Псевдовектор Паули – Любанского

Обозначения см. в исчислении Риччи .

В физике псевдовектор Паули -Любанского — это оператор, определяемый из импульса и углового момента , используемый в квантово-релятивистском описании углового момента. Он назван в честь Вольфганга Паули и Юзефа Любанского .

Он описывает спиновые состояния движущихся частиц. Это генератор малой группы группы Пуанкаре , то есть максимальной подгруппы (с четырьмя образующими), оставляющей собственные значения вектора P четырехимпульсов µ _{инвариантными} .

Определение

Обычно он обозначается W (реже S ) и определяется:

$W_{\mu }\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\tfrac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },$

где

• $\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }$ — четырехмерный полностью антисимметричный символ Леви-Чивита ;
• $J^{\nu \rho }$ – релятивистский оператор тензора углового момента ( $M^{\nu \rho }$);
• $P^{\sigma }$ — оператор четырех импульсов .

На языке внешней алгебры его можно записать как двойственный по тривектор Ходжу :

$$\mathbf {W} =\star (\mathbf {J} \wedge \mathbf {p} ).$$

Примечание $W_{0}={\vec {J}}\cdot {\vec {P}}$, и ${\vec {W}}=E{\vec {J}}-{\vec {P}}\times {\vec {K}}$ где ${\vec {J}}$ является генератором вращений и ${\vec {K}}$ является генератором бустов.

W _µ, очевидно, удовлетворяет $$P^{\mu }W_{\mu }=0,$$

а также следующие коммутаторные соотношения: $${\begin{aligned}\left[P^{\mu },W^{\nu }\right]&=0,\\\left[J^{\mu \nu },W^{\rho }\right]&=i\left(g^{\rho \nu }W^{\mu }-g^{\rho \mu }W^{\nu }\right),\end{aligned}}$$

Следовательно, $$\left[W_{\mu },W_{\nu }\right]=-i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }W^{\rho }P^{\sigma }.$$

Скаляр W _μ W ^м является лоренц-инвариантным оператором и коммутирует с четырехимпульсом и, таким образом, может служить меткой для неприводимых унитарных представлений группы Пуанкаре . То есть он может служить меткой для спина , особенности пространственно-временной структуры представления, помимо релятивистски инвариантной метки P _μ P ^м для массы всех состояний в представлении.

Маленькая группа

В собственном пространстве $S$ оператора 4-импульса $P$ с 4-импульсным собственным значением $k$ гильбертова пространства квантовой системы (или, если уж на то пошло, стандартного представления с ℝ ⁴ интерпретируется как пространство импульсов, на которое действуют матрицы 5×5, при этом верхний левый блок 4×4 блокирует обычное преобразование Лоренца, последний столбец зарезервирован для перемещений и действий, оказываемых на элементы $p$ (векторы-столбцы) импульсного пространства с 1, добавленной в качестве пятой строки, см. стандартные тексты. ) имеет место следующее:

• Компоненты $W$ с $P^{\mu }$ заменен на $k^{\mu }$ образуют алгебру Ли. Это алгебра Ли группы Литтла. $L_{k}$из $k$, т. е. подгруппа однородной группы Лоренца, оставляющая $k$ инвариант.
• Для каждого неприводимого унитарного представления $L_{k}$ существует неприводимое унитарное представление полной группы Пуанкаре, называемое индуцированным представлением .
• Пространство представления индуцированного представления можно получить последовательным применением элементов полной группы Пуанкаре к ненулевому элементу $S$ и продолжая по линейности.

Неприводимое унитарное представление группы Пуанкаре характеризуется собственными значениями двух операторов Казимира $P^{2}$ и $W^{2}$. Лучший способ убедиться в том, что неприводимое унитарное представление действительно получено, — это продемонстрировать его действие на элемент с произвольным собственным значением с 4-импульсом. $p$ в полученном таким образом пространстве представлений. Неприводимость следует из конструкции пространства представления.

Массивные поля

В квантовой теории поля в случае массивного поля инвариант Казимира W _µ W ^м описывает полный спин частицы с собственными значениями $$W^{2}=W_{\mu }W^{\mu }=-m^{2}s(s+1),$$ где s — спиновое квантовое число частицы, а m — ее масса покоя .

Это легко увидеть в системе покоя частицы: указанный выше коммутатор, действующий на состояние частицы, составляет [ W _j , W _k ] = i ε _jkl W _l m ; следовательно, W → = mJ → и W ⁰ = 0 , так что маленькая группа равна группе вращения, $$W_{\mu }W^{\mu }=-m^{2}{\vec {J}}\cdot {\vec {J}}.$$ Поскольку это лоренц-инвариантная она будет одинаковой величина, то во всех остальных системах отсчета .

Также принято брать W ³ для описания проекции спина по третьему направлению в системе покоя.

В движущихся системах отсчёта, разложение W = ( W ₀ , W → ) на компоненты ( W ₁ , W ₂ , W ₃ ) , где W ₁ и W ₂ ортогональны P → , а W ₃ параллельны P → , система Паули-Любанского вектор может быть выражен через вектор спина S → = ( ​​S ₁ , S ₂ , S ₃ ) (аналогично разложенный) как $${\begin{aligned}W_{0}&=PS_{3},&W_{1}&=mS_{1},&W_{2}&=mS_{2},&W_{3}&={\frac {E}{c^{2}}}S_{3},\end{aligned}}$$

где $$E^{2}=P^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$$ – соотношение энергии и импульса .

Поперечные компоненты W1 _{удовлетворяют следующим коммутаторным соотношениям (} , W2 _вместе с S3 _: которые применяются вообще, а не только к представлениям с ненулевой массой) $${\begin{aligned}[][W_{1},W_{2}]&={\frac {ih}{2\pi }}\left(\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {P}{c}}\right)^{2}\right)S_{3},&[W_{2},S_{3}]&={\frac {ih}{2\pi }}W_{1},&[S_{3},W_{1}]&={\frac {ih}{2\pi }}W_{2}.\end{aligned}}$$

Для частиц с ненулевой массой и полей, связанных с такими частицами, $$[W_{1},W_{2}]={\frac {ih}{2\pi }}m^{2}S_{3}.$$

Безмассовые поля

Основная статья: безмассовая частица

Вообще в случае немассивных представлений можно выделить два случая. Для безмассовых частиц $$W^{2}=W_{\mu }W^{\mu }=-E^{2}\left((K_{2}-J_{1})^{2}+(K_{1}+J_{2})^{2}\right)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} -E^{2}\left(A^{2}+B^{2}\right),$$ где K → — вектор динамического момента массы . Итак, математически P ² = 0 не означает W ² = 0.

Представления с непрерывным спином

В более общем случае компоненты W →, поперечные P →, могут быть ненулевыми, что дает семейство представлений, называемых цилиндрическими люксонами («люксон» — еще один термин для «безмассовой частицы»), их идентифицирующее свойство поскольку компоненты W → образуют подалгебру Ли, изоморфную двумерной евклидовой группе ISO(2) , причем продольная компонента W → играет роль генератора вращения, а поперечные компоненты — роль генераторы перевода. Это равнозначно групповому сжатию SO (3) и приводит к так называемым представлениям непрерывного спина . Однако в этом семействе не известны физические случаи фундаментальных частиц или полей. Можно утверждать, что состояния с непрерывным спином обладают внутренней степенью свободы, не наблюдаемой у наблюдаемых безмассовых частиц.

Представления спиральности

В особом случае ${\vec {W}}$ параллельно ${\vec {P}};$ или эквивалентно ${\vec {W}}\times {\vec {P}}={\vec {\boldsymbol {0}}}.$ Для ненулевого ${\vec {W}}$ это ограничение может быть последовательно наложено только для люксонов ( безмассовых частиц ), поскольку коммутатор двух поперечных компонент ${\vec {W}}$ пропорционально $m^{2}{\vec {J}}\cdot {\vec {P}}\,.$ Для этой семьи, $W^{2}=0$ и $W^{\mu }=\lambda \,P^{\mu }$ инвариант вместо этого задается выражением $$\left(W^{0}\right)^{2}=\left(W^{3}\right)^{2},$$ где $$W^{0}=-{\vec {J}}\cdot {\vec {P}},$$ поэтому инвариант представлен спиральности оператором $$W^{0}/P.$$

Например, все частицы, которые взаимодействуют со слабым ядерным взаимодействием , попадают в это семейство, поскольку определение слабого ядерного заряда (слабого изоспина ) предполагает спиральность, которая, как указано выше, должна быть инвариантом. Появление ненулевой массы в таких случаях должно быть объяснено другими способами, например, механизмом Хиггса . Однако даже после учета таких механизмов генерации массы фотон ( и, следовательно, электромагнитное поле) продолжает попадать в этот класс, хотя другие состояния собственной массы носителей электрослабого взаимодействия ( т.е.
В ^±
бозон и антибозон и
С ⁰
бозон ) приобретают ненулевую массу.

Раньше считалось, что нейтрино также относятся к этому классу. Однако, поскольку наблюдалось, что нейтрино колеблются по аромату , теперь известно, что по крайней мере два из трех собственных состояний массы левоспиральных нейтрино и правоспиральных антинейтрино должны иметь ненулевую массу.

См. также

• Центр масс (релятивистский)
• Классификация Вигнера
• Оператор углового момента
• Оператор Казимира
• Хиральность
• Псевдовектор
• Псевдосенсор
• Индуцированное представление

Ссылки

• Боголюбов, Н. Н. (1989). Общие принципы квантовой теории поля (2-е изд.). Спрингер Издательство ISBN  0-7923-0540-Х .
• Браун, Л.С. (1994). Квантовая теория поля . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-46946-3 .
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Springer, номер документа : 10.1007/978-3-319-13467-3 , ISBN.  978-3319134666 , ISSN   0072-5285
• Любаньский, Ю. К. (1942a). «К теории элементарных частиц произвольного спина. I». Физика (на французском языке). 9 (3): 310–324. Бибкод : 1942Phy.....9..310L . дои : 10.1016/S0031-8914(42)90113-7 .
• Любаньский, Ю. К. (1942b). «К теории элементарных частиц произвольного спина. II». Физика (на французском языке). 9 (3): 325–338. Бибкод : 1942Phy.....9..325L . дои : 10.1016/S0031-8914(42)90114-9 .
• Олссон, Т. (2011). Релятивистская квантовая физика: от продвинутой квантовой механики к вводной квантовой теории поля . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-139-50432-4 .
• Пенроуз, Р. (2005). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN  978-0-09-944068-0 .
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford Science Publications, ISBN  0-19-859683-9
• Райдер, Л.Х. (1996). Квантовая теория поля (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-47814-6 .
• Тунг, Ву-Ки (1985). Теория групп в физике (1-е изд.). Нью-Джерси·Лондон·Сингапур·Гонконг: World Scientific . ISBN  978-9971966577 .
• Вайнберг, С. (2002) [1995], Основы , Квантовая теория полей, том. 1, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-55001-7
• Вигнер, EP (1939). «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца». Анналы математики . 40 (1): 149–204. Бибкод : 1939АнМат..40..149Вт . дои : 10.2307/1968551 . JSTOR   1968551 . МР   1503456 . S2CID   121773411 .