Комплексно-сопряженное представление

В математике , если G — группа , а Π — представление ее в комплексном векторном пространстве V , то комплексно-сопряженное представление Π определяется над комплексно-сопряженным векторным пространством V следующим образом:

Π ( g ) сопряжено с Π ( g ) всех g в G. для

Π также является представлением, как можно проверить явно.

Если g — действительная алгебра Ли и π — ее представление в векторном пространстве V , то сопряженное представление π определяется в сопряженном векторном пространстве V следующим образом:

π ( X ) сопряжено с π( X ) для всех X в g .

π также является представлением, как можно проверить явно.

Если две действительные алгебры Ли имеют одинаковую комплексификацию и у нас есть комплексное представление комплексифицированной алгебры Ли, их сопряженные представления все равно будут разными. См. спинор для некоторых примеров, связанных со спинорными представлениями спиновых групп Spin( p + q ) и Spin( p , q ) .

Если ${\mathfrak {g}}$ является *-алгеброй Ли (комплексной алгеброй Ли с * операцией, совместимой со скобкой Ли),

π ( X ) сопряжено с −π( X *) для всех X в g

Для конечномерного унитарного представления двойственное представление и сопряженное представление совпадают. Это справедливо и для псевдоунитарных представлений.

См. также

• Двойное представительство