B . 80 (15): 155131. arXiv : 0903.1069 . Бибкод : 2009PhRvB..80o5131G . дои : 10.1103/physrevb.80.155131 . ISSN 1098-0121 . S2CID 15114579 .

[Pollmann_Berg_Turner_Oshikawa_p.-2] Поллманн, Франк; Берг, Эрез; Тернер, Ари М.; Осикава, Масаки (22 февраля 2012 г.). «Защита симметрии топологических фаз в одномерных квантовых спиновых системах». Физический обзор B . 85 (7): 075125. arXiv : 0909.4059 . Бибкод : 2012PhRvB..85g5125P . дои : 10.1103/physrevb.85.075125 . ISSN 1098-0121 . S2CID 53135907 .

[Wen_p.-3] Вэнь, Сяо-Ган (9 августа 2013 г.). «Классификация калибровочных аномалий с помощью тривиальных порядков, защищенных симметрией, и классификация гравитационных аномалий с помощью топологических порядков». Физический обзор D . 88 (4): 045013. arXiv : 1303.1803 . Бибкод : 2013PhRvD..88d5013W . дои : 10.1103/physrevd.88.045013 . ISSN 1550-7998 . S2CID 18250786 .

[Levin_Gu_p.-4] Левин, Майкл; Гу, Чжэн-Чэн (10 сентября 2012 г.). «Подход статистики переплетения к топологическим фазам, защищенным симметрией». Физический обзор B . 86 (11): 114109. arXiv : 1202.3120 . Бибкод : 2012PhRvB..86k5109L . дои : 10.1103/physrevb.86.115109 . ISSN 1098-0121 . S2CID 118688476 .

[5] Вэнь, Сяо-Ган (31 января 2014 г.). «Топологические инварианты защищенных симметрией топологических фаз взаимодействующих бозонов и фермионов». Физический обзор B . 89 (3): 035147. arXiv : 1301.7675 . Бибкод : 2014PhRvB..89c5147W . дои : 10.1103/physrevb.89.035147 . ISSN 1098-0121 . S2CID 55842699 .

[Lu_Vishwanath_p.-6] Лу, Юань-Мин; Вишванат, Ашвин (14 сентября 2012 г.). «Теория и классификация взаимодействующих целочисленных топологических фаз в двух измерениях: подход Черна-Саймонса». Физический обзор B . 86 (12): 125119. arXiv : 1205.3156 . Бибкод : 2012PhRvB..86l5119L . дои : 10.1103/physrevb.86.125119 . ISSN 1098-0121 . S2CID 86856666 .

[Liu_Mei_Ye_Wen_p.-7] Лю, Чжэн-Синь; Мэй, Цзя-Вэй; Да, Пэн; Вэнь, Сяо-Ган (24 декабря 2014 г.). «Топологический порядок U (1) × U (1) защищенный симметрией в волновых функциях Гутцвиллера». Физический обзор B . 90 (23): 235146. arXiv : 1408.1676 . Бибкод : 2014PhRvB..90w5146L . дои : 10.1103/physrevb.90.235146 . ISSN 1098-0121 . S2CID 14800302 .

[Liu_Wen_p.-8] Лю, Чжэн-Синь; Вэнь, Сяо-Ган (7 февраля 2013 г.). «Фазы квантового спинового зала с защищенной симметрией в двух измерениях». Письма о физических отзывах . 110 (6): 067205. arXiv : 1205.7024 . Бибкод : 2013PhRvL.110f7205L . дои : 10.1103/physrevlett.110.067205 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 23432300 . S2CID 12995741 .

[9] Следует также отметить семантическую тонкость названия SPT: «защищенная симметрия» не означает, что устойчивость состояния сохраняется «благодаря симметрии», а лишь означает, что симметрия сохраняется за счет взаимодействий, соответствующих процесс.

[Haldane_pp._1153–1156-10] Холдейн, FDM (11 апреля 1983 г.). «Нелинейная теория поля антиферромагнетиков Гейзенберга с большим спином: полуклассически квантованные солитоны одномерного состояния Нееля с легкой осью» . Письма о физических отзывах . 50 (15). Американское физическое общество (APS): 1153–1156. Бибкод : 1983PhRvL..50.1153H . дои : 10.1103/physrevlett.50.1153 . ISSN 0031-9007 .

[Haldane_1983_pp._464–468-11] Холдейн, FDM (1983). «Континуальная динамика одномерного антиферромагнетика Гейзенберга: идентификация с помощью нелинейной сигма-модели O (3)». Буквы по физике А. 93 (9). Эльзевир Б.В.: 464–468. Бибкод : 1983PhLA...93..464H . дои : 10.1016/0375-9601(83)90631-x . ISSN 0375-9601 .

[Affleck_Haldane_pp._5291–5300-12] Аффлек, Ян; Холдейн, FDM (1 сентября 1987 г.). «Критическая теория квантовых спиновых цепочек». Физический обзор B . 36 (10). Американское физическое общество (APS): 5291–5300. Бибкод : 1987PhRvB..36.5291A . дои : 10.1103/physrevb.36.5291 . ISSN 0163-1829 . ПМИД 9942166 .

[Affleck_pp._3047–3072-13] Аффлек, I (15 мая 1989 г.). «Квантовые спиновые цепочки и щель Холдейна». Физический журнал: конденсированное вещество . 1 (19). Издательство ИОП: 3047–3072. Бибкод : 1989JPCM....1.3047A . дои : 10.1088/0953-8984/19.01.001 . ISSN 0953-8984 . S2CID 250850599 .

[14] Мишра, Шантану; Катарина, Гонсалу; Ву, Фупенг; Ортис, Рикардо; Джейкоб, Дэвид; Эймре, Кристьян; Ма, Джи; Пиньедоли, Карло А.; Фэн, Синьлян; Руффье, Паскаль; Фернандес-Россье, Хоакин; Фазель, Роман (13 октября 2021 г.). «Наблюдение дробных краевых возбуждений в спиновых цепочках нанографена». Природа . 598 (7880): 287–292. arXiv : 2105.09102 . Бибкод : 2021Natur.598..287M . дои : 10.1038/s41586-021-03842-3 . ПМИД 34645998 . S2CID 234777902 .

[spt-15] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Чен, Се; Лю, Чжэн-Синь; Вэнь, Сяо-Ган (22 декабря 2011 г.). «Двумерные топологические порядки, защищенные симметрией, и их защищенные бесщелевые краевые возбуждения». Физический обзор B . 84 (23): 235141. arXiv : 1106.4752 . Бибкод : 2011PhRvB..84w5141C . дои : 10.1103/physrevb.84.235141 . ISSN 1098-0121 . S2CID 55330505 .

[Chen_Gu_Liu_Wen_p.-16] Чен, Се; Гу, Чжэн-Чэн; Лю, Чжэн-Синь; Вэнь, Сяо-Ган (4 апреля 2013 г.). «Симметрия защищает топологические порядки и групповые когомологии их группы симметрии». Физический обзор B . 87 (15): 155114. arXiv : 1106.4772 . Бибкод : 2013PhRvB..87o5114C . дои : 10.1103/physrevb.87.155114 . ISSN 1098-0121 . S2CID 118546600 .

[Vishwanath_Senthil_p.-17] Вишванат, Ашвин; Сентил, Т. (28 февраля 2013 г.). «Физика трехмерных бозонных топологических изоляторов: ограниченная поверхностью критичность и квантовый магнитоэлектрический эффект» . Физический обзор X . 3 (1): 011016. arXiv : 1209.3058 . Бибкод : 2013PhRvX...3a1016V . дои : 10.1103/physrevx.3.011016 . ISSN 2160-3308 .

[18] Антон Капустин, «Топологические фазы, аномалии и кобордизмы, защищенные симметрией: за пределами групповых когомологий» arXiv:1403.1467

[Wang_Gu_Wen_p.-19] Ван, Ювен К.; Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (22 января 2015 г.). «Теоретико-полевое представление топологических инвариантов, защищенных симметрией калибровочной гравитации, групповых когомологий и не только». Письма о физических отзывах . 114 (3): 031601. arXiv : 1405.7689 . Бибкод : 2015PhRvL.114c1601W . doi : 10.1103/physrevlett.114.031601 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 25658993 . S2CID 2370407 .

[Kapustin_Thorngren_Turzillo_Wang_2015_pp._1–21-20] Капустин Антон; Торнгрен, Райан; Турзилло, Алекс; Ван, Цзытао (2015). «Фермионная симметрия защищает топологические фазы и кобордизмы». Журнал физики высоких энергий . 2015 (12): 1–21. arXiv : 1406.7329 . Бибкод : 2015JHEP...12..052K . дои : 10.1007/jhep12(2015)052 . ISSN 1029-8479 . S2CID 42613274 .

[21] Вэнь, Сяо-Ган (4 мая 2015 г.). «Построение тривиальных состояний с защищенной бозонной симметрией и их топологических инвариантов с помощью нелинейных σ-моделей G × SO (∞)». Физический обзор B . 91 (20): 205101. arXiv : 1410.8477 . Бибкод : 2015PhRvB..91t5101W . дои : 10.1103/physrevb.91.205101 . ISSN 1098-0121 . S2CID 13950401 .

[22] Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (23 сентября 2014 г.). «Топологические порядки с защищенной симметрией для взаимодействующих фермионов: фермионные топологические нелинейные σ-модели и теория специальных групповых суперкогомологий». Физический обзор B . 90 (11): 115141. arXiv : 1201.2648 . Бибкод : 2014PhRvB..90k5141G . дои : 10.1103/physrevb.90.115141 . ISSN 1098-0121 . S2CID 119307777 .

[Verstraete_Cirac_Latorre_Rico_p.-23] Верстраете, Ф.; Сирак, Дж.И.; Латорре, Дж.И.; Рико, Э.; Вольф, ММ (14 апреля 2005 г.). «Преобразования ренормгруппы в квантовых состояниях». Письма о физических отзывах . 94 (14): 140601. arXiv : quant-ph/0410227 . Бибкод : 2005PhRvL..94n0601V . дои : 10.1103/physrevlett.94.140601 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 15904055 . S2CID 21362387 .

[Chen_Gu_Wen_p.-24] Чен, Се; Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (13 января 2011 г.). «Классификация щелевых симметричных фаз в одномерных спиновых системах». Физический обзор B . 83 (3): 035107. arXiv : 1008.3745 . Бибкод : 2011PhRvB..83c5107C . дои : 10.1103/physrevb.83.035107 . ISSN 1098-0121 . S2CID 9139955 .

[Turner_Pollmann_Berg_p.-25] Тернер, Ари М.; Поллманн, Франк; Берг, Эрез (8 февраля 2011 г.). «Топологические фазы одномерных фермионов: точка зрения запутанности». Физический обзор B . 83 (7): 075102. arXiv : 1008.4346 . Бибкод : 2011PhRvB..83g5102T . дои : 10.1103/physrevb.83.075102 . ISSN 1098-0121 . S2CID 118491997 .

[Fidkowski_Kitaev_p.-26] Фидковский, Лукаш; Китаев, Алексей (8 февраля 2011 г.). «Топологические фазы фермионов в одном измерении». Физический обзор B . 83 (7). Американское физическое общество (APS): 075103. arXiv : 1008.4138 . Бибкод : 2011PhRvB..83g5103F . дои : 10.1103/physrevb.83.075103 . ISSN 1098-0121 . S2CID 1201670 .

[Schuch_Pérez-García_Cirac_p.-27] Шух, Норберт; Перес-Гарсия, Давид; Сирак, Игнасио (31 октября 2011 г.). «Классификация квантовых фаз с использованием состояний матричного произведения и прогнозируемых состояний запутанной пары». Физический обзор B . 84 (16): 165139. arXiv : 1010.3732 . Бибкод : 2011PhRvB..84p5139S . дои : 10.1103/physrevb.84.165139 . ISSN 1098-0121 . S2CID 74872240 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]