Группа кругов

Чтобы узнать о других значениях, см. Круг (значения) .

Умножение группы кругов эквивалентно сложению углов.

В математике группа кругов , обозначаемая $\mathbb {T}$ or или $\mathbb {S} ^{1}$‍— мультипликативная группа всех комплексных чисел с абсолютным значением 1, то есть единичный круг на комплексной плоскости или просто единичные комплексные числа. $$\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.$$

Группа кругов подгруппу образует $\mathbb {C} ^{\times }$, мультипликативная группа всех ненулевых комплексных чисел. С , the multiplicative group of all nonzero complex numbers. Since $\mathbb {C} ^{\times }$ абелева что , то отсюда следует, $\mathbb {T}$ тоже есть.

Единичное комплексное число в группе кругов представляет собой вращение комплексной плоскости вокруг начала координат и может быть параметризовано угловой мерой $\theta$‍ : $$\theta \mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$$

Это экспоненциальная карта для группы кругов.

Группа круга играет центральную роль в двойственности Понтрягина и в теории групп Ли .

Обозначения $\mathbb {T}$ ибо группа окружностей вытекает из того, что при стандартной топологии (см. ниже) группа окружностей является 1- тором . В более общем смысле, $\mathbb {T} ^{n}$ ( прямой продукт $\mathbb {T}$ с самим собой $n$ раз) геометрически $n$-тор.

Группа окружностей изоморфна специальной ортогональной группе $\mathrm {SO} (2)$‍ .

Элементарное введение

Один из способов рассмотрения группы кругов заключается в том, что она описывает, как добавлять углы , причем только углы от 0° до 360° или $\in [0,2\pi )$ или $\in (-\pi ,+\pi ]$ разрешены. Например, на диаграмме показано, как прибавить 150° к 270°. Ответ: 150° + 270° = 420° , но, думая о группе кругов, мы можем «забыть» тот факт, что мы один раз обошли круг. Поэтому мы корректируем наш ответ на 360°, что дает 420° ≡ 60° ( по модулю 360° ).

Another description is in terms of ordinary (real) addition, where only numbers between 0 and 1 are allowed (with 1 corresponding to a full rotation: 360° or Другое описание дано в терминах обычного (реального) сложения, где разрешены только числа от 0 до 1 (где 1 соответствует полному повороту: 360 ° или ‍). $2\pi$) ), i.e. the real numbers modulo the integers: , то есть действительные числа по модулю целых чисел : $\mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z}$. . This can be achieved by throwing away the digits occurring before the decimal point. For example, when we work out Этого можно добиться, отбросив цифры, стоящие перед десятичной запятой. Например, когда мы вычисляем 0,4166... ​​+ 0,75, ответ будет 1,1666..., но мы можем отбросить ведущую 1, поэтому ответ (в группе кружков) будет просто $0.1{\bar {6}}\equiv 1.1{\bar {6}}\equiv -0.8{\bar {3}}\;({\text{mod}}\,\mathbb {Z} )$   with some preference to 0.166..., because с некоторым предпочтением 0,166..., потому что $0.1{\bar {6}}\in [0,1)$‍ .

Топологическая и аналитическая структура

Группа кругов — это больше, чем просто абстрактный алгебраический объект. Оно имеет естественную топологию, если рассматривать его как подпространство комплексной плоскости. Поскольку умножение и обращение являются непрерывными функциями на $\mathbb {C} ^{\times }$, , the circle group has the structure of a группа кругов имеет структуру топологической группы . Более того, поскольку единичная окружность является замкнутым подмножеством комплексной плоскости, группа окружностей является замкнутой подгруппой $\mathbb {C} ^{\times }$ (сама рассматривается как топологическая группа).

Можно сказать даже больше. Круг — это одномерное вещественное многообразие , а умножение и инверсия — вещественно-аналитические отображения на круге. Это придает группе кругов структуру однопараметрической группы , экземпляра группы Ли . Фактически с точностью до изоморфизма это единственная одномерная компактная группа связная Ли. Более того, каждый $n$-dimensional compact, connected, abelian Lie group is isomorphic to -мерная компактная связная абелева группа Ли изоморфна $\mathbb {T} ^{n}$‍ .

Изоморфизмы

Группа кругов проявляется в математике в различных формах. Здесь мы перечислим некоторые из наиболее распространенных форм. В частности, мы показываем, что $$\mathbb {T} \cong {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong \mathrm {SO} (2).$$

Обратите внимание, что косая черта (/) здесь обозначает факторгруппу .

Набор всех унитарных матриц размера 1×1 явно совпадает с группой окружностей; унитарное условие эквивалентно условию, что его элемент имеет абсолютное значение 1. Следовательно, группа окружностей канонически изоморфна $\mathrm {U} (1)$, , the first первая унитарная группа .

Показательная функция порождает групповой гомоморфизм $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {T}$ из аддитивных действительных чисел $\mathbb {R}$ в круговую группу $\mathbb {T}$ через карту $$\theta \mapsto e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$$

Последнее равенство — это формула Эйлера или комплексная экспонента. Действительное число θ соответствует углу (в радианах ) на единичной окружности, измеренному против часовой стрелки от положительной оси x . То, что это отображение является гомоморфизмом, следует из того, что умножение единичных комплексных чисел соответствует сложению углов: $$e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}.$$

Это экспоненциальное отображение, очевидно, является сюръективной функцией из $\mathbb {R}$ to к $\mathbb {T}$. . However, it is not Однако оно не является инъективным . Ядро этого отображения представляет собой набор всех целых кратных $2\pi$‍. Тогда по первой теореме об изоморфизме имеем, что $$\mathbb {T} \cong \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .$$

После масштабирования мы также можем сказать, что $\mathbb {T}$ is isomorphic to изоморфен $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$‍ .

Если комплексные числа реализованы как вещественные матрицы 2×2 (см. комплексное число ), единичные комплексные числа соответствуют ортогональным матрицам 2×2 с единичным определителем . В частности, у нас есть $$e^{i\theta }\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta }\right).$$

Эта функция показывает, что группа окружностей изоморфна специальной ортогональной группе $\mathrm {SO} (2)$ с $$f\left(e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}\right)={\begin{bmatrix}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})&-\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\\\sin(\theta _{1}+\theta _{2})&\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta _{1}}\right)\times f\left(e^{i\theta _{2}}\right),$$где $\times$ это умножение матриц.

Этот изоморфизм имеет геометрическую интерпретацию, согласно которой умножение на единичное комплексное число является правильным вращением в комплексной (и вещественной) плоскости, и каждое такое вращение имеет такую ​​форму.

Свойства

Каждая компактная группа Ли $\mathrm {G}$ размерности > 0 имеет подгруппу , изоморфную группе окружностей. Это означает, что, думая в терминах симметрии , можно ожидать, что компактная группа симметрии, действующая непрерывно, будет иметь действующие однопараметрические подгруппы окружностей; последствия в физических системах наблюдаются, например, при вращательной инвариантности и спонтанном нарушении симметрии .

Группа кругов имеет много подгрупп , но ее единственные собственные замкнутые подгруппы состоят из корней из единицы : Для каждого целого числа $n>0$‍, $n$Корни -й степени из единицы образуют циклическую группу порядка $n$, единственный с точностью до изоморфизма. , which is unique up to isomorphism.

Точно так же, как действительные числа являются пополнением чисел b -адических рациональных $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{b}}]$ для каждого натурального числа $b>1$, , the circle group is the completion of the группа круга является завершением группы Прюфера. $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{b}}]/\mathbb {Z}$ for для $b$, , given by the заданный прямым пределом $\varinjlim \mathbb {Z} /b^{n}\mathbb {Z}$‍ .

Представления

Представления группы окружностей легко описать. следует Из леммы Шура , что все неприводимые комплексные представления абелевой группы одномерны. Поскольку группа окружностей компактна, любое представление $$\rho :\mathbb {T} \to \mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} ^{\times }$$must take values in должен принимать значения в ${\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {T}$. . Therefore, the irreducible representations of the circle group are just the Следовательно, неприводимые представления группы окружностей — это просто гомоморфизмы группы окружностей в себя.

Для каждого целого числа $n$ мы можем определить представление $\phi _{n}$ of the circle group by группы кругов на $\phi _{n}(z)=z^{n}$. Все эти представления неэквивалентны. Представительство . These representations are all inequivalent. The representation $\phi _{-n}$ сопряжено ​ с $\phi _{n}$‍ : $$\phi _{-n}={\overline {\phi _{n}}}.$$

Эти изображения — всего лишь символы группы кругов. Группа персонажей ​ $\mathbb {T}$ очевидно, является бесконечной циклической группой, порожденной $\phi _{1}$‍ : $$\operatorname {Hom} (\mathbb {T} ,\mathbb {T} )\cong \mathbb {Z} .$$

Неприводимые вещественные представления группы кругов — это тривиальное представление (одномерное) и представления $$\rho _{n}(e^{i\theta })={\begin{bmatrix}\cos n\theta &-\sin n\theta \\\sin n\theta &\cos n\theta \end{bmatrix}},\quad n\in \mathbb {Z} ^{+},$$taking values in принимать значения в $\mathrm {SO} (2)$. . Here we only have positive integers Здесь у нас есть только положительные целые числа $n$, поскольку представление , since the representation $\rho _{-n}$ is equivalent to эквивалентно $\rho _{n}$‍ .

Структура группы

Группа «Круг» $\mathbb {T}$ является делимой группой . Его крученая подгруппа задается множеством всех $n$-ые корни единства для всех $n$ and is isomorphic to и изоморфен $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$. . The Структурная теорема для делимых групп и аксиома выбора вместе говорят нам, что $\mathbb {T}$ изоморфна сумме прямой $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ with a number of copies of с количеством копий $\mathbb {Q}$‍ .

Количество копий $\mathbb {Q}$ должно быть ${\mathfrak {c}}$ ( мощность континуума ), чтобы мощность прямой суммы была правильной. Но прямая сумма ${\mathfrak {c}}$ копии $\mathbb {Q}$ is isomorphic to изоморфен $\mathbb {R}$‍как $\mathbb {R}$ представляет собой векторное пространство размерности ${\mathfrak {c}}$ over над $\mathbb {Q}$. Таким образом . Thus$$\mathbb {T} \cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).$$

Изоморфизм $$\mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$$можно доказать тем же способом, поскольку $\mathbb {C} ^{\times }$ is also a divisible abelian group whose torsion subgroup is the same as the torsion subgroup of также является делимой абелевой группой, периодическая подгруппа которой совпадает с периодической подгруппой $\mathbb {T}$‍ .

См. также

• Группа рациональных точек единичного круга
• Однопараметрическая подгруппа
• н -сфера
• Ортогональная группа
• Фазовый фактор (приложение в квантовой механике)
• Номер вращения
• Соленоид

Ссылки

• Джеймс, Роберт С.; Джеймс, Гленн (1992). Математический словарь (Пятое изд.). Чепмен и Холл. ISBN  9780412990410 .

Дальнейшее чтение

• Хуа Луоген (1981) Начиная с единичного круга , Springer Verlag , ISBN   0-387-90589-8 .

Внешние ссылки

• Гомеоморфизм и групповая структура на окружности