Теорема Хаага – Лопушанского – Сониуса

В теоретической физике теорема Хаага -Лопушанского-Сониуса утверждает, что если рассматривать как коммутирующие , так и антикоммутирующие генераторы , то единственный способ нетривиально смешать пространство-время и внутреннюю симметрию - это использовать суперсимметрию . Антикоммутирующие генераторы должны быть со спином -1/2 спинорами , которые могут дополнительно иметь собственную внутреннюю симметрию, известную как R-симметрия . Теорема является обобщением теоремы Коулмана–Мандулы на супералгебры Ли . Это было доказано в 1975 году Рудольфом Хаагом , Яном Лопушаньским и Мартином Сохниусом. ^{[ 1 ]} как ответ на разработку первых суперсимметричных теорий поля Юлиусом Вессом и Бруно Зумино в 1974 году.

История

В 1960-е годы был доказан ряд теорем, исследующих, как внутренние симметрии могут сочетаться с симметриями пространства-времени, наиболее общей из которых является теорема Коулмана-Мандулы. ^{[ 2 ]} Оно показало, что групповая симметрия взаимодействующей теории обязательно должна быть прямым произведением группы Пуанкаре с некоторой компактной внутренней группой. Не зная об этой теореме, в начале 1970-х годов ряд авторов независимо пришли к суперсимметрии, которая, по-видимому, противоречила теореме, поскольку некоторые генераторы действительно преобразуются нетривиально при преобразованиях пространства-времени.

В 1974 году Ян Лопушаньский посетил Карлсруэ из Вроцлава вскоре после того, как Юлиус Весс и Бруно Зумино построили первую суперсимметричную квантовую теорию поля , модель Весса-Зумино . ^{[ 3 ]} В беседе с Вессом Лопушаньский интересовался, как этим новым теориям удалось преодолеть теорему Коулмана-Мандулы. В то время как Весс был слишком занят, чтобы работать с Лопушаньским, его докторант Мартин Сохниус был доступен. В течение следующих нескольких недель они разработали доказательство своей теоремы, после чего Лопушаньский отправился в ЦЕРН , где работал с Рудольфом Хаагом, чтобы существенно уточнить аргумент, а также распространить его на безмассовый случай. Позже, после того как Лопушаньский вернулся во Вроцлав, Сохниус отправился в ЦЕРН, чтобы закончить работу с Хаагом, которая была опубликована в 1975 году.

Теорема

Основные предположения теоремы Коулмана-Мандулы заключаются в том, что теория включает S-матрицу с аналитическими амплитудами рассеяния , такую, что любое двухчастичное состояние должно подвергаться некоторой реакции почти при всех энергиях и углах рассеяния. ^{[ 4 ]} Более того, должно быть только конечное число типов частиц ниже любой массы , что дисквалифицирует безмассовые частицы. Затем теорема ограничивает алгебру Ли теории прямой суммой алгебры Пуанкаре с некоторой внутренней алгеброй симметрии .

Теорема Хаага – Лопушанского – Сониуса основана на тех же предположениях, за исключением того, что допускаются дополнительные антикоммутирующие генераторы, повышающие алгебру Ли до супералгебры Ли. В четырех измерениях теорема утверждает, что единственные нетривиальные антикоммутирующие генераторы, которые можно добавить, — это набор ${\mathcal {N}}$ пары наддувов $Q_{\alpha }^{L}$ и ${\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{R}$ , индексируется $\alpha$ , которые коммутируют с генератором импульса и преобразуются как левые и правые спиноры Вейля . Обозначение индекса без точек и точек, известное как обозначение Ван дер Вардена , отличает левые и правые спиноры Вейля друг от друга. Генераторы другого спина, например спина 3/2 или выше, не допускаются теоремой. ^{[ 5 ]} В основе, где $({\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{A})=(Q_{\alpha }^{A})^{\dagger }$ , эти суперзаряды удовлетворяют

\{Q_{\alpha }^{A},Q_{\beta }^{B}\}=\epsilon _{\alpha \beta }Z^{AB},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \{Q_{\alpha }^{A},{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}^{B}\}=\delta ^{AB}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu },

где $Z^{AB}$ известны как центральные заряды , которые коммутируют со всеми генераторами супералгебры. Вместе с алгеброй Пуанкаре эта супералгебра Ли известна как супералгебра Пуанкаре . Поскольку четырехмерное пространство-время Минковского также допускает спиноры Майораны в качестве фундаментальных спинорных представлений, алгебру можно эквивалентно записать в терминах четырехкомпонентных спинорных суперзарядов Майорана, при этом алгебра выражается в терминах гамма-матриц и оператора зарядового сопряжения, а не матриц Паули, используемых для двухкомпонентные спиноры Вейля. ^{[ 6 ]}

Суперзаряды также могут допускать дополнительную симметрию алгебры Ли, известную как R-симметрия, генераторы которой $B_{i}$ удовлетворить

[Q_{\alpha }^{A},B_{i}]=\sum _{B}s_{i}^{AB}Q_{\alpha }^{B},

где $s_{i}^{AB}$ являются эрмитовыми матрицами представления образующих в ${\mathcal {N}}$ -мерное представление группы R-симметрии. ^{[ 7 ]} Для ${\mathcal {N}}=1$ центральный заряд должен исчезнуть, а R-симметрия определяется выражением ${\text{U}}(1)$ группа, а для расширенной суперсимметрии ${\mathcal {N}}>1$ центральные заряды не обязательно должны исчезать, а R-симметрия является ${\text{U}}({\mathcal {N}})$ группа.

Если допускаются безмассовые частицы, то алгебру можно дополнительно расширить с помощью конформных генераторов: дилатонного генератора $D$ и конформных преобразований специальный генератор $K_{\mu }$ . Для ${\mathcal {N}}$ суперзарядов, то и суперконформных генераторов должно быть столько же $S_{\alpha }$ которые удовлетворяют

\{S_{\alpha }^{A},{\bar {S}}_{\dot {\beta }}^{B}\}=\delta ^{AB}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }K_{\mu },

причем как суперзаряды, так и суперконформные генераторы заряжаются под действием ${\text{U}}({\mathcal {N}})$ R-симметрия. ^{[ 8 ]} Эта алгебра является примером суперконформной алгебры , которая в этом четырехмерном случае обозначается через ${\mathfrak {su}}(2,2|{\mathcal {N}})$ . ^{[ 9 ]} В отличие от неконформных суперсимметричных алгебр, в суперконформных алгебрах всегда присутствует R-симметрия. ^{[ 10 ]}

Ограничения

Теорема Хаага – Лопушанского – Сониуса изначально была выведена в четырех измерениях , однако результат о том, что суперсимметрия является единственным нетривиальным расширением симметрии пространства-времени, справедлив для всех измерений, больших двух. Однако форма алгебры суперсимметрии меняется. В зависимости от размерности суперзаряды могут быть спинорами Вейля, Майорана, Вейля–Майорана или симплектическим спинорами Вейля–Майорана. Кроме того, группы R-симметрии различаются по размерности и числу суперзарядов. ^{[ 11 ]} Эта супералгебра также применима только в пространстве-времени Минковского и модифицируется в других пространствах-временях. Например, существует расширение антидеситтеровского пространства для одного или нескольких суперзарядов, тогда как расширение деситтеровского пространства работает только в том случае, если присутствует несколько суперзарядов. ^{[ 12 ]}

В двух или менее измерениях теорема не работает. Причина этого в том, что аналитичность амплитуд рассеяния больше не может сохраняться, поскольку, например, в двух измерениях единственным рассеянием является рассеяние вперед и назад. Теорема также неприменима к дискретным симметриям или к спонтанно нарушенным симметриям, поскольку они не являются симметриями на уровне S-матрицы.

См. также

Ссылки

^ Хааг, Р. ; Лопушаньский, Ю.Т. ; Сониус, М. (1975). «Все возможные генераторы суперсимметрий S-матрицы» . Ядерная физика Б . 88 (2): 257–274. Бибкод : 1975NuPhB..88..257H . дои : 10.1016/0550-3213(75)90279-5 .
^ Вайнберг, С. (2005). «24». Квантовая теория полей: суперсимметрия . Том. 3. Издательство Кембриджского университета. стр. 1–2. ISBN 978-0521670555 .
^ Сониус, М.Ф. (2001). «Воспоминания юного автора». Нукл. Физ. Б. Учеб. Доп . 101 (1–3): 129–132. Бибкод : 2001НуФС.101..129С . дои : 10.1016/S0920-5632(01)01499-2 .
^ Коулман, СР ; Мандула, Дж. (1967). «Все возможные симметрии S-матрицы». Физ. Преподобный . 159 (5): 1251–1256. Бибкод : 1967PhRv..159.1251C . дои : 10.1103/PhysRev.159.1251 .
^ Дуплий, С. (2003). Краткая энциклопедия суперсимметрии . Спрингер. стр. 181–182. ISBN 978-1402013386 .
^ Нэстасе, Х. (2015). «3». Введение в переписку AdS/CFT . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 45–46. ISBN 978-1107085855 .
^ Весс, Дж .; Баггер, Б. (1992). «1». Суперсимметрия и супергравитация . Издательство Принстонского университета. стр. 3–9. ISBN 978-0691025308 .
^ Аммон, М.; Эрдменгер, Дж. (2015). «3». Калибровочная/гравитационная дуальность: основы и приложения . Издательство Кембриджского университета. стр. 139–140. ISBN 978-1107010345 .
^ Фройнд, прокурор (1988). «4». Введение в суперсимметрию . Издательство Кембриджского университета. п. 26. ISBN 978-0521356756 .
^ Ахонд, М.; и др. (2021). «Автостопом по 4d N=2 суперконформным теориям поля» . SciPost Физика. Лект. Примечания . arXiv : 2112.14764 . doi : 10.21468/SciPostPhysLectNotes.64 . S2CID 245537355 .
^ Чекотти, С. (2015). «2». Суперсимметричные теории поля: геометрические структуры и двойственности . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 46. ИСБН 978-1107053816 .
^ Далл'Агата, Г.; Загерманн, М. (2021). «4». Супергравитация: от первых принципов к современным приложениям . Спрингер. стр. 51–55. ISBN 978-3662639788 .

[1] Хааг, Р. ; Лопушаньский, Ю.Т. ; Сониус, М. (1975). «Все возможные генераторы суперсимметрий S-матрицы» . Ядерная физика Б . 88 (2): 257–274. Бибкод : 1975NuPhB..88..257H . дои : 10.1016/0550-3213(75)90279-5 .

[2] Вайнберг, С. (2005). «24». Квантовая теория полей: суперсимметрия . Том. 3. Издательство Кембриджского университета. стр. 1–2. ISBN 978-0521670555 .

[3] Сониус, М.Ф. (2001). «Воспоминания юного автора». Нукл. Физ. Б. Учеб. Доп . 101 (1–3): 129–132. Бибкод : 2001НуФС.101..129С . дои : 10.1016/S0920-5632(01)01499-2 .

[4] Коулман, СР ; Мандула, Дж. (1967). «Все возможные симметрии S-матрицы». Физ. Преподобный . 159 (5): 1251–1256. Бибкод : 1967PhRv..159.1251C . дои : 10.1103/PhysRev.159.1251 .

[5] Дуплий, С. (2003). Краткая энциклопедия суперсимметрии . Спрингер. стр. 181–182. ISBN 978-1402013386 .

[6] Нэстасе, Х. (2015). «3». Введение в переписку AdS/CFT . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 45–46. ISBN 978-1107085855 .

[7] Весс, Дж .; Баггер, Б. (1992). «1». Суперсимметрия и супергравитация . Издательство Принстонского университета. стр. 3–9. ISBN 978-0691025308 .

[8] Аммон, М.; Эрдменгер, Дж. (2015). «3». Калибровочная/гравитационная дуальность: основы и приложения . Издательство Кембриджского университета. стр. 139–140. ISBN 978-1107010345 .

[9] Фройнд, прокурор (1988). «4». Введение в суперсимметрию . Издательство Кембриджского университета. п. 26. ISBN 978-0521356756 .

[10] Ахонд, М.; и др. (2021). «Автостопом по 4d N=2 суперконформным теориям поля» . SciPost Физика. Лект. Примечания . arXiv : 2112.14764 . doi : 10.21468/SciPostPhysLectNotes.64 . S2CID 245537355 .

[11] Чекотти, С. (2015). «2». Суперсимметричные теории поля: геометрические структуры и двойственности . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 46. ИСБН 978-1107053816 .

[12] Далл'Агата, Г.; Загерманн, М. (2021). «4». Супергравитация: от первых принципов к современным приложениям . Спрингер. стр. 51–55. ISBN 978-3662639788 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

v т и Суперсимметрия
General topics	Supersymmetry Supersymmetric gauge theory Supersymmetric quantum mechanics Supergravity Superstring theory Super vector space Supergeometry
Supermathematics	Superalgebra Lie superalgebra Super-Poincaré algebra Superconformal algebra Supersymmetry algebra Supergroup Superspace Harmonic superspace Super Minkowski space Supermanifold
Concepts	Supercharge R-symmetry Supermultiplet Short supermultiplet BPS state Superpotential D-term FI D-term F-term Moduli space Supersymmetry breaking Konishi anomaly Seiberg duality Seiberg–Witten theory Witten index Wess–Zumino gauge Localization Mu problem Little hierarchy problem Electric–magnetic duality
Theorems	Coleman–Mandula Haag–Łopuszański–Sohnius Nonrenormalization
Field theories	Wess–Zumino N = 1 super Yang–Mills 4D N = 1 N = 4 super Yang–Mills Super QCD MSSM NMSSM 6D (2,0) superconformal ABJM superconformal
Supergravity	Pure 4D N = 1 supergravity 4D N = 1 supergravity N = 8 supergravity Higher dimensional 11D supergravity Type I supergravity Type IIA supergravity Type IIB supergravity Gauged supergravity
Superpartners	Axino Chargino Gaugino Goldstino Graviphoton Graviscalar Higgsino LSP Neutralino R-hadron Sfermion Sgoldstino Stop squark Superghost
Researchers	Affleck Bagger Batchelor Berezin Dine Fayet Gates Golfand Iliopoulos Montonen Olive Salam Seiberg Siegel Roček Rogers Wess Witten Zumino