Дверное пространство

В математике , особенно в области топологии , топологическое пространство называется дверным пространством, если каждое подмножество открыто или закрыто (или и то, и другое ). Этот термин происходит от мнемоники вводной топологии, согласно которой «подмножество не похоже на дверь: оно может быть открытым, закрытым, и тем и другим, или ни одним».

Свойства и примеры

Каждое дверное пространство равно T ₀ (потому что, если $x$ и $y$ две топологически неразличимые точки, синглтон $\{x\}$ не является ни открытым, ни закрытым).

Каждое подпространство дверного пространства является дверным пространством. То же самое относится и к каждой части дверного пространства.

Любая топология тоньше топологии двери на множестве. $X$ также является топологией двери.

Каждое дискретное пространство является дверным пространством. Это пространства без точки накопления , то есть каждая точка которых является изолированной точкой .

Каждое пространство $X$ ровно с одной точкой накопления (и все остальные точки изолированы) является дверным пространством (поскольку подмножества, состоящие только из изолированных точек, открыты, а подмножества, содержащие точку накопления, закрыты). Вот некоторые примеры: (1) одноточечная компактификация дискретного пространства (также называемого пространством Форта ), где точка на бесконечности является точкой накопления; (2) пространство с топологией исключенной точки , где «исключенная точка» является точкой накопления.

Каждое дверное пространство Хаусдорфа либо дискретно, либо имеет ровно одну точку накопления. (Чтобы увидеть это, если $X$ представляет собой пространство с четкими точками скопления $x$ и $y$ имеющие соответствующие непересекающиеся окрестности $U$ и $V,$ набор $(U\setminus \{x\})\cup \{y\}$ не является ни закрытым, ни открытым в $X.$)

Пример дверного пространства с более чем одной точкой накопления дается конкретной топологией точек на множестве. $X$ минимум с тремя баллами. Открытые множества — это подмножества, содержащие определенную точку. $p\in X,$ вместе с пустым набором. Суть $p$ является изолированной точкой, а все остальные точки являются точками накопления. (Это дверное пространство, поскольку каждый набор, содержащий $p$ открыто и каждое множество, не содержащее $p$ замкнуто.) Другим примером может быть топологическая сумма пространства с конкретной точечной топологией и дискретного пространства.

Дверные пространства $(X,\tau )$ без изолированной точки - это в точности те, которые имеют топологию вида $\tau ={\mathcal {U}}\cup \{\emptyset \}$ за какой-нибудь бесплатный ультрафильтр ${\mathcal {U}}$ на $X.$ Такие пространства обязательно бесконечны.

Существует ровно три типа соединенных дверных пространств. $(X,\tau )$:

• пространство с исключенной точечной топологией ;
• пространство с включенной точечной топологией ;
• пространство с топологией $\tau$ такой, что $\tau \setminus \{\emptyset \}$ это бесплатный ультрафильтр на $X.$

См. также

• Cloopen set - подмножество, которое одновременно открыто и закрыто.

Ссылки

• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том. 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90125-1 . ОСЛК   338047 .