Теория представлений группы Галилея

В нерелятивистской квантовой механике существование массы и спина (обычно объясняемых в классификации релятивистской механики Вигнера ) может быть дано в терминах теории представлений группы Галилея , которая является группой симметрии пространства-времени нерелятивистской квантовой механики.

В $измерениях 3 + 1$ это подгруппа аффинной группы на ( $t, x, y, z$ ), линейная часть которой оставляет инвариантными как метрику ( $g µν =diag(1, 0, 0, 0)$ ), так и (независимая) двойственная метрика ( $g µν = diag(0, 1, 1, 1)$ ). Аналогичное определение применимо для $n + 1$ измерений.

Нас будут интересовать проективные представления этой группы, эквивалентные унитарным представлениям нетривиального центрального расширения универсальной накрывающей группы одномерной Галилея группой Ли $R$ , ср. статья « Группа Галилея для центрального расширения ее алгебры Ли» . метод индуцированных представлений Для их рассмотрения будет использован .

Здесь мы сосредоточимся на (центрально расширенной, Баргмановой) алгебре Ли, потому что ее проще анализировать, и мы всегда можем распространить результаты на полную группу Ли с помощью теоремы Фробениуса .

[E,P_{i}]=0

[P_{i},P_{j}]=0

[L_{ij},E]=0

[C_{i},C_{j}]=0

[L_{ij},L_{kl}]=i\hbar [\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]

[L_{ij},P_{k}]=i\hbar [\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]

[L_{ij},C_{k}]=i\hbar [\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]

[C_{i},E]=i\hbar P_{i}

[C_{i},P_{j}]=i\hbar M\delta _{ij}~.

$E$ — генератор сдвигов времени ( гамильтониан ), Pi _— генератор сдвигов ( оператор импульса ), C _i — генератор бустов Галилея, а L _ij — генератор вращений ( оператор углового момента ). Центральный заряд $M$ является инвариантом Казимира .

Инвариант массовой оболочки

ME-{P^{2} \over 2}

является дополнительным инвариантом Казимира .

В $измерениях 3 + 1$ третий инвариант Казимира — это $W. 2$ , где

{\vec {W}}\equiv M{\vec {L}}+{\vec {P}}\times {\vec {C}}~,

несколько аналогичен псевдовектору Паули–Любанского релятивистской механики.

В более общем смысле, в $измерениях n + 1$ инварианты будут функцией

W_{ij}=ML_{ij}+P_{i}C_{j}-P_{j}C_{i}

и

W_{ijk}=P_{i}L_{jk}+P_{j}L_{ki}+P_{k}L_{ij}~,

а также вышеуказанного инварианта массы-оболочки и центрального заряда.

Используя лемму Шура , в неприводимом унитарном представлении все эти инварианты Казимира кратны единице. Назовем эти коэффициенты $m$ и $mE 0$ и (в случае $измерений 3+1$ ) $w$ соответственно. Вспоминая, что мы рассматриваем здесь унитарные представления, мы видим, что эти собственные значения должны быть действительными числами .

Таким образом, $m > 0$ , $m = 0$ и $m < 0$ . (Последний случай аналогичен первому.) В $измерениях 3 + 1$ , когда In $m > 0$ , мы можем написать $w = ms$ для третьего инварианта, где $s$ представляет спин или собственный угловой момент. В более общем смысле, в $измерениях n + 1$ генераторы $L$ и $C$ будут связаны соответственно с полным угловым моментом и моментом центра масс соотношением

W_{ij}=MS_{ij}

L_{ij}=S_{ij}+X_{i}P_{j}-X_{j}P_{i}

C_{i}=MX_{i}-P_{i}t~.

С чисто теоретической точки зрения пришлось бы изучить все представления; но здесь нас интересуют только приложения к квантовой механике. Здесь $E$ представляет собой энергию , которая должна быть ограничена снизу, если требуется термодинамическая стабильность. Рассмотрим сначала случай, когда $m$ не равно нулю.

Рассматривая пространство ( $E$ , P → ) с ограничением

mE=mE_{0}+{P^{2} \over 2}~,

мы видим, что бусты Галилея действуют транзитивно на этой гиперповерхности . Фактически, рассматривая энергию

E

как гамильтониан, дифференцируя по

P

и применяя уравнения Гамильтона, мы получаем соотношение массовой скорости

m v \to = P \to

.

Гиперповерхность параметризуется этой скоростью In $v \to$ . Рассмотрим стабилизатор точки на орбите ( $E 0, 0$ ), где скорость равна $0$ . Благодаря транзитивности мы знаем, что унитарное неравенство содержит нетривиальное линейное подпространство с этими собственными значениями энергии-импульса. (Это подпространство существует только в оснащенном гильбертовом пространстве , поскольку спектр импульса непрерывен.)

Подпространство охватывает $E$ , $P \to$ , $M$ и $L ij$ . Мы уже знаем, как преобразуется подпространство иррепа под действием всех операторов, кроме углового момента . Обратите внимание, что подгруппа вращения — Spin(3) . Нам придется взглянуть на его двойное покрытие , поскольку мы рассматриваем проективные представления. Это называется маленькая группа , имя, данное Юджином Вигнером . Его метод индуцированных представлений указывает, что необратимость задается прямой суммой всех слоев векторного расслоения над $mE = mE 0 + P 2 /2$ гиперповерхность, слои которой являются унитарным представлением $Spin(3)$ .

$Spin(3)$ — это не что иное, как $SU(2)$ . (См. теорию представлений SU(2) , где показано, что унитарные иррепии $SU(2)$ помечены $s$ , неотрицательным целым числом, кратным одной половине. По историческим причинам это называется spin .)

Следовательно, при $m \neq 0$ унитарные ипповторения классифицируются по $m$ , $E 0$ и спину $s$ .
Глядя на спектр $E$ , очевидно, что если $m$ отрицательно, спектр $E$ не ограничен снизу. Следовательно, физическим является только случай с положительной массой.
Теперь рассмотрим случай $m = 0$ . По унитарности, $mE-{P^{2} \over 2}={-P^{2} \over 2}$

является неположительным. Предположим, что оно равно нулю. Здесь и повышения, и вращения составляют маленькую группу. Любое унитарное искажение этой маленькой группы также порождает проективное искажение группы Галилея. Насколько мы можем судить, только случай, который тривиально преобразуется под действием маленькой группы, имеет какую-либо физическую интерпретацию и соответствует состоянию без частиц, вакууму .

Случай, когда инвариант отрицателен, требует дополнительных комментариев. Это соответствует классу представления для $m$ = 0 и ненулевого $P \to$ . Расширяя классификацию брадионов , люксонов , тахионов из теории представлений группы Пуанкаре до аналогичной классификации, здесь можно назвать эти состояния синхронами . Они представляют собой мгновенную передачу ненулевого импульса на (возможно, большое) расстояние. С ними связан, как указано выше, оператор «времени».

t=-{{\vec {P}}\cdot {\vec {C}} \over P^{2}}~,

которые могут быть идентифицированы со временем передачи. Эти состояния естественно интерпретируются как носители мгновенных сил действия на расстоянии.

NB. В $3 + 1$ -мерной группе Галилея буст-генератор можно разложить на

{\vec {C}}={{\vec {W}}\times {\vec {P}} \over P^{2}}-{\vec {P}}t~,

где W → играет роль, аналогичную спиральности .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Баргманн, В. (1954). «О унитарных лучевых представлениях непрерывных групп», Анналы математики , вторая серия, 59 , № 1 (январь 1954 г.), стр. 1–46.
Леви-Леблон, Жан-Марк (1967), «Нерелятивистские частицы и волновые уравнения» (PDF) , Communications in Mathematical Physics , 6 (4), Springer: 286–311 , Bibcode : 1967CMaPh...6..286L , doi : 10.1007/bf01646020 , S2CID 121990089 .
Баллентайн, Лесли Э. (1998). Квантовая механика: современное развитие . World Scientific Publishing Co Pte Ltd. ISBN 981-02-4105-4 .
Гилмор, Роберт (2006). Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения (Дуврские книги по математике) ISBN 0486445291