Супергравитация типа IIA

В суперсимметрии супергравитация типа IIA — это уникальная супергравитация в десяти измерениях с двумя суперзарядами противоположной киральности . Впервые он был построен в 1984 году путем уменьшения одиннадцатимерной супергравитации на окружность . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Другие супергравитации в десяти измерениях — это супергравитация типа IIB , имеющая два суперзаряда одинаковой киральности, и супергравитация типа I , имеющая один суперзаряд. В 1986 году была обнаружена деформация теории, которая придает массу одному из полей и известна как массивная супергравитация типа IIA. ^{[ 4 ]} Супергравитация типа IIA играет очень важную роль в теории струн , поскольку она является низкоэнергетическим пределом теории струн типа IIA .

История

После открытия супергравитации в 1976 году с помощью чистого 4D ${\mathcal {N}}=1$ В связи с супергравитацией значительные усилия были направлены на понимание других возможных супергравитаций, которые могут существовать с различным количеством суперзарядов и в различных измерениях. Открытие одиннадцатимерной супергравитации в 1978 году привело к созданию множества супергравитаций более низких измерений посредством размерной редукции этой теории. ^{[ 5 ]} Используя эту технику, супергравитация типа IIA была впервые построена в 1984 году тремя разными группами: Ф. Джани и М. Перничи. ^{[ 1 ]} ICG Кэмпбелл и П. Уэст , ^{[ 2 ]} и М. Хук и М.А. Намази. ^{[ 3 ]} В 1986 г. Л. Романс заметил, что существует массовая деформация теории. ^{[ 4 ]} С тех пор супергравитация типа IIA широко использовалась для изучения низкоэнергетического поведения теории струн типа IIA. Терминология типа IIA, типа IIB и типа I была придумана Дж. Шварцем первоначально для обозначения трех теорий струн, которые были известны в 1982 году. ^{[ 6 ]}

Теория

Десять измерений допускают оба ${\mathcal {N}}=1$ и ${\mathcal {N}}=2$ супергравитация, в зависимости от того, имеется ли один или два суперзаряда. ^{[ номер 1 ]} Поскольку наименьшими спинорными представлениями в десяти измерениях являются Майораны – Вейля спиноры , суперзаряды бывают двух типов. $Q^{\pm }$ в зависимости от их киральности, что дает три возможные теории супергравитации. ^{[ 7 ]}^: 241 ${\mathcal {N}}=2$ Теория, построенная с использованием двух суперзарядов противоположной киральности, обозначается ${\mathcal {N}}=(1,1)$ и известна как супергравитация типа IIA.

Эта теория содержит единственный мультиплет , известный как десятимерный ${\mathcal {N}}=2$ нехиральный мультиплет. Поля в этом мультиплете $(g_{\mu \nu },C_{\mu \nu \rho },B_{\mu \nu },C_{\mu },\psi _{\mu },\lambda ,\phi )$ , где $g_{\mu \nu }$ — метрика, соответствующая гравитону , а следующие три поля — это калибровочные поля 3-, 2- и 1-формы , причем 2-форма — это поле Калба–Рамонда . ^{[ 8 ]} Еще есть майорана гравитино. $\psi _{\mu }$ и майорановский спинор $\lambda$ , оба из которых распадаются на пару спиноров Майораны – Вейля противоположной киральности. $\psi _{\mu }=\psi _{\mu }^{+}+\psi _{\mu }^{-}$ и $\lambda =\lambda ^{+}+\lambda ^{-}$ . Наконец, существует скалярное поле $\phi$ .

Этот некиральный мультиплет можно разложить на десятимерный ${\mathcal {N}}=1$ мультиплет $(g_{\mu \nu },B_{\mu \nu },\psi _{\mu }^{+},\lambda ^{-},\phi )$ , а также четыре дополнительных поля $(C_{\mu \nu \rho },C_{\mu },\psi _{\mu }^{-},\lambda ^{+})$ . ^{[ 9 ]}^: 269^{[ номер 2 ]} В контексте теории струн бозонные поля в первом мультиплете состоят из полей NSNS , тогда как все бозонные поля являются полями RR . Фермионные поля тем временем находятся в секторе СМП.

Алгебра

Супералгебра для ${\mathcal {N}}=(1,1)$ суперсимметрия определяется выражением ^{[ 10 ]}

\{Q_{\alpha },Q_{\beta }\}=(\gamma ^{\mu }C)_{\alpha \beta }P_{\mu }+(\gamma _{*}C)_{\alpha \beta }Z+(\gamma ^{\mu }\gamma _{*}C)_{\alpha \beta }Z_{\mu }+(\gamma ^{\mu \nu }C)_{\alpha \beta }Z_{\mu \nu }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(\gamma ^{\mu \nu \rho \sigma }\gamma _{*}C)_{\alpha \beta }Z_{\mu \nu \rho \sigma }+(\gamma ^{\mu \nu \rho \sigma \delta }C)_{\alpha \beta }Z_{\mu \nu \rho \sigma \delta },

где все члены в правой части, кроме первого, являются центральными зарядами, допускаемыми теорией. Здесь $Q_{\alpha }$ являются спинорными компонентами майорановских суперзарядов ^{[ номер 3 ]} пока $C$ – оператор зарядового сопряжения . Поскольку антикоммутатор симметричен, в правой части разрешены только матрицы , симметричные по спинорным индексам. $\alpha$ , $\beta$ . В десяти измерениях $\gamma ^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}C$ симметричен только для $p=1,2$ модуль $4$ , с матрицей киральности $\gamma _{*}$ ведет себя как еще один $\gamma$ матрица, кроме без индекса. ^{[ 7 ]}^: 47–48 Переход только к пятииндексным матрицам, поскольку остальные эквивалентны с точностью до двойственности Пуанкаре , дает набор центральных зарядов, описываемых вышеуказанной алгеброй .

Различные центральные заряды в алгебре соответствуют различным состояниям BPS, допускаемым теорией. В частности, $Z$ , $Z_{\mu \nu }$ и $Z_{\mu \nu \rho \sigma }$ соответствуют бранам D0, D2 и D4 . ^{[ 10 ]} $Z_{\mu }$ соответствует NSNS 1-бране, что эквивалентно фундаментальной струне , а $Z_{\mu \nu \rho \sigma \delta }$ соответствует NS5-бране .

Действие

супергравитации типа IIA Действие определяется до четырехфермионных термов ^{[ 11 ]}

S_{IIA,{\text{bosonic}}}={\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int d^{10}x{\sqrt {-g}}e^{-2\phi }{\bigg [}R+4\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{12}}H_{\mu \nu \rho }H^{\mu \nu \rho }-2{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }D_{\nu }\psi _{\rho }+2{\bar {\lambda }}\gamma ^{\mu }D_{\mu }\lambda {\bigg ]}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -{\frac {1}{4\kappa ^{2}}}\int d^{10}x{\sqrt {-g}}{\big [}{\tfrac {1}{2}}F_{2,\mu \nu }F_{2}^{\mu \nu }+{\tfrac {1}{24}}{\tilde {F}}_{4,\mu \nu \rho \sigma }{\tilde {F}}_{4}^{\mu \nu \rho \sigma }{\big ]}-{\frac {1}{4\kappa ^{2}}}\int B\wedge F_{4}\wedge F_{4}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +{\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int d^{10}x{\sqrt {-g}}{\bigg [}e^{-2\phi }(2\chi _{1}^{\mu }\partial _{\mu }\phi -{\tfrac {1}{6}}H_{\mu \nu \rho }\chi _{3}^{\mu \nu \rho }-4{\bar {\lambda }}\gamma ^{\mu \nu }D_{\mu }\psi _{\nu })-{\tfrac {1}{2}}F_{2,\mu \nu }\Psi _{2}^{\mu \nu }-{\tfrac {1}{24}}{\tilde {F}}_{4,\mu \nu \rho \sigma }\Psi _{4}^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg ]}.

Здесь $H=dB$ и $F_{p+1}=dC_{p}$ где $p$ соответствует $p$ -форма калибровочного поля . ^{[ номер 4 ]} Калибровочное поле трех форм имеет модифицированный тензор напряженности поля. ${\tilde {F}}_{4}=F_{4}-A_{1}\wedge F_{3}$ при этом имеется нестандартная Бьянки идентичность $d{\tilde {F}}_{4}=-F_{2}\wedge F_{3}$ . ^{[ 12 ]}^: 115^{[ кол. 5 ]} Тем временем, $\chi _{1}^{\mu }$ , $\chi _{3}^{\mu \nu \rho }$ , $\Psi _{2}^{\mu \nu }$ , и $\Psi _{4}^{\mu \nu \rho \sigma }$ представляют собой различные фермионные билинейные зависимости, определяемые формулами ^{[ 11 ]}

\chi _{1}^{\mu }=-2{\bar {\psi }}_{\nu }\gamma ^{\nu }\psi ^{\mu }-2{\bar {\lambda }}\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\psi _{\nu },

\chi _{3}^{\mu \nu \rho }={\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}^{\alpha }\gamma _{[\alpha }\gamma ^{\mu \nu \rho }\gamma _{\beta ]}\gamma _{*}\psi ^{\beta }+{\bar {\lambda }}\gamma ^{\mu \nu \rho }{}_{\beta }\gamma _{*}\psi ^{\beta }-{\tfrac {1}{2}}{\bar {\lambda }}\gamma _{*}\gamma ^{\mu \nu \rho }\lambda ,

\Psi _{2}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}e^{-\phi }{\bar {\psi }}^{\alpha }\gamma _{[\alpha }\gamma ^{\mu \nu }\gamma _{\beta ]}\gamma _{*}\psi ^{\beta }+{\tfrac {1}{2}}e^{-\phi }{\bar {\lambda }}\gamma ^{\mu \nu }\gamma _{\beta }\gamma _{*}\psi ^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}e^{-\phi }{\bar {\lambda }}\gamma ^{\mu \nu }\gamma _{*}\lambda ,

\Psi _{4}^{\mu \nu \rho \sigma }={\tfrac {1}{2}}e^{-\phi }{\bar {\psi }}^{\alpha }\gamma _{[\alpha }\gamma ^{\mu \nu \rho \sigma }\gamma _{\beta ]}\psi ^{\beta }+{\tfrac {1}{2}}e^{-\phi }{\bar {\lambda }}\gamma ^{\mu \nu \rho \sigma }\gamma _{\beta }\psi ^{\beta }-{\tfrac {1}{4}}e^{-\phi }{\bar {\lambda }}\gamma ^{\mu \nu \rho \sigma }\lambda .

Первая линия действия имеет действие Эйнштейна–Гильберта , дилатонный кинетический член ^{[ номер 6 ]}, 2-форма $B_{\mu \nu }$ тензор напряженности поля. Он также содержит кинетические члены для гравитино. $\psi _{\mu }$ и спинор $\lambda$ , описываемое действием Рариты-Швингера и действием Дирака соответственно. Вторая строка содержит кинетические члены для калибровочных полей 1-формы и 3-формы, а также член Черна – Саймонса . Последняя строка содержит кубические члены взаимодействия между двумя фермионами и бозоном .

Преобразования суперсимметрии

Вариации суперсимметрии, которые оставляют действие инвариантным, задаются с точностью до трехфермионных членов формулой ^{[ 11 ]}^{[ 14 ]}^: 665^{[ номер 7 ]}

\delta e_{\mu }{}^{a}={\bar {\epsilon }}\gamma ^{a}\psi _{\mu },

\delta \psi _{\mu }=(D_{\mu }+{\tfrac {1}{8}}H_{\alpha \beta \mu }\gamma ^{\alpha \beta }\gamma _{*})\epsilon +{\tfrac {1}{16}}e^{\phi }F_{\alpha \beta }\gamma ^{\alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{*}\epsilon +{\tfrac {1}{192}}e^{\phi }F_{\alpha \beta \gamma \delta }\gamma ^{\alpha \beta \gamma \delta }\gamma _{\mu }\epsilon ,

\delta B_{\mu \nu }=2{\bar {\epsilon }}\gamma _{*}\gamma _{[\mu }\psi _{\nu ]},

\delta C_{\mu }=-e^{-\phi }{\bar {\epsilon }}\gamma _{*}(\psi _{\mu }-{\tfrac {1}{2}}\gamma _{\mu }\lambda ),

\delta C_{\mu \nu \rho }=-e^{-\phi }{\bar {\epsilon }}\gamma _{[\mu \nu }(3\psi _{\rho ]}-{\tfrac {1}{2}}\gamma _{\rho ]}\lambda )+3C_{[\mu }\delta B_{\nu \rho ]},

\delta \lambda =({\partial \!\!\!/}\phi +{\tfrac {1}{12}}H_{\alpha \beta \gamma }\gamma ^{\alpha \beta \gamma }\gamma _{*})\epsilon +{\tfrac {3}{8}}e^{\phi }F_{\alpha \beta }\gamma ^{\alpha \beta }\gamma _{*}\epsilon +{\tfrac {1}{96}}e^{\phi }F_{\alpha \beta \gamma \delta }\gamma ^{\alpha \beta \gamma \delta }\epsilon ,

\delta \phi ={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\lambda .

Они полезны для построения спинорных уравнений Киллинга и нахождения суперсимметричных основных состояний теории, поскольку они требуют, чтобы фермионные вариации исчезли.

Связанные теории

Массивная супергравитация типа IIA

Поскольку супергравитация типа IIA имеет напряженность поля p-формы четных размеров, она также допускает калибровочное поле девяти форм. $F_{10}=dC_{9}$ . Но поскольку $\star F_{10}$ является скаляром , а уравнение свободного поля имеет вид $d\star F_{10}=0$ , этот скаляр должен быть константой. ^{[ 12 ]}^: 115 Таким образом, такое поле не имеет распространяющихся степеней свободы , но имеет связанную с ним плотность энергии . Работая только с бозонным сектором, десятиформу можно включить в супергравитацию, изменив исходное действие для получения массивной супергравитации типа IIA. ^{[ 15 ]}^: 89–90

S_{{\text{massive }}IIA}={\tilde {S}}_{IIA}-{\frac {1}{4\kappa ^{2}}}\int d^{10}x{\sqrt {-g}}M^{2}+{\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int MF_{10},

где ${\tilde {S}}_{IIA}$ эквивалентна исходной супергравитации типа IIA с точностью до замены $F_{2}\rightarrow F_{2}+MB$ и $F_{4}\rightarrow F_{4}+{\tfrac {1}{2}}MB\wedge B$ . Здесь $M$ известна как римская масса и действует как множитель Лагранжа для $F_{10}$ . Часто этот тензор напряженности поля интегрируется, что приводит к действию, при котором $M$ действует как массовый член для поля Кальба – Рамона.

В отличие от теории IIA регулярного типа, которая имеет исчезающий скалярный потенциал $V(\phi )=0$ , массивный тип IIA имеет ненулевой скалярный потенциал. В то время как ${\mathcal {N}}=2$ Преобразования суперсимметрии кажутся реализованными, но на самом деле они формально нарушены, поскольку теория соответствует фону D8-браны. ^{[ 14 ]}^: 668 Близко связанная теория - супергравитация Хоу – Ламберта – Уэста. ^{[ 16 ]} это еще одна массивная деформация супергравитации типа IIA, ^{[ номер 8 ]} но такое, которое можно описать только на уровне уравнений движения . Оно достигается компактификацией одиннадцатимерной теории ММ на окружности.

Связь с 11D супергравитацией

Компактификация одиннадцатимерной супергравитации на окружности и сохранение только нулевых мод Фурье , независимых от компактных координат, приводит к супергравитации типа IIA. Для одиннадцатимерной супергравитации с гравитоном, гравитино и калибровочным полем 3-й формы, обозначаемым $(g_{MN}',\psi _{M}',A_{MNR}')$ , то метрика 11D разлагается на метрику 10D, 1-форму и дилатон как ^{[ 13 ]}^: 308

g'_{MN}=e^{-2\phi /3}{\begin{pmatrix}g_{\mu \nu }+e^{2\phi }C_{\mu }C_{\nu }&-e^{2\phi }C_{\mu }\\-e^{2\phi }C_{\nu }&e^{2\phi }\end{pmatrix}}.

Тем временем 3-форма 11D распадается на 3-форму 10D. $A_{\mu \nu \rho }'\rightarrow C_{\mu \nu \rho }$ и 10D 2-форма $A_{\mu \nu 11}'\rightarrow B_{\mu \nu }$ . Десятимерный модифицированный тензор напряженности поля ${\tilde {F}}_{4}$ непосредственно возникает в этой компактификации из $F'_{\mu \nu \rho \sigma }=e^{4\phi /3}{\tilde {F}}_{\mu \nu \rho \sigma }$ .

Размерное уменьшение фермионов обычно должно осуществляться в терминах плоских координат. $\psi _{A}'=e_{A}'^{M}\psi _{M}$ , где ${e'}_{A}^{M}$ это 11D Vielbein . ^{[ номер 9 ]} В этом случае 11D майорановский гравитон распадается на 10D майорановский гравитино и майорановский фермион. $\psi _{A}'\sim (\psi _{a},\lambda )$ , ^{[ 9 ]}^: 268^{[ кол. 10 ]} хотя точная идентификация дана ^{[ 14 ]}^: 664

\psi _{a}'=e^{\phi /6}(2\psi _{a}-{\tfrac {1}{3}}\gamma _{a}\lambda ),\ \ \ \ \ \ \ \psi _{11}'={\tfrac {2}{3}}e^{\phi /6}\gamma _{*}\lambda ,

где это выбрано для упрощения преобразований суперсимметрии. ^{[ номер 11 ]} Вариации десятимерной суперсимметрии также можно получить непосредственно из одиннадцатимерных, установив $\epsilon '=e^{-\phi /6}\epsilon$ . ^{[ номер 12 ]}

Связь с теорией струн типа IIA

Низкоэнергетическая эффективная теория поля теории струн типа IIA представляет собой супергравитацию типа IIA. ^{[ 15 ]}^: 187 Поля соответствуют различным безмассовым возбуждениям струны с метрикой 2-формы $B$ , а дилатон - это NSNS-состояния, которые встречаются во всех теориях струн, а поля 3-формы и 1-формы соответствуют RR-состояниям теории струн типа IIA. Поправки к действию супергравитации типа IIA бывают двух типов: квантовые поправки в степенях связи струн. $g_{s}$ и поправки на кривизну в степенях $\alpha '$ . ^{[ 15 ]}^{: 321–324} Такие поправки часто играют важную роль в феноменологии струн типа IIA . суперструн типа IIA. Константа связи $g_{s}$ соответствует ожиданию вакуумному математическому $e^{\phi }$ , а длина строки $l_{s}={\sqrt {\alpha '}}$ связана с константой гравитационного взаимодействия через $2\kappa ^{2}=(2\pi )^{7}{\alpha '}^{4}$ . ^{[ 12 ]}^: 115

Когда теория струн компактифицируется для получения четырехмерных теорий, это часто делается на уровне низкоэнергетической супергравитации. Редукция типа IIA на многообразии Калаби–Яу дает ${\mathcal {N}}=2$ Калаби – Яу теория в четырех измерениях, в то время как редукция к ориентифолду еще больше нарушает симметрию и дает феноменологически жизнеспособную четырехмерную теорию. ${\mathcal {N}}=1$ супергравитация . ^{[ 13 ]}^{: 356–357} Супергравитация типа IIA автоматически свободна от аномалий , поскольку это некиральная теория.

Примечания

^ Это эквивалентно тому, присутствует ли в теории одно или два гравитино.
^ Можно перевернуть все киральности и все равно получить эквивалентную теорию.
^ Суперзаряды Майораны распадаются на два спинора Майораны – Вейля противоположной киральности. $Q=Q^{+}+Q^{-}$ .
^ Иногда обозначения $|F_{p}|^{2}={\tfrac {1}{p!}}F_{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}F^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}$ используется для записи канонически нормированного кинетического члена для калибровочных полей.
^ Тождество Бьянки для других тензоров напряженности поля просто $dF_{p}=0$ .
^ Дилатонный кинетический член, по-видимому, не нормирован канонически, но это потому, что он находится в струнной системе координат. ^{[ 13 ]}^: 311 Выполнение преобразования Вейля в системе отсчета Эйнштейна приведет к канонически нормализованному дилатонному кинетическому члену.
^ Вариации действия и суперсимметрии зависят от используемой метрической подписи . Трансформируясь из преимущественно положительной подписи, ^{[ 14 ]} обозначаемый штрихами, к преимущественно отрицательному, используемому в этой статье, можно сделать через $g'_{\mu \nu }=-g_{\mu \nu }$ подразумевая, что $\gamma '^{\mu }=i\gamma ^{\mu }$ , $\gamma '_{\mu }=-i\gamma _{\mu }$ , и $\gamma '_{*}=-\gamma _{*}$ . Кроме того, поля часто переопределяются как ${e'}_{\mu }{}^{a}=e_{\mu }{}^{a}$ , ${\psi '}_{\mu }=\psi _{\mu }$ , $\lambda '=i\lambda$ , $B'=-B$ , $C_{1}'=-C_{1}$ , $C'_{3}=C_{3}$ .
^ Это единственные две возможные массивные деформации. ^{[ 17 ]}
^ Используя вышеупомянутую метрику, vielbein можно записать в терминах 10d vielbein, $C_{1}$ калибровочное поле, а дилатон как ${e'}_{M}^{A}={\begin{pmatrix}e^{-\phi /3}e_{\mu }^{a}&-e^{2\phi /3}C_{\mu }\\0&e^{2\phi /3}\end{pmatrix}}$ . ^{[ 14 ]}^: 656 Это специальный манометр, ${e'}_{11}^{A}=0$ , что необходимо учитывать при выводе вариаций 10d-суперсимметрии из 11d-вариаций.
^ Каждый спинор Майораны распадается на два спинора Майораны-Вейля противоположной киральности, причем десятимерная матрица киральности является одной из одиннадцатимерных гамма-матриц. $\gamma _{*}=\gamma _{11}$ .
^ Обратите внимание, что $\psi '_{11}$ — это 11-й плоский компонент, а не 11-й компонент пространства-времени.
^ Например, 11d vielbein преобразуется как $\delta e_{M}'^{A}={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}'\gamma ^{a}\psi _{M}'$ , поэтому используя это $e_{\mu }'^{a}=e^{-\phi /3}e_{\mu }^{a}$ и $\psi '_{\mu }=e^{-\phi /3}e^{\phi /6}(2\psi _{\mu }-{\tfrac {1}{3}}\gamma _{\mu }\lambda )$ , можно получить как вариацию суперсимметрии 10d вильбейна, так и дилатино.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Джани, Ф.; Перничи, М. (1984). "$N=2$ супергравитация в десяти измерениях" . Физ. Преподобный Д. 30 (2): 325–333. дои : 10.1103/PhysRevD.30.325 .
^ Jump up to: ^а ^б Кэмпбелл, ICG; Уэст, ПК (1984). «N = 2, D = 10 некиральная супергравитация и ее спонтанная» . Ядерная физика Б . 243 (1): 112–124. дои : 10.1016/0550-3213(84)90388-2 .
^ Jump up to: ^а ^б Хук, М.; Намази, Массачусетс (1985). «{Калуца-Кляйн} Супергравитация в десяти измерениях». Сорт. Квант. Могила . 2 : 293. дои : 10.1088/0264-9381/2/3/007 .
^ Jump up to: ^а ^б Романс, ЖЖ (1986). «Массивная супергравитация N = 2a в десяти измерениях» . Буквы по физике Б. 169 (4): 374–380. дои : 10.1016/0370-2693(86)90375-8 .
^ Креммер, Э .; Юлия, Б .; Шерк, Дж. (1978). «Теория супергравитации в одиннадцати измерениях». Физ. Летт. Б. 76 : 409–412. дои : 10.1016/0370-2693(78)90894-8 .
^ Шварц, Дж. Х. (1982). «Теория суперструн» . Отчеты по физике . 89 (3): 223–322. дои : 10.1016/0370-1573(82)90087-4 .
^ Jump up to: ^а ^б Фридман, ДЗ ; Ван Пройен, А. (2012). Супергравитация . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521194013 .
^ Сезгин, Е. (2023). «Обзор супергравитации». arXiv : 2312.06754 [ hep-th ].
^ Jump up to: ^а ^б Далл'Агата, Г.; Загерманн, М. (2021). Супергравитация: от первых принципов к современным приложениям . Спрингер. ISBN 978-3662639788 .
^ Jump up to: ^а ^б Таунсенд, ПК (1995). «П-бранная демократия». Мир в одиннадцати измерениях. Супергравитация, супермембраны и М-теория . ЦРК Пресс. ISBN 978-0750306720 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Бергшофф, Э.; Каллош, Р.; Ортин, Т.; Рост, Д.; Ван Пройен, А. (2001). «Новые формулировки суперсимметрии D = 10 и доменных стенок D8 - O8». Сорт. Квант. Грав . 18 : 3359–3382. arXiv : hep-th/0103233 . дои : 10.1088/0264-9381/18/17/303 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Ибанез, Ле; Уранга, AM (2012). Теория струн и физика элементарных частиц: введение в феноменологию струн . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521517522 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Беккер, К.; Беккер, М .; Шварц, Дж. Х. (2006). Теория струн и М-теория: современное введение . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521860697 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Ортин, Т. (2015). Гравитация и струны (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521768139 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Полчински, Дж. (1998). Теория струн, том II: Теория суперструн и не только . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1551439761 .
^ Хау, PS; Ламберт, Северная Дакота; Уэст, ПК (1998). «Новая массивная супергравитация типа IIA в результате компактификации». Физ. Летт. Б. 416 : 303–308. arXiv : hep-th/9707139 . дои : 10.1016/S0370-2693(97)01199-4 .
^ Цимпис, Д. (2005). «Массивная супергравитация IIA». JHEP . 10 :057. doi : 10.1088/1126-6708/2005/10/057 .

[7] Это эквивалентно тому, присутствует ли в теории одно или два гравитино.

[11] Можно перевернуть все киральности и все равно получить эквивалентную теорию.

[13] Суперзаряды Майораны распадаются на два спинора Майораны – Вейля противоположной киральности. $Q=Q^{+}+Q^{-}$ .

[15] Иногда обозначения $|F_{p}|^{2}={\tfrac {1}{p!}}F_{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}F^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}$ используется для записи канонически нормированного кинетического члена для калибровочных полей.

[17] Тождество Бьянки для других тензоров напряженности поля просто $dF_{p}=0$ .

[19] Дилатонный кинетический член, по-видимому, не нормирован канонически, но это потому, что он находится в струнной системе координат. ^{[ 13 ]}^: 311 Выполнение преобразования Вейля в системе отсчета Эйнштейна приведет к канонически нормализованному дилатонному кинетическому члену.

[21] Вариации действия и суперсимметрии зависят от используемой метрической подписи . Трансформируясь из преимущественно положительной подписи, ^{[ 14 ]} обозначаемый штрихами, к преимущественно отрицательному, используемому в этой статье, можно сделать через $g'_{\mu \nu }=-g_{\mu \nu }$ подразумевая, что $\gamma '^{\mu }=i\gamma ^{\mu }$ , $\gamma '_{\mu }=-i\gamma _{\mu }$ , и $\gamma '_{*}=-\gamma _{*}$ . Кроме того, поля часто переопределяются как ${e'}_{\mu }{}^{a}=e_{\mu }{}^{a}$ , ${\psi '}_{\mu }=\psi _{\mu }$ , $\lambda '=i\lambda$ , $B'=-B$ , $C_{1}'=-C_{1}$ , $C'_{3}=C_{3}$ .

[25] Это единственные две возможные массивные деформации. ^{[ 17 ]}

[26] Используя вышеупомянутую метрику, vielbein можно записать в терминах 10d vielbein, $C_{1}$ калибровочное поле, а дилатон как ${e'}_{M}^{A}={\begin{pmatrix}e^{-\phi /3}e_{\mu }^{a}&-e^{2\phi /3}C_{\mu }\\0&e^{2\phi /3}\end{pmatrix}}$ . ^{[ 14 ]}^: 656 Это специальный манометр, ${e'}_{11}^{A}=0$ , что необходимо учитывать при выводе вариаций 10d-суперсимметрии из 11d-вариаций.

[27] Каждый спинор Майораны распадается на два спинора Майораны-Вейля противоположной киральности, причем десятимерная матрица киральности является одной из одиннадцатимерных гамма-матриц. $\gamma _{*}=\gamma _{11}$ .

[28] Обратите внимание, что $\psi '_{11}$ — это 11-й плоский компонент, а не 11-й компонент пространства-времени.

[29] Например, 11d vielbein преобразуется как $\delta e_{M}'^{A}={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}'\gamma ^{a}\psi _{M}'$ , поэтому используя это $e_{\mu }'^{a}=e^{-\phi /3}e_{\mu }^{a}$ и $\psi '_{\mu }=e^{-\phi /3}e^{\phi /6}(2\psi _{\mu }-{\tfrac {1}{3}}\gamma _{\mu }\lambda )$ , можно получить как вариацию суперсимметрии 10d вильбейна, так и дилатино.

[GP-1] Jump up to: ^а ^б Джани, Ф.; Перничи, М. (1984). "$N=2$ супергравитация в десяти измерениях" . Физ. Преподобный Д. 30 (2): 325–333. дои : 10.1103/PhysRevD.30.325 .

[CW-2] Jump up to: ^а ^б Кэмпбелл, ICG; Уэст, ПК (1984). «N = 2, D = 10 некиральная супергравитация и ее спонтанная» . Ядерная физика Б . 243 (1): 112–124. дои : 10.1016/0550-3213(84)90388-2 .

[HN-3] Jump up to: ^а ^б Хук, М.; Намази, Массачусетс (1985). «{Калуца-Кляйн} Супергравитация в десяти измерениях». Сорт. Квант. Могила . 2 : 293. дои : 10.1088/0264-9381/2/3/007 .

[Romans-4] Jump up to: ^а ^б Романс, ЖЖ (1986). «Массивная супергравитация N = 2a в десяти измерениях» . Буквы по физике Б. 169 (4): 374–380. дои : 10.1016/0370-2693(86)90375-8 .

[5] Креммер, Э .; Юлия, Б .; Шерк, Дж. (1978). «Теория супергравитации в одиннадцати измерениях». Физ. Летт. Б. 76 : 409–412. дои : 10.1016/0370-2693(78)90894-8 .

[6] Шварц, Дж. Х. (1982). «Теория суперструн» . Отчеты по физике . 89 (3): 223–322. дои : 10.1016/0370-1573(82)90087-4 .

[Freedman-8] Jump up to: ^а ^б Фридман, ДЗ ; Ван Пройен, А. (2012). Супергравитация . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521194013 .

[survey-9] Сезгин, Е. (2023). «Обзор супергравитации». arXiv : 2312.06754 [ hep-th ].

[Dall-10] Jump up to: ^а ^б Далл'Агата, Г.; Загерманн, М. (2021). Супергравитация: от первых принципов к современным приложениям . Спрингер. ISBN 978-3662639788 .

[Townsend-12] Jump up to: ^а ^б Таунсенд, ПК (1995). «П-бранная демократия». Мир в одиннадцати измерениях. Супергравитация, супермембраны и М-теория . ЦРК Пресс. ISBN 978-0750306720 .

[main-14] Jump up to: ^а ^б ^с Бергшофф, Э.; Каллош, Р.; Ортин, Т.; Рост, Д.; Ван Пройен, А. (2001). «Новые формулировки суперсимметрии D = 10 и доменных стенок D8 - O8». Сорт. Квант. Грав . 18 : 3359–3382. arXiv : hep-th/0103233 . дои : 10.1088/0264-9381/18/17/303 .

[Uranga-16] Jump up to: ^а ^б ^с Ибанез, Ле; Уранга, AM (2012). Теория струн и физика элементарных частиц: введение в феноменологию струн . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521517522 .

[BBS-18] Jump up to: ^а ^б ^с Беккер, К.; Беккер, М .; Шварц, Дж. Х. (2006). Теория струн и М-теория: современное введение . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521860697 .

[Ortin-20] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Ортин, Т. (2015). Гравитация и струны (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521768139 .

[Pol-22] Jump up to: ^а ^б ^с Полчински, Дж. (1998). Теория струн, том II: Теория суперструн и не только . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1551439761 .

[23] Хау, PS; Ламберт, Северная Дакота; Уэст, ПК (1998). «Новая массивная супергравитация типа IIA в результате компактификации». Физ. Летт. Б. 416 : 303–308. arXiv : hep-th/9707139 . дои : 10.1016/S0370-2693(97)01199-4 .

[24] Цимпис, Д. (2005). «Массивная супергравитация IIA». JHEP . 10 :057. doi : 10.1088/1126-6708/2005/10/057 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ номер 1 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ номер 2 ]

[ 10 ]

[ номер 3 ]

[ 11 ]

[ номер 4 ]

[ 12 ]

[ кол. 5 ]

[ номер 6 ]

[ 14 ]

[ номер 7 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ номер 8 ]

[ 13 ]

[ номер 9 ]

[ кол. 10 ]

[ номер 11 ]

[ номер 12 ]

[ 17 ]

v т и Суперсимметрия
General topics	Supersymmetry Supersymmetric gauge theory Supersymmetric quantum mechanics Supergravity Superstring theory Super vector space Supergeometry
Supermathematics	Superalgebra Lie superalgebra Super-Poincaré algebra Superconformal algebra Supersymmetry algebra Supergroup Superspace Harmonic superspace Super Minkowski space Supermanifold
Concepts	Supercharge R-symmetry Supermultiplet Short supermultiplet BPS state Superpotential D-term FI D-term F-term Moduli space Supersymmetry breaking Konishi anomaly Seiberg duality Seiberg–Witten theory Witten index Wess–Zumino gauge Localization Mu problem Little hierarchy problem Electric–magnetic duality
Theorems	Coleman–Mandula Haag–Łopuszański–Sohnius Nonrenormalization
Field theories	Wess–Zumino N = 1 super Yang–Mills 4D N = 1 N = 4 super Yang–Mills Super QCD MSSM NMSSM 6D (2,0) superconformal ABJM superconformal
Supergravity	Pure 4D N = 1 supergravity 4D N = 1 supergravity N = 8 supergravity Higher dimensional 11D supergravity Type I supergravity Type IIA supergravity Type IIB supergravity Gauged supergravity
Superpartners	Axino Chargino Gaugino Goldstino Graviphoton Graviscalar Higgsino LSP Neutralino R-hadron Sfermion Sgoldstino Stop squark Superghost
Researchers	Affleck Bagger Batchelor Berezin Dine Fayet Gates Golfand Iliopoulos Montonen Olive Salam Seiberg Siegel Roček Rogers Wess Witten Zumino