Топология исключенной точки

В математике топология исключенной точки — это топология , в которой исключение конкретной точки определяет открытость . Формально, пусть X — любое непустое множество и p ∈ X . Коллекция

T=\{S\subseteq X:p\notin S\}\cup \{X\}

подмножеств X тогда X топологией исключенной точки на является . Есть множество случаев, которые имеют индивидуальное название:

Если X имеет две точки, оно называется пространством Серпинского . Этот случай является несколько особенным и рассматривается отдельно.
Если X конечно . (имеет не менее трех точек), топология на X называется топологией конечной исключенной точки
Если X счетно бесконечно , топология на X называется топологией счетной исключенной точки.
Если X несчетно , топология на X называется топологией несчетной исключенной точки.

Обобщением является топология открытого расширения ; если $X\setminus \{p\}$ имеет дискретную топологию , то топология открытого расширения на $(X\setminus \{p\})\cup \{p\}$ – топология исключенной точки.

Эта топология используется для предоставления интересных примеров и контрпримеров.

Характеристики

Позволять $X$ быть пространством с исключенной точечной топологией со специальной точкой $p.$

Пространство компактно , так как единственная окрестность $p$ это все пространство.

Топология является топологией Александрова . Самый маленький район г. $p$ это все пространство $X;$ наименьшая окрестность точки $x\neq p$ это синглтон $\{x\}.$ Эти самые маленькие кварталы компактны. Их замыкания соответственно $X$ и $\{x,p\},$ которые еще и компактны. Таким образом, пространство локально относительно компактно (каждая точка допускает локальную базу из относительно компактных окрестностей) и локально компактно в том смысле, что каждая точка имеет локальную базу из компактных окрестностей. Но точки $x\neq p$ не допускают локальной базы замкнутых компактных окрестностей.

Пространство ультрасвязно , так как любое непустое замкнутое множество содержит точку $p.$ Следовательно, пространство также связно и связно путями .

См. также

Ссылки

Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , МР 0507446