Топология расширения

В топологии , разделе математики, топология расширения — это топология, помещенная в дизъюнктное объединение топологического пространства и другого множества . Существуют различные типы топологии расширения, описанные в разделах ниже.

Топология расширения

Пусть X — топологическое пространство, а P — множество, не пересекающееся X. с Рассмотрим в X ∪ P открытые множества которой имеют вид A ∪ Q , где A — открытое множество X , а Q — подмножество P. топологию ,

Замкнутые множества X ∪ P имеют вид B ∪ Q , где B замкнутое множество X , а Q — подмножество P. —

По этим причинам эта топология называется топологией расширения X P плюс P расширяются , с помощью которой до X ∪ X. и замкнутые множества открытые Как подмножества X ∪ P, является исходной топологией топология подпространства X X , тогда как топология подпространства P является дискретной топологией . Как топологическое пространство, X ∪ P гомеоморфно сумме X P. и P , а — открыто замкнутое подмножество X топологической ∪ X -

Если Y — топологическое пространство, а R — подмножество Y ли топология расширения Y – R плюс R , можно спросить, совпадает с исходной топологией Y , и ответ, как правило, отрицательный.

Обратите внимание на сходство этой конструкции топологии расширения и одноточечной компактификации Александрова : в этом случае, имея топологическое пространство X , которое нужно компактифицировать, добавляя точку ∞ в бесконечности, замкнутые множества X ∪ {∞} рассматриваются как — множества вида K , где K — замкнутый компакт X , или ∪ {∞}, где B — замкнутый набор X. B

Открытая топология расширения

Позволять $(X,{\mathcal {T}})$ быть топологическим пространством и $P$ множество, не пересекающееся с $X$. Топология расширения открытого ${\mathcal {T}}$ плюс $P$ является $${\mathcal {T}}^{*}={\mathcal {T}}\cup \{X\cup A:A\subset P\}.$$Позволять $X^{*}=X\cup P$. Затем ${\mathcal {T}}^{*}$это топология в $X^{*}$. Подпространственная топология $X$ является исходной топологией $X$, то есть ${\mathcal {T}}^{*}|X={\mathcal {T}}$, а топология подпространства $P$ – дискретная топология, т.е. ${\mathcal {T}}^{*}|P={\mathcal {P}}(P)$.

Закрытые наборы в $X^{*}$ являются $\{B\cup P:X\subset B\land X\setminus B\in {\mathcal {T}}\}$. Обратите внимание, что $P$ закрыт в $X^{*}$ и $X$ открыт и плотен в $X^{*}$.

Если Y — топологическое пространство, а R — подмножество Y ли топология открытого расширения Y – R плюс R , можно задаться вопросом, совпадает с исходной топологией Y , и ответ, как правило, отрицательный.

Обратите внимание, что топология открытого расширения $X^{*}$ меньше , чем топология расширения $X^{*}$.

Предполагая $X$ и $P$ не пусты, чтобы избежать тривиальности, вот несколько общих свойств топологии открытого расширения:

• $X$ плотный в $X^{*}$.
• Если $P$ конечно, $X^{*}$ компактен ​ . Так $X^{*}$ представляет компактификацию собой $X$ в таком случае.
• $X^{*}$ подключен ​ .
• Если $P$ имеет одну точку, $X^{*}$ является ультрасвязным .

Для множества Z и точки p в Z можно получить конструкцию топологии исключенной точки , рассматривая в Z дискретную топологию и применяя конструкцию топологии открытого расширения к Z – { p } плюс p .

Топология закрытого расширения

Пусть X — топологическое пространство, а P — множество, не пересекающееся X. с Рассмотрим в X ∪ P замкнутые множества которой имеют вид X ∪ Q , где Q — подмножество P , или B , где B — замкнутое множество X. топологию ,

По этой причине эта топология называется расширения замкнутой топологией X плюс P с помощью которой можно расширить до X ∪ P замкнутые множества X. , Как подмножества X ∪ P топология подпространства X является исходной топологией X , а топология подпространства P является дискретной топологией.

Открытые множества X ∪ P имеют вид Q , где Q — подмножество P , или ∪ P , где A — открытое множество X. A Обратите внимание, что P открыт в X ∪ P , а X замкнут в X ∪ P .

Если Y — топологическое пространство, а R — подмножество Y , можно задаться вопросом, является ли закрытая топология расширения Y – R плюс R такой же, как исходная топология Y , и ответ, как правило, отрицательный.

Обратите внимание, что топология замкнутого расширения X ∪ P меньше, чем топология расширения X ∪ P .

Для множества Z и точки p в Z можно получить конкретную конструкцию точечной топологии , рассматривая в Z дискретную топологию и применяя конструкцию топологии замкнутого расширения к Z – { p } плюс p .

Цитируемые работы

• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [Впервые опубликовано в 1978 году], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-486-68735-3 , МР   0507446