Закрытый набор

Эта статья о дополнении открытого набора . Чтобы узнать о множестве, замкнутом при операции, см. замыкание (математика) . Чтобы узнать о других значениях, см. Закрыто (значения) .

В геометрии , топологии и смежных разделах математики — замкнутое множество это множество которого , дополнением является открытое множество . В топологическом пространстве замкнутое множество можно определить как множество, содержащее все свои предельные точки . В полном метрическом пространстве замкнутым множеством называется множество, замкнутое относительно предельной операции . Его не следует путать с закрытым коллектором .

Эквивалентные

По определению, подмножество $A$ топологического пространства $(X,\tau )$ называется замкнутым , если его дополнение $X\setminus A$ является открытым подмножеством $(X,\tau )$; то есть, если $X\setminus A\in \tau .$ Набор закрыт в $X$ тогда и только тогда, когда оно равно своему замыканию в $X.$Эквивалентно, множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки . Еще одно эквивалентное определение состоит в том, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои граничные точки . Каждое подмножество $A\subseteq X$ всегда содержится в своем (топологическом) замыкании в $X,$ который обозначается $\operatorname {cl} _{X}A;$ то есть, если $A\subseteq X$ затем $A\subseteq \operatorname {cl} _{X}A.$ Более того, $A$ является закрытым подмножеством $X$ если и только если $A=\operatorname {cl} _{X}A.$

Альтернативная характеристика замкнутых множеств доступна через последовательности и сети . Подмножество $A$ топологического пространства $X$ закрыт в $X$ тогда и только тогда, когда каждый предел любой сети элементов $A$ также принадлежит $A.$В пространстве с первой счетностью (например, в метрическом пространстве) достаточно рассматривать только сходящиеся последовательности , а не все сети. Одно из преимуществ этой характеристики состоит в том, что ее можно использовать в качестве определения в контексте пространств сходимости , которые являются более общими, чем топологические пространства. Обратите внимание, что эта характеристика также зависит от окружающего пространства. $X,$ потому что сходится или нет последовательность или сеть в $X$ зависит от того, какие точки присутствуют в $X.$ Точка $x$ в $X$ говорят, что он близок к подмножеству $A\subseteq X$ если $x\in \operatorname {cl} _{X}A$ (или эквивалентно, если $x$ относится к закрытию $A$ в топологическом подпространстве $A\cup \{x\},$ значение $x\in \operatorname {cl} _{A\cup \{x\}}A$ где $A\cup \{x\}$ наделено топологией подпространства , индуцированной на нем $X$). Поскольку закрытие $A$ в $X$ таким образом, является набором всех точек в $X$ которые близки к $A,$ эта терминология позволяет дать простое английское описание закрытых подмножеств:

подмножество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все близкие к нему точки.

С точки зрения чистой сходимости, точка $x\in X$ близко к подмножеству $A$ тогда и только тогда, когда существует некоторая чистая (оцененная) в $A$ который сходится к $x.$ Если $X$ является топологическим подпространством некоторого другого топологического пространства $Y,$ в таком случае $Y$ называется суперпространством топологическим $X,$ тогда может быть какой-то смысл в $Y\setminus X$ это близко к $A$ (хотя и не является элементом $X$), как это возможно для подмножества $A\subseteq X$ быть закрытым в $X$ но не замыкаться в "большом" окружающем суперпространстве $Y.$ Если $A\subseteq X$ и если $Y$ — любое топологическое суперпространство $X$ затем $A$ всегда является (потенциально собственным) подмножеством $\operatorname {cl} _{Y}A,$ что означает закрытие $A$ в $Y;$ действительно, даже если $A$ является закрытым подмножеством $X$ (что происходит тогда и только тогда, когда $A=\operatorname {cl} _{X}A$), тем не менее, все еще возможно $A$ быть правильным подмножеством $\operatorname {cl} _{Y}A.$ Однако, $A$ является закрытым подмножеством $X$ если и только если $A=X\cap \operatorname {cl} _{Y}A$ для некоторого (или, что то же самое, для каждого) топологического суперпространства $Y$ из $X.$

Замкнутые множества также можно использовать для характеристики непрерывных функций : отображение $f:X\to Y$ непрерывно когда тогда и только тогда, $f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}(f(A))$ для каждого подмножества $A\subseteq X$; это можно перефразировать на простом английском языке так: $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого подмножества $A\subseteq X,$ $f$ наносит на карту точки, находящиеся рядом с $A$ в точки, близкие к $f(A).$ Сходным образом, $f$ непрерывен в фиксированной данной точке $x\in X$ тогда и только тогда, когда когда-либо $x$ близко к подмножеству $A\subseteq X,$ затем $f(x)$ близко к $f(A).$

Подробнее о закрытых наборах

Понятие замкнутого множества определено выше в терминах открытых множеств , концепции, которая имеет смысл для топологических пространств , а также для других пространств, несущих топологические структуры, таких как метрические пространства , дифференцируемые многообразия , равномерные пространства и калибровочные пространства .

Замкнутость множества зависит от пространства, в которое оно вложено. Однако бикомпакты » в том смысле , « абсолютно замкнуты что если вы вложите бикомпакт $D$ в произвольном хаусдорфовом пространстве $X,$ затем $D$ всегда будет закрытым подмножеством $X$; «окружающее пространство» здесь не имеет значения. Компактификация Стоуна-Чеха , процесс, превращающий полностью регулярное хаусдорфово пространство в компактное хаусдорфово пространство, может быть описана как присоединение к пространству пределов некоторых несходящихся сетей.

Более того, каждое замкнутое подмножество компакта компактно, а любое компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.

Замкнутые множества также дают полезную характеристику компактности: топологическое пространство. $X$ компактен тогда и только тогда, когда всякая совокупность непустых замкнутых подмножеств $X$ с пустым пересечением допускает конечную подколлекцию с пустым пересечением.

Топологическое пространство $X$ несвязен , если существуют непересекающиеся, непустые, открытые подмножества $A$ и $B$ из $X$ чей союз $X.$ Более того, $X$ , вполне несвязно если оно имеет открытый базис , состоящий из замкнутых множеств.

Свойства

См. Также: аксиомы замыкания Куратовского.

Замкнутое множество содержит свою границу . Другими словами, если вы находитесь «вне» закрытого множества, вы можете немного переместиться в любом направлении и при этом оставаться вне этого множества. Это также верно, если границей является пустое множество, например, в метрическом пространстве рациональных чисел, для множества чисел, квадрат которых меньше $2.$

• Любое пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто (включая пересечения бесконечного числа замкнутых множеств).
• Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
• Пустое множество закрывается.
• Весь набор закрыт.

Действительно, если задан набор $X$ и коллекция $\mathbb {F} \neq \varnothing$ подмножеств $X$ такие, что элементы $\mathbb {F}$ обладают перечисленными выше свойствами, то существует уникальная топология $\tau$ на $X$ такие, что замкнутые подмножества $(X,\tau )$ это именно те множества, которые принадлежат $\mathbb {F} .$ Свойство пересечения также позволяет определить замыкание множества. $A$ в пространстве $X,$ которое определяется как наименьшее замкнутое подмножество $X$ это надмножество ​ $A.$ В частности, закрытие $X$ может быть построено как пересечение всех этих замкнутых надмножеств.

Множества, которые можно построить как объединение счетного числа замкнутых множеств, обозначаются F _σ множествами. Эти наборы не обязательно должны быть закрыты.

Примеры

• Закрытый интервал $[a,b]$действительных чисел закрыто. (См. Интервал (математика) для объяснения обозначения набора скобок и круглых скобок.)
• Единичный интервал $[0,1]$ замкнуто в метрическом пространстве действительных чисел, а множество $[0,1]\cap \mathbb {Q}$ рациональных чисел между $0$ и $1$ (включительно) замкнуто в пространстве рациональных чисел, но $[0,1]\cap \mathbb {Q}$ не замкнут в действительных числах.
• Некоторые множества не являются ни открытыми, ни закрытыми, например полуоткрытый интервал . $[0,1)$ в реальных цифрах.
• Некоторые множества одновременно являются открытыми и закрытыми и называются « закрыто-открытыми множествами» .
• Луч ​ $[1,+\infty )$ закрыто.
• является Множество Кантора необычным замкнутым множеством в том смысле, что оно целиком состоит из граничных точек и нигде не плотно.
• Одноэлементные точки (и, следовательно, конечные множества) замкнуты в T ₁ пространствах и пространствах Хаусдорфа .
• Набор целых чисел $\mathbb {Z}$ — бесконечное и неограниченное замкнутое множество в действительных числах.
• Если $f:X\to Y$ является функцией между топологическими пространствами, тогда $f$ непрерывен тогда и только тогда, когда прообразы замкнутых множеств в $Y$ закрыты в $X.$

См. также

• Cloopen set - подмножество, которое одновременно открыто и закрыто.
• Закрытая карта — функция, которая отправляет открытые (соответственно закрытые) подмножества в открытые (соответственно закрытые) подмножества. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Закрытая область — связанное открытое подмножество топологического пространства. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Открытое множество - базовое подмножество топологического пространства.
• Окрестности - открытый набор, содержащий заданную точку.
• Регион (математика) — связанное открытое подмножество топологического пространства. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Обычный закрытый набор

Ссылки

• Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4571-52-4 . OCLC   945169917 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7 . OCLC   395340485 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .