N = 1 суперсимметричная теория Янга – Миллса

В теоретической физике , точнее в квантовой теории поля и суперсимметрии , суперсимметричная теория Янга-Миллса , также известная как супер Янга-Миллса и сокращенно SYM , представляет собой суперсимметричное обобщение теории Янга-Миллса , которая представляет собой калибровочную теорию , играющую важную роль. в математической формулировке сил в физике элементарных частиц. Это частный случай 4D глобальной суперсимметрии N = 1 .

Супер Янга – Миллса изучали Юлиус Весс и Бруно Зумино , в которых они продемонстрировали сверхкалибровочную инвариантность теории и записали ее действие: наряду с действием модели Весса – Зумино , еще одной ранней суперсимметричной теории поля.

Рассмотрение в этой статье во многом повторяет изложение лекций Фигероа-О'Фаррилла по суперсимметрии. и Тонга .

Хотя суперсимметричная теория Янга–Миллса с N = 4 также является суперсимметричной теорией Янга–Миллса, она имеет совсем другие свойства, чем теория Янга–Миллса. ${\mathcal {N}}=1$ суперсимметричная теория Янга – Миллса, теория, обсуждаемая в этой статье. ${\mathcal {N}}=2$ Суперсимметричная теория Янга–Миллса изучалась Зайбергом и Виттеном в теории Зайберга–Виттена . Все три теории основаны на $d=4$ суперпространства Минковского .

Суперсимметричное действие Янга – Миллса.

Предварительная обработка

Первое рассмотрение можно провести без определения суперпространства , а вместо этого определить теорию в терминах знакомых полей несуперсимметричной квантовой теории поля.

Содержание пространства-времени и материи

Базовое пространство-время — плоское пространство-время ( пространство Минковского ).

SYM — это калибровочная теория, и существует связанная с ней калибровочная группа. $G$ к теории. Калибровочная группа имеет ассоциированную алгебру Ли ${\mathfrak {g}}$.

Содержимое поля тогда состоит из

• а ${\mathfrak {g}}$-значное калибровочное поле $A_{\mu }$
• а ${\mathfrak {g}}$-значное спинорное поле Майорана $\Psi$ (спинор с присоединенными значениями), известный как «гаудино»
• а ${\mathfrak {g}}$-значное вспомогательное скалярное поле $D$.

В случае калибровочной инвариантности калибровочное поле $A_{\mu }$ обязательно безмассовый. Это означает, что его суперпартнер $\Psi$ также безмассовый, если соблюдать суперсимметрию. Поэтому $\Psi$ можно записать через два спинора Вейля, сопряженных друг другу: $\Psi =(\lambda ,{\bar {\lambda }})$, и теорию можно сформулировать в терминах спинорного поля Вейля $\lambda$ вместо $\Psi$.

Суперсимметричная чистая электромагнитная теория

Когда $G=U(1)$, концептуальные трудности несколько упрощаются, и это в некотором смысле простейшая калибровочная теория. Содержимое поля представляет собой просто (ко)векторное поле. $A_{\mu }$, к спинору Майораны $\Phi$ и вспомогательное вещественное скалярное поле $D$.

Тензор напряженности поля определяется как обычно как $F_{\mu \nu }:=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$.

Лагранжиан, записанный Вессом и Зумино. тогда

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-{\frac {i}{2}}{\bar {\Psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\Psi +{\frac {1}{2}}D^{2}.$

Это можно обобщить включить константу связи $e$и тэта-термин $\propto \vartheta F_{\mu \nu }*F^{\mu \nu }$, где $*F^{\mu \nu }$ - тензор двойной напряженности поля

$*F^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }.$

и $\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$ — знакопеременный тензор или полностью антисимметричный тензор. Если мы также заменим поле $\Psi$ со спинором Вейля $\lambda$, то суперсимметричное действие можно записать как

Суперсимметричная теория Максвелла (предварительная форма)

$S_{\text{SMaxwell}}=\int d^{4}x\left[-{\frac {1}{4e^{2}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {\vartheta }{32\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }*F^{\mu \nu }-{\frac {i}{e^{2}}}\lambda \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\bar {\lambda }}+{\frac {1}{2e^{2}}}D^{2}\right]$

Это можно рассматривать как суперсимметричное обобщение чистого $U(1)$ Калибровочная теория, также известная как теория Максвелла или чистая электромагнитная теория.

Суперсимметричная теория Янга – Миллса (предварительное рассмотрение)

В полной общности мы должны определить тензор напряженности глюонного поля ,

$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }-i[A_{\mu },A_{\nu }]$

и ковариантная производная присоединенного спинора Вейля: $D_{\mu }\lambda =\partial _{\mu }\lambda -i[A_{\mu },\lambda ].$

Чтобы записать действие, потребуется инвариантный внутренний продукт на ${\mathfrak {g}}$ необходима: Форма Убийства $B(\cdot ,\cdot )$ является таким внутренним продуктом, и в типичном злоупотреблении обозначениями мы пишем $B$ просто как ${\text{Tr}}$, что наводит на мысль о том, что инвариантный скалярный продукт возникает как след в представлении некотором ${\mathfrak {g}}$.

Суперсимметричная теория Янга-Миллса затем легко обобщает суперсимметричную теорию Максвелла. Простая версия

$S_{\text{SYM}}=\int d^{4}x{\text{Tr}}\left[-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}{\bar {\Psi }}\gamma ^{\mu }D_{\mu }\Psi \right]$

в то время как более общая версия дается

Суперсимметричная теория Янга – Миллса (предварительная форма)

$S_{\text{SYM}}=\int d^{4}x{\text{Tr}}\left[-{\frac {1}{2g^{2}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {\vartheta }{16\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }*F^{\mu \nu }-{\frac {2i}{g^{2}}}\lambda \sigma ^{\mu }D_{\mu }{\bar {\lambda }}+{\frac {1}{g^{2}}}D^{2}\right]$

Суперкосмическое лечение

Суперпространство и суперполе контента

Базовое суперпространство – это ${\mathcal {N}}=1$ Супер пространство Минковского .

Теория определяется в терминах одного вещественного суперполя с присоединенными значениями. $V$, фиксированное в калибровке Весса – Зумино .

Суперсимметричная теория Максвелла в суперпространстве

Теория определяется в терминах суперполя, возникающего в результате взятия ковариантных производных от $V$:

$W_{\alpha }=-{\frac {1}{4}}{\mathcal {{\bar {D}}^{2}}}{\mathcal {D}}_{\alpha }V$.

Затем записывается суперсимметричное действие с комплексной константой связи $\tau ={\frac {\vartheta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{e}}$, как

Суперсимметричная теория Максвелла (суперпространственная форма)

$S_{\text{SMaxwell}}=-\int d^{4}x\left[\int d^{2}\theta {\frac {i\tau }{16\pi }}W^{\alpha }W_{\alpha }+{\text{h.c.}}\right]$

где hc указывает на эрмитово сопряжение предыдущего члена.

Суперсимметричный Ян – Миллс о суперпространстве

Для неабелевой калибровочной теории вместо этого определите

$W_{\alpha }=-{\frac {1}{8}}{\bar {\mathcal {D}}}^{2}(e^{-2V}{\mathcal {D}}_{\alpha }e^{2V})$

и $\tau ={\frac {\vartheta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g}}$. Тогда действие

Суперсимметричная теория Янга – Миллса (суперпространственная форма)

$S_{\text{SYM}}=-\int d^{4}x{\text{Tr}}\left[\int d^{2}\theta {\frac {i\tau }{8\pi }}W^{\alpha }W_{\alpha }+{\text{h.c.}}\right]$

Симметрии действия

Суперсимметрия

Для упрощенного действия Янга – Миллса в пространстве Минковского (не в суперпространстве) преобразования суперсимметрии имеют вид

$\delta _{\epsilon }A_{\mu }={\bar {\epsilon }}\gamma _{\mu }\Psi$

$\delta _{\epsilon }\Psi =-{\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\gamma ^{\mu \nu }\epsilon$

где $\gamma ^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })$.

Для действия Янга–Миллса в суперпространстве, поскольку $W_{\alpha }$ кирально, то и поля, построенные из $W_{\alpha }$. Затем интегрируя более половины суперпространства, $\int d^{2}\theta$, дает суперсимметричное действие.

Важным наблюдением является то, что калибровка Весса–Зумино не является суперсимметричной калибровкой, т. е. не сохраняется суперсимметрией. Однако можно выполнить компенсирующее калибровочное преобразование, чтобы вернуться к калибровке Весса – Зумино. Тогда после преобразования суперсимметрии и компенсирующего калибровочного преобразования суперполя преобразуются как

$\delta A_{\mu }=\epsilon \sigma _{\mu }{\bar {\lambda }}+\lambda \sigma _{\mu }{\bar {\epsilon }},$

$\delta \lambda =\epsilon D+(\sigma ^{\mu \nu }\epsilon )F_{\mu \nu }$

$\delta D=i\epsilon \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\bar {\lambda }}-i\partial _{\mu }\lambda {\bar {\sigma }}^{\mu }{\bar {\epsilon }}.$

Калибровочная симметрия

Смотрите также: суперсимметричная калибровочная теория

Предварительная теория, определенная в пространстве-времени, явно является калибровочно-инвариантной, поскольку она построена на терминах, изучаемых в несуперсимметричной калибровочной теории, которые являются калибровочно-инвариантными.

Формулировка суперполя требует теории обобщенных калибровочных преобразований. (Не суперкалибровочные преобразования, которые были бы преобразованиями в теории с локальной суперсимметрией).

Обобщенные абелевы калибровочные преобразования

Такое преобразование параметризуется киральным суперполем $\Omega$, при котором реальное суперполе преобразуется как

$V\mapsto V+i(\Omega -\Omega ^{\dagger }).$

В частности, при расширении $V$ и $\Omega$ соответствующим образом на составляющие суперполя, то $V$ содержит векторное суперполе $A_{\mu }$ пока $\Omega$ содержит скалярное суперполе $\omega$, такой, что

$A_{\mu }\mapsto A_{\mu }-2\partial _{\mu }({\text{Re}}\,\omega )=:A_{\mu }+\partial _{\mu }\alpha .$

Киральное суперполе, используемое для определения действия,

$W_{\alpha }=-{\frac {1}{4}}{\bar {\mathcal {D}}}^{2}{\mathcal {D}}_{\alpha }V,$

является калибровочным инвариантом.

Обобщенные неабелевы калибровочные преобразования

Киральное суперполе является сопряженным. Преобразование $V$ предписано

$e^{2V}\mapsto e^{-2i\Omega ^{\dagger }}e^{2V}e^{2i\Omega }$,

из которого преобразование для $V$ может быть получена с использованием формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа .

Киральное суперполе $W_{\alpha }=-{\frac {1}{8}}{\bar {\mathcal {D}}}^{2}(e^{-2V}{\mathcal {D}}_{\alpha }e^{2V})$ не инвариантен, но преобразуется путем сопряжения:

$W_{\alpha }\mapsto e^{2i\Omega }W_{\alpha }e^{-2i\Omega }$,

так что при прослеживании действие оказывается калибровочно-инвариантным.

Дополнительные классические симметрии

Суперконформная симметрия

Как классическая теория, суперсимметричная теория Янга – Миллса допускает больший набор симметрий, описываемых на уровне алгебры суперконформной алгеброй . Подобно тому, как супералгебра Пуанкаре является суперсимметричным расширением алгебры Пуанкаре , суперконформная алгебра является суперсимметричным расширением конформной алгебры , которое также содержит спинорный генератор конформной суперсимметрии. $S_{\alpha }$.

Конформная инвариантность в квантовой теории нарушается следовыми и конформными аномалиями.

В то время как квант ${\mathcal {N}}=1$ Суперсимметричная теория Янга – Миллса не обладает суперконформной симметрией, а квантовая суперсимметричная теория Янга – Миллса с N = 4 имеет.

R-симметрия

The ${\text{U}}(1)$ R-симметрия для ${\mathcal {N}}=1$ Суперсимметрия — это симметрия классической теории, но не квантовой теории из-за аномалии.

Добавление материи

См. Также: Супер QCD

абелева калибровка

Материя может быть добавлена ​​в виде суперполей модельного типа Весса – Зумино. $\Phi$. При калибровочном преобразовании

$\Phi \mapsto \exp(-2iq\Omega )\Phi$,

и вместо использования просто $\Phi ^{\dagger }\Phi$ как лагранжиан, как и в модели Весса–Зумино, для калибровочной инвариантности его необходимо заменить на $\Phi ^{\dagger }e^{2qV}\Phi .$

Это дает суперсимметричный аналог КЭД. Действие можно записать

$S_{\text{SMaxwell}}+\int d^{4}x\,\int d^{4}\theta \,\Phi ^{\dagger }e^{2qV}\Phi .$

Для $N_{f}$ вкусы, вместо этого у нас есть $N_{f}$ суперполя $\Phi _{i}$, и действие можно записать

$S_{\text{SMaxwell}}+\int d^{4}x\,\int d^{4}\theta \,\Phi _{i}^{\dagger }e^{2q_{i}V}\Phi _{i}.$

с неявным суммированием.

Однако для четко определенной квантовой теории теория, подобная определенной выше, страдает калибровочной аномалией . Мы обязаны добавить партнера ${\tilde {\Phi }}$ каждому киральному суперполю $\Phi$ (в отличие от идеи суперпартнеров и сопряженных суперполей), имеющего противоположный заряд. Это дает действие

$S_{\text{SQED}}=S_{\text{SMaxwell}}+\int d^{4}x\,\int d^{4}\theta \,\Phi _{i}^{\dagger }e^{2q_{i}V}\Phi _{i}+{\tilde {\Phi }}_{i}^{\dagger }e^{-2q_{i}V}{\tilde {\Phi }}_{i}.$

Неабелева калибровка

Для неабелевой калибровки материальные киральные суперполя $\Phi$ теперь оцениваются в представлении $R$ калибровочной группы: $\Phi \mapsto \exp(-2i\Omega )\Phi$.

Кинетический член Весса – Зумино должен быть скорректирован так, чтобы $\Phi ^{\dagger }e^{2V}\Phi$.

Тогда простым действием SQCD было бы предпринять $R$ чтобы быть фундаментальным представлением, и добавьте термин Весса – Зумино:

$S_{\text{SYM}}+\int d^{4}x\,d^{4}\theta \,\Phi ^{\dagger }e^{2V}\Phi$.

приведены более общие и подробные формы действия суперКХД В этой статье .

Термин Файе – Илиопулоса

См. Также: D-терм Файе – Илиопулоса

Когда центр алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ нетривиально, существует дополнительный член, который можно добавить к действию, известному как член Файе – Илиопулоса.