Супер-Алгебра Пуанкаре

В теоретической физике супералгебра Пуанкаре — это расширение алгебры Пуанкаре, включающее суперсимметрию — связь между бозонами и фермионами . Они являются примерами алгебр суперсимметрии (без центральных зарядов и внутренних симметрий) и являются супералгебрами Ли . Таким образом, супер-алгебра Пуанкаре — это Z ₂ -градуированное векторное пространство с градуированной скобкой Ли такое, что четная часть является алгеброй Ли, содержащей алгебру Пуанкаре, а нечетная часть построена из спиноров , на которых существует антикоммутационное соотношение со значениями в четной части.

Неофициальный эскиз

Алгебра Пуанкаре описывает изометрии пространства-времени Минковского . Из теории представлений группы Лоренца известно, что группа Лоренца допускает два неэквивалентных комплексных спинорных представления, получивших название $2$ и ${\overline {2}}$. Взяв их тензорное произведение , получим $2\otimes {\overline {2}}=3\oplus 1$; такое разложение тензорных произведений представлений в прямые суммы задается правилом Литтлвуда–Ричардсона .

Обычно такое разложение рассматривают как относящееся к конкретным частицам: так, например, пион , который представляет собой киральную векторную частицу , состоит из пары кварк -антикварк. Однако можно также определить $3\oplus 1$ с самим пространством-временем Минковского. Это приводит к естественному вопросу: если пространство-время Минковского принадлежит присоединенному представлению , то можно ли распространить симметрию Пуанкаре на фундаментальное представление ? Да, может: это и есть супералгебра Пуанкаре. Возникает соответствующий экспериментальный вопрос: если мы живем в присоединенном представлении, то где скрывается фундаментальное представление? Это программа суперсимметрии , которая не найдена экспериментально.

История

Супер-Алгебра Пуанкаре была впервые предложена в контексте теоремы Хаага-Лопушанского-Сониуса , как средство избежать выводов теоремы Коулмана-Мандулы . То есть теорема Коулмана-Мандулы представляет собой запретную теорему, которая утверждает, что алгебру Пуанкаре нельзя расширить дополнительными симметриями, которые могли бы описывать внутренние симметрии наблюдаемого спектра физических частиц. Однако теорема Коулмана-Мандулы предполагала, что расширение алгебры будет осуществляться с помощью коммутатора; этого предположения и, следовательно, теоремы можно избежать, рассматривая антикоммутатор, то есть используя антикоммутирующие числа Грассмана . Было предложено рассмотреть алгебру суперсимметрии , определенную как полупрямое произведение центрального расширения супералгебры Пуанкаре компактной алгеброй Ли внутренних симметрий.

Определение

Простейшее суперсимметричное расширение алгебры Пуанкаре содержит два спинора Вейля со следующим антикоммутационным соотношением:

$\{Q_{\alpha },{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}\}=2{\sigma ^{\mu }}_{\alpha {\dot {\beta }}}P_{\mu }$

и все остальные антикоммутационные отношения между Q s и P s исчезают. Операторы $Q_{\alpha },{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}$ известны как суперзаряды . В приведенном выше выражении $P_{\mu }$ являются генераторами перевода и $\sigma ^{\mu }$ — матрицы Паули . Индекс $\alpha$ пробегает значения $\alpha =1,2.$ Над индексом ставится точка ${\dot {\beta }}$ напомнить, что этот индекс преобразуется по неэквивалентному сопряженному спинорному представлению; никогда нельзя случайно сжимать эти два типа индексов. Матрицы Паули можно считать прямым проявлением упомянутого ранее правила Литтлвуда–Ричардсона : они указывают, как тензорное произведение $2\otimes {\overline {2}}$ из двух спиноров может быть перевыражено в виде вектора. Индекс $\mu$ конечно, колеблется в измерениях пространства-времени $\mu =0,1,2,3.$

удобно работать со спинорами Дирака Вместо спиноров Вейля ; Спинор Дирака можно рассматривать как элемент $2\oplus {\overline {2}}$; он состоит из четырех компонентов. Таким образом, матрицы Дирака также являются четырехмерными и могут быть выражены как прямые суммы матриц Паули. Тензорное произведение затем дает алгебраическое отношение к метрике Минковского. $g^{\mu \nu }$ что выражается как:

$\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2g^{\mu \nu }$

и

$\sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]$

Тогда это дает полную алгебру

${\begin{aligned}\left[M^{\mu \nu },Q_{\alpha }\right]&={\frac {1}{2}}(\sigma ^{\mu \nu })_{\alpha }^{\;\;\beta }Q_{\beta }\\\left[Q_{\alpha },P^{\mu }\right]&=0\\\{Q_{\alpha },{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}\}&=2(\sigma ^{\mu })_{\alpha {\dot {\beta }}}P_{\mu }\\\end{aligned}}$

которые необходимо объединить с нормальной алгеброй Пуанкаре . Это замкнутая алгебра, поскольку все тождества Якоби выполняются и могут иметь явные матричные представления. Следование этой линии рассуждений приведет к супергравитации .

Расширенная суперсимметрия

Смотрите также: Расширенная суперсимметрия

Есть возможность добавить больше суперзарядов. То есть мы фиксируем число, которое по соглашению обозначается ${\mathcal {N}}$и определим суперзаряды $Q_{\alpha }^{I},{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{I}$ с $I=1,\cdots ,{\mathcal {N}}.$

Их можно рассматривать как множество копий оригинальных суперзарядов и, следовательно, удовлетворить

$[M^{\mu \nu },Q_{\alpha }^{I}]=(\sigma ^{\mu \nu })_{\alpha }{}^{\beta }Q_{\beta }^{I}$

$[P^{\mu },Q_{\alpha }^{I}]=0$

и

$\{Q_{\alpha }^{I},{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{J}\}=2\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }P_{\mu }\delta ^{IJ}$

но также может удовлетворить

$\{Q_{\alpha }^{I},Q_{\beta }^{J}\}=\epsilon _{\alpha \beta }Z^{IJ}$

и

$\{{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{I},{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}^{J}\}=\epsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}Z^{\dagger IJ}$

где $Z^{IJ}=-Z^{JI}$ это центральный заряд .

Супергруппа Пуанкаре и суперпространство

Точно так же, как алгебра Пуанкаре порождает группу изометрий Пуанкаре пространства Минковского, супералгебра Пуанкаре, пример супералгебры Ли, порождает то, что известно как супергруппа . Это можно использовать для определения суперпространства с помощью ${\mathcal {N}}$ суперзаряды: это правые классы группы Лоренца внутри ${\mathcal {N}}$ супергруппа Пуанкаре.

Так же, как $P_{\mu }$ интерпретируется как генератор перемещений пространства-времени, заряды $Q_{\alpha }^{I},{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{I}$, с $I=1,\cdots ,{\mathcal {N}}$, имеют интерпретацию как генераторы суперпространственных сдвигов в «спиновых координатах» суперпространства. То есть мы можем рассматривать суперпространство как прямую сумму пространства Минковского со «спиновыми измерениями», обозначенными координатами. $\theta _{\alpha }^{I},{\bar {\theta }}^{I{\dot {\alpha }}}$. Суперзаряд $Q_{\alpha }^{I}$ генерирует сдвиги в направлении, отмеченном координатой $\theta _{\alpha }^{I}.$ По подсчёту есть $4{\mathcal {N}}$ размеры спина.

Обозначение суперпространства

Суперпространство, состоящее из пространства Минковского с ${\mathcal {N}}$ поэтому наддувы помечены $\mathbb {R} ^{1,3|4{\mathcal {N}}}$ или иногда просто $\mathbb {R} ^{4|4{\mathcal {N}}}$.

SUSY в пространстве-времени 3 + 1 Минковского

В (3 + 1) пространстве-времени Минковского теорема Хаага – Лопушанского – Сониуса утверждает, что SUSY-алгебра с N спинорными генераторами выглядит следующим образом.

Четная часть звездной супералгебры Ли представляет собой прямую сумму алгебры Пуанкаре и редуктивной алгебры Ли B (такой, что ее самосопряженная часть является касательным пространством вещественной компактной группы Ли ). Нечетная часть алгебры будет

$\left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)\otimes V^{*}$

где $(1/2,0)$ и $(0,1/2)$ являются конкретными представлениями алгебры Пуанкаре. (По сравнению с обозначениями, использованными ранее в статье, они соответствуют ${\overline {2}}\oplus 1$ и $1\oplus 2$соответственно, см. также сноску, где введены предыдущие обозначения). Оба компонента сопряжены друг с другом при спряжении *. V — N- мерное комплексное представление B и V. ^* это его двойное представление . Скобка Ли для нечетной части задается симметричной эквивариантной парой {.,.} в нечетной части со значениями в четной части. В частности, его уменьшенный переплетчик из $\left[\left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\right]\otimes \left[\left(0,{\frac {1}{2}}\right)\otimes V^{*}\right]$ к идеалу алгебры Пуанкаре, порожденному сдвигами, задается как произведение ненулевого переплетателя из $\left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes \left(0,{\frac {1}{2}}\right)$ до (1/2,1/2) «сжимающим переплетителем» из $V\otimes V^{*}$ к тривиальному представлению . С другой стороны, его уменьшенный переплетатель из $\left[\left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\right]\otimes \left[\left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\right]$ является продуктом (антисимметричного) переплетателя из $\left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes \left({\frac {1}{2}},0\right)$ в (0,0) и антисимметричный переплетатель A из $N^{2}$ к Б. ​Сопряжите его, чтобы получить соответствующий случай для другой половины.

Н = 1

Б сейчас ${\mathfrak {u}}(1)$ (так называемая R-симметрия), а V — это 1D-представление ${\mathfrak {u}}(1)$ с зарядом 1. A (переплетатель, определенный выше) должен быть равен нулю, поскольку он антисимметричен.

На самом деле существует две версии N=1 SUSY, одна без ${\mathfrak {u}}(1)$ (т.е. B нульмерен), а другой с ${\mathfrak {u}}(1)$.

Н = 2

Б сейчас ${\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {u}}(1)$ а V — двумерное дублетное представление ${\mathfrak {su}}(2)$ с нулем ${\mathfrak {u}}(1)$ заряжать . Теперь A является ненулевым переплетателем ${\mathfrak {u}}(1)$ часть Б. ​

Альтернативно, V может быть двумерным дублетом с ненулевой ${\mathfrak {u}}(1)$ заряжать. В этом случае A должно быть равно нулю.

Еще одна возможность — позволить B быть ${\mathfrak {u}}(1)_{A}\oplus {\mathfrak {u}}(1)_{B}\oplus {\mathfrak {u}}(1)_{C}$. V is invariant under ${\mathfrak {u}}(1)_{B}$ и ${\mathfrak {u}}(1)_{C}$ и разлагается на 1D-представление с ${\mathfrak {u}}(1)_{A}$ заряд 1 и еще один повтор 1D с зарядом -1. Переплетатель A будет сложным, а действительная часть будет отображаться в ${\mathfrak {u}}(1)_{B}$ и мнимая часть отображается на ${\mathfrak {u}}(1)_{C}$.

Или мы могли бы сделать так, чтобы B было ${\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {u}}(1)_{A}\oplus {\mathfrak {u}}(1)_{B}$ где V является дублетным представителем ${\mathfrak {su}}(2)$ с нулем ${\mathfrak {u}}(1)$ заряды, а A является сложным переплетителем, действительная часть которого отображается на ${\mathfrak {u}}(1)_{A}$ и мнимая часть ${\mathfrak {u}}(1)_{B}$.

Это даже не исчерпывает всех возможностей. Мы видим, что существует более одной N = 2 суперсимметрии; аналогично, SUSY для N > 2 также не уникальны (на самом деле, ситуация становится только хуже).

Н = 3

Теоретически это допускается, но структура мультиплета автоматически становится такой же, как при это суперсимметричная теория N = 4. Поэтому он обсуждается реже по сравнению с версией N =1,2,4.

Н = 4

Это максимальное число суперсимметрий в теории без гравитации.

Н = 8

Это максимальное число суперсимметрий в любой суперсимметричной теории. Вне ${\mathcal {N}}=8$, любой безмассовый супермультиплет содержит сектор со спиральностью $\lambda$ такой, что $|\lambda |>2$. Такие теории о пространстве Минковского должны быть свободными (невзаимодействующими).

SUSY в различных измерениях

В измерениях 0 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1, 6 + 1, 7 + 1, 8 + 1 и 10 + 1 SUSY-алгебра классифицируется положительным целым числом N .

В измерениях 1 + 1, 5 + 1 и 9 + 1 SUSY-алгебра классифицируется двумя неотрицательными целыми числами ( M , N ), по крайней мере одно из которых не равно нулю. M представляет количество левых SUSY, а N представляет количество правых SUSY.

Причина этого связана с условиями реальности спиноров .

Здесь и далее d = 9 означает d = 8 + 1 в сигнатуре Минковского и т. д. Структура алгебры суперсимметрии в основном определяется количеством фермионных генераторов, то есть числом, умноженным на реальный размер спинора в d измерениях. Это потому, что можно легко получить алгебру суперсимметрии меньшей размерности из алгебры более высокой размерности с помощью редукции размерностей.

Верхняя граница размерности суперсимметричных теорий

Максимально допустимая размерность теорий с суперсимметрией равна $d=11=10+1$, которая допускает уникальную теорию, называемую одиннадцатимерной супергравитацией , которая является низкоэнергетическим пределом М-теории . Сюда входит супергравитация: без супергравитации максимально допустимый размер составляет $d=10=9+1$.

д = 11

Единственный пример — суперсимметрия N = 1 с 32 суперзарядами.

д = 10

Из d = 11, N = 1 SUSY получается N = (1, 1) некиральная SUSY-алгебра, которую также называют суперсимметрией типа IIA . Существует также N = (2, 0) SUSY-алгебра, которую называют суперсимметрией типа IIB . Оба они имеют по 32 суперзаряда.

N = (1, 0) Сузи-алгебра с 16 суперзарядами — это минимальная Сузи-алгебра в 10 измерениях. Ее еще называют суперсимметрией I типа . типа IIA/IIB/I Теория суперструн имеет SUSY-алгебру с соответствующим названием. Алгебра суперсимметрии гетеротических суперструн относится к типу I.

Ссылки

• Эйчисон, Ян-младший (2005). «Суперсимметрия и MSSM: элементарное введение». arXiv : hep-ph/0505105 .
• Гольфанд, Ю.А. ; Лихтман, Е.П. (1971). «Расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение P-инвариантности» . Письмо в ЖЭТФ. 13 : 323–326. Бибкод : 1971JETPL..13..323G .
• ван Ньювенхейзен, П. (1981). «Супергравитация». Физ. Представитель 68 (4): 189–398. Стартовый код : 1981ФР....68..189В . дои : 10.1016/0370-1573(81)90157-5 .
• Volkov, D. V.; Akulov, V. P. (1972). "Possible Universal Neutrino Interaction" . JETP Lett . 16 (11): 621 pp.
• Волков Д.В.; Акулов, В.П. (1973). «Является ли нейтрино частицей золотого камня». Физ. Летт. Б. ​ 46 (1): 109–110. Бибкод : 1973PhLB...46..109В . дои : 10.1016/0370-2693(73)90490-5 .
• Вайнберг, Стивен (2000). Суперсимметрия . Квантовая теория полей. Том. 3 (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0521670555 .
• Весс, Дж .; Зумино, Б. (1974). «Суперкалибровочные преобразования в четырех измерениях» . Ядерная физика Б . 70 (1): 39–50. Бибкод : 1974NuPhB..70...39W . дои : 10.1016/0550-3213(74)90355-1 .