Закрытый набор

В топологии ( закрыто-открытое множество сумма закрыто ) -открытого множества в топологическом пространстве — это множество, которое одновременно открыто и закрыто . То, что это возможно, может показаться нелогичным, поскольку общие значения слов «открыто» и «закрыто» являются антонимами, но их математические определения не являются взаимоисключающими . Множество является закрытым, если его дополнение открыто, что оставляет возможность существования открытого множества, дополнение которого также открыто, что делает оба множества одновременно открытыми и закрытыми и, следовательно, замкнуто-открытыми. Как описал тополог Джеймс Манкрес , в отличие от двери , «множество может быть открытым или закрытым, или и тем, и другим, или ни одним!» ^[1] подчеркивая, что значение «открыто»/«закрыто» для дверей не связано с их значением для наборов (и поэтому дихотомия открытой/закрытой двери не переносится на открытые/закрытые наборы). классу топологических пространств, известных как « дверные пространства Этот контраст с дверями дал название ».

Примеры

В любом топологическом пространстве $X,$ пустой набор и все пространство $X$ оба закрыты. ^[2]^[3]

Теперь рассмотрим пространство $X$ который состоит из объединения двух открытых интервалов $(0,1)$ и $(2,3)$ из $\mathbb {R} .$ Топология на $X$ наследуется как топология подпространства от обычной топологии на вещественной прямой $\mathbb {R} .$ В $X,$ набор $(0,1)$ закрыто, как и набор $(2,3).$ Это вполне типичный пример: если пространство составлено таким образом из конечного числа непересекающихся компонент связности , то эти компоненты будут замкнуто-замкнутыми.

Теперь позвольте $X$ быть бесконечным множеством при дискретной метрике , то есть две точки $p,q\in X$ имеют расстояние 1, если они не являются одной и той же точкой, и 0 в противном случае. В полученном метрическом пространстве любое одноэлементное множество открыто; следовательно, любое множество, являющееся объединением отдельных точек, открыто. Поскольку любое множество открыто, то и дополнение к любому множеству открыто, а значит, любое множество закрыто. Итак, все множества в этом метрическом пространстве открыто-замкнуты.

В качестве менее тривиального примера рассмотрим пространство $\mathbb {Q}$ всех рациональных чисел с их обычной топологией и множества $A$ всех положительных рациональных чисел, квадрат которых больше 2. Используя тот факт, что ${\sqrt {2}}$ не в $\mathbb {Q} ,$ можно довольно легко показать, что $A$ является открыто-открытым подмножеством $\mathbb {Q} .$ ( $A$ является не замкнутым подмножеством реальной строки $\mathbb {R}$ ; оно не открыто и не закрыто $\mathbb {R} .$ )

Характеристики

Топологическое пространство $X$ связно тогда и только тогда , когда единственными замкнуто-замкнутыми множествами являются пустое множество и $X$ сам.
Множество является открытозамкнутым тогда и только тогда, когда его граница пуста. ^[4]
Любое открыто-замкнутое множество представляет собой объединение (возможно, бесконечного числа) компонент связности.
Если все связные компоненты $X$ открыты (например, если $X$ имеет лишь конечное число компонентов, или если $X$ ) локально связно , то множество замкнуто-замкнуто в $X$ тогда и только тогда, когда оно является объединением компонент связности.
Топологическое пространство $X$ дискретно тогда и только тогда, когда все его подмножества открыто-замкнуты.
Используя объединение и пересечение в качестве операций, открыто-замкнутые подмножества данного топологического пространства $X$ образуют булеву алгебру . Любая булева алгебра может быть получена таким образом из подходящего топологического пространства: см. теорему Стоуна о представлении булевых алгебр .

См. также

Дверное пространство – топологическое пространство, в котором каждое подмножество либо открыто, либо закрыто (или и то, и другое).
Список тождеств и отношений множеств . Равенства для комбинаций множеств.

Примечания

^ Мункрес 2000 , с. 91.
^ Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (1992) [1982]. Введение в реальный анализ (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. с. 348. (о действительных числах и пустом множестве в R)
^ Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1961). Топология . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., с. 56. (о топологических пространствах)
^ Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 87. ИСБН 0-486-66352-3 . Позволять $A$ быть подмножеством топологического пространства. Докажите, что $\operatorname {Bdry} (A)=\varnothing$ тогда и только тогда, когда $A$ бывает открытым и закрытым. (Дано в упражнении 7)

Ссылки

Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9 . OCLC 42683260 .
Моррис, Сидни А. «Топология без слез» . Архивировано из оригинала 19 апреля 2013 года.

[FOOTNOTEMunkres200091-1] Мункрес 2000 , с. 91.

[2] Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (1992) [1982]. Введение в реальный анализ (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. с. 348. (о действительных числах и пустом множестве в R)

[3] Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1961). Топология . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., с. 56. (о топологических пространствах)

[4] Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 87. ИСБН 0-486-66352-3 . Позволять $A$ быть подмножеством топологического пространства. Докажите, что $\operatorname {Bdry} (A)=\varnothing$ тогда и только тогда, когда $A$ бывает открытым и закрытым. (Дано в упражнении 7)

[1]

[2]

[3]

[4]