Скалярная электродинамика

В теоретической физике скалярная электродинамика — это теория калибровочного поля U(1) , связанного с заряженным скалярным полем со спином 0 , которое заменяет фермионы Дирака в «обычной» квантовой электродинамике . Скалярное поле заряжено и при соответствующем потенциале способно нарушить калибровочную симметрию посредством абелева механизма Хиггса .

Содержание материи и лагранжиан

Содержание вопроса

Модель состоит из комплексного скалярного поля $\phi (x)$ минимально связан с калибровочным полем $A_{\mu }(x)$ .

В этой статье обсуждается теория плоского пространства-времени. $\mathbb {R} ^{1,3}$ ( пространство Минковского ), поэтому эти поля можно рассматривать (наивно) как функции $\phi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C}$ , и $A_{\mu }:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow (\mathbb {R} ^{1,3})^{*}$ . Теорию также можно определить для искривленного пространства-времени, но эти определения необходимо заменить более тонкими. Калибровочное поле также известно как главная связь , в частности, главная связь. ${\text{U}}(1)$ связь.

лагранжиан

Динамика задается лагранжианской плотностью

${\begin{array}{lcl}{\mathcal {L}}&=&(D_{\mu }\phi )^{*}D^{\mu }\phi -V(\phi ^{*}\phi )-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\\&=&(\partial _{\mu }\phi )^{*}(\partial ^{\mu }\phi )-ie((\partial _{\mu }\phi )^{*}\phi -\phi ^{*}(\partial _{\mu }\phi ))A^{\mu }+e^{2}A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi -V(\phi ^{*}\phi )-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\end{array}}$

где

$F_{\mu \nu }=(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })$ — напряженность электромагнитного поля или кривизна соединения.
$D_{\mu }\phi =(\partial _{\mu }\phi -ieA_{\mu }\phi )$ – ковариантная производная поля $\phi$
$e=-|e|<0$ электрический заряд
$V(\phi ^{*}\phi )$ – потенциал комплексного скалярного поля.

Калибровочная инвариантность

Эта модель инвариантна относительно калибровочных преобразований, параметризованных $\lambda (x)$ . Это вещественная функция $\lambda :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {R} .$

$\phi '(x)=e^{ie\lambda (x)}\phi (x)\quad {\textrm {and}}\quad A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }\lambda (x).$

Дифференциально-геометрический вид

С геометрической точки зрения, $\lambda$ - бесконечно малое изменение тривиализации, которое порождает конечное изменение тривиализации $e^{ie\lambda }:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{U}}(1).$ В физике принято работать с неявным выбором тривиализации, поэтому калибровочное преобразование действительно можно рассматривать как изменение тривиализации.

Механизм Хиггса

Если потенциал таков, что его минимум возникает при ненулевом значении $|\phi |$ Эта модель демонстрирует механизм Хиггса . В этом можно убедиться, изучая флуктуации конфигурации с наименьшей энергией: видно, что калибровочное поле ведет себя как массивное поле с массой, пропорциональной $e$ раз меньше минимального значения $|\phi |$ . Как показали в 1973 году Нильсен и Олесен, эта модель, в $2+1$ размеров, допускает не зависящие от времени конфигурации с конечной энергией, соответствующие вихрям, несущим магнитный поток. Магнитный поток, переносимый этими вихрями, квантован (в единицах ${\tfrac {2\pi }{e}}$ ) и проявляется как топологический заряд, связанный с топологическим током

$J_{top}^{\mu }=\epsilon ^{\mu \nu \rho }F_{\nu \rho }\ .$

Эти вихри аналогичны вихрям, возникающим в сверхпроводниках II рода. Эту аналогию использовали Нильсен и Олесен при получении своих решений.

Пример

Простой выбор потенциала для демонстрации механизма Хиггса:

V(|\phi |^{2})=\lambda (|\phi |^{2}-\Phi ^{2})^{2}.

Потенциал сведен к минимуму $|\phi |=\Phi$ , которое выбрано больше нуля. Это создает круг минимумов со значениями $\Phi e^{i\theta }$ , для $\theta$ реальное число.

Скалярная хромодинамика

Эту теорию можно обобщить из теории с $U(1)$ калибровочная симметрия, содержащая скалярное поле $\phi$ ценится в $\mathbb {C}$ связанный с калибровочным полем $A_{\mu }$ к теории с калибровочной симметрией относительно калибровочной группы $G$ , группа Лия .

Скалярное поле $\phi$ оценивается в пространстве представления калибровочной группы $G$ , делая его вектором ; метка «скалярного» поля относится только к преобразованию $\phi$ под действием группы Лоренца , поэтому его до сих пор называют скалярным полем в смысле скаляра Лоренца . Калибровочное поле – это ${\mathfrak {g}}$ -значная 1-форма, где ${\mathfrak {g}}$ является алгеброй Ли группы G.

Ссылки

Х.Б. Нильсен и П. Олесен (1973). «Модели вихревых линий для двойных струн». Ядерная физика Б . 61 : 45–61. Бибкод : 1973НуФБ..61...45Н . дои : 10.1016/0550-3213(73)90350-7 .

Пескин М. и Шредер Д.; Введение в квантовую теорию поля (Westview Press, 1995) ISBN 0-201-50397-2