Групповое сокращение
В теоретической физике Юджин Вигнер и Эрдал Иненю обсудили [1] возможность получить из данной группы Ли другую (неизоморфную) группу Ли путем группового сжатия относительно ее непрерывной подгруппы. Это равнозначно предельной операции над параметром алгебры Ли , изменяющей структурные константы этой алгебры Ли нетривиальным сингулярным образом при подходящих обстоятельствах. [2] [3]
Например, алгебра Ли трехмерной группы вращений SO(3) , [ X 1 , X 2 ] = X 3 и т. д. может быть переписана заменой переменных Y 1 = εX 1 , Y 2 = εX 2 , Y 3 = X 3 , так как
- [ Y 1 , Y 2 ] знак равно ε 2 Y 3 , [ Y 2 , Y 3 ] знак равно Y 1 , [ Y 3 , Y 1 ] знак равно Y 2 .
Предел сжатия ε → 0 таким образом, дает неизоморфную алгебру плоской евклидовой группы упрощает первый коммутатор и , E 2 ~ ISO(2) . (Это изоморфно цилиндрической группе, описывающей движение точки на поверхности цилиндра. Это маленькая группа или подгруппа стабилизатора нулевых четырехвекторов в пространстве Минковского .) В частности, генераторы сдвига Y 1 , Y 2 , теперь порождаем абелеву нормальную подгруппу E 2 ( см. Расширение группы ), параболические преобразования Лоренца .
Подобные пределы, имеющие существенное применение в физике (см. принципы соответствия ), заключают
- группа де Ситтера SO(4, 1) ~ Sp(2, 2) в группу Пуанкаре ISO(3, 1) при расходимости радиуса де Ситтера: R → ∞ ; или
- супер- де Ситтера анти- алгебра превращается в супер-алгебру Пуанкаре при расходимости радиуса AdS R → ∞ ; или
- группу Пуанкаре в группу Галилея , поскольку скорость света расходится: c → ∞ ; [4] или
- алгебра Ли скобки Мойала (эквивалентная квантовым коммутаторам) превращается в алгебру Ли скобки Пуассона в классическом пределе , когда постоянная Планка обращается в нуль: ħ → 0 .
Примечания [ править ]
- ^ Инёню и Вигнер, 1953 г.
- ^ Сигал 1951 , с. 221
- ^ Салетан 1961 , с. 1
- ^ Гилмор 2006
Ссылки [ править ]
- Дули, А.Х.; Райс, JW (1985). «О сокращениях полупростых групп Ли» (PDF) . Труды Американского математического общества . 289 (1): 185–202. дои : 10.2307/1999695 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1999695 . МР 0779059 .
- Гилмор, Роберт (2006). Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения . Дуврские книги по математике. Дуврские публикации . ISBN 0486445291 . МР 1275599 .
- Инёню, Э .; Вигнер, EP (1953). «О сжатии групп и их представлений» . Учеб. Натл. акад. Наука . 39 (6): 510–24. Бибкод : 1953PNAS...39..510I . дои : 10.1073/pnas.39.6.510 . ПМЦ 1063815 . ПМИД 16589298 .
- Салетан, Э.Дж. (1961). «Сжатие групп Ли». Журнал математической физики . 2 (1): 1–21. Бибкод : 1961JMP.....2....1S . дои : 10.1063/1.1724208 .
- Сигал, IE (1951). «Класс операторных алгебр, определяемых группами». Математический журнал Дьюка . 18 : 221. дои : 10.1215/S0012-7094-51-01817-0 .