Модель Весса – Зумино

Не путать с моделью Весса – Зумино – Виттена .

В теоретической физике модель Весса-Зумино стала первым известным примером взаимодействующей четырёхмерной квантовой теории поля с линейно реализуемой суперсимметрией . В 1974 году Юлиус Весс и Бруно Зумино изучили, используя современную терминологию, динамику одного кирального суперполя (состоящего из комплексного скаляра и спинорного фермиона ), кубический суперпотенциал которого приводит к перенормируемой теории. Это частный случай 4D глобальной суперсимметрии N = 1 .

Изложение в этой статье во многом повторяет изложение лекций Фигероа-О'Фаррилла по суперсимметрии. и в некоторой степени Тонга.

Эта модель является важной моделью в суперсимметричной квантовой теории поля. Возможно, это простейшая суперсимметричная теория поля в четырех измерениях, и она не имеет калибровки.

Действие Весса-Зумино

Предварительная обработка

Содержание пространства-времени и материи

На предварительном рассмотрении теория определяется на плоском пространстве-времени ( пространстве Минковского ). В этой статье метрика имеет в основном плюсовую сигнатуру. Содержание материи представляет собой реальное скалярное поле $S$, реальное псевдоскалярное поле $P$и настоящее ( Майорановское ) спинорное поле $\psi$.

Это предварительное рассмотрение в том смысле, что теория написана в терминах знакомых скалярных и спинорных полей, которые являются функциями пространства-времени, без развития теории суперпространства или суперполей , которые появляются далее в статье.

Свободная, безмассовая теория

Лагранжиан свободной безмассовой модели Весса – Зумино равен

${\mathcal {L}}_{\text{kin}}=-{\frac {1}{2}}(\partial S)^{2}-{\frac {1}{2}}(\partial P)^{2}-{\frac {1}{2}}{\bar {\psi }}\partial \!\!\!/\psi ,$

где

• $\partial \!\!\!/=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$
• ${\bar {\psi }}=\psi ^{t}C=\psi ^{\dagger }i\gamma ^{0}.$

Соответствующее действие

$I_{\text{kin}}=\int d^{4}x{\mathcal {L}}_{\text{kin}}$.

Массивная теория

Суперсимметрия сохраняется при добавлении массового члена вида

${\mathcal {L}}_{\text{m}}=-{\frac {1}{2}}m^{2}S^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}P^{2}-{\frac {1}{2}}m{\bar {\psi }}\psi$

Взаимодействующая теория

Суперсимметрия сохраняется при добавлении члена взаимодействия с константой связи $\lambda$:

${\mathcal {L}}_{\text{int}}=-\lambda \left({\bar {\psi }}(S-P\gamma _{5})\psi +{\frac {1}{2}}\lambda (S^{2}+P^{2})^{2}+mS(S^{2}+P^{2})\right).$

Полное действие Весса – Зумино тогда определяется сложением этих лагранжианов:

Действие Весса-Зумино (предварительная обработка)

$I_{\text{WZ}}=\int d^{4}x\ ({\mathcal {L}}_{\text{kin}}+{\mathcal {L}}_{\text{m}}+{\mathcal {L}}_{\text{int}})$

Альтернативное выражение

Существует альтернативный способ организации полей. Настоящие поля $S$ и $P$ объединяются в одно комплексное скалярное поле $\phi :={\frac {1}{2}}(S+iP),$ а спинор Майорана записывается через два спинора Вейля: $\psi =(\chi ^{\alpha },{\bar {\chi }}_{\dot {\alpha }})$. Определение суперпотенциала

$W(\phi ):={\frac {1}{2}}m\phi ^{2}+{\frac {1}{3}}\lambda \phi ^{3},$

также можно записать действие Весса – Зумино (возможно, после переименования некоторых постоянных факторов)

Действие Весса-Зумино (предварительная обработка, альтернативное выражение)

$I_{\text{WZ}}=\int d^{4}x\left[\partial _{\mu }\phi ^{\dagger }\partial ^{\mu }\phi -i\chi \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\bar {\chi }}-\left|{\frac {\partial W}{\partial \phi }}\right|^{2}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}W}{\partial \phi ^{2}}}\chi \chi -{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}W^{\dagger }}{\partial \phi ^{\dagger 2}}}{\bar {\chi }}{\bar {\chi }}\right]$

При замене в $W(\phi )$, обнаруживается, что это теория с массивным комплексным скаляром $\phi$ и массивный майорановский спинор $\psi$ той же массы. Взаимодействия кубические и четвертичные. $\phi$ взаимодействие и взаимодействие Юкавы между $\phi$ и $\psi$, которые представляют собой знакомые взаимодействия из курсов несуперсимметричной квантовой теории поля.

Использование суперпространства и суперполей

Суперпространство и суперполе контента

Суперпространство состоит из прямой суммы пространства Минковского со «спиновым пространством», четырехмерного пространства с координатами. $(\theta _{\alpha },{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }})$, где $\alpha ,{\dot {\alpha }}$ индексы, принимающие значения в $1,2.$ Более формально, суперпространство строится как пространство правых смежных классов группы Лоренца в супергруппе Пуанкаре .

Тот факт, что существует только 4 «спиновых координаты», означает, что это теория с так называемым ${\mathcal {N}}=1$ суперсимметрия, соответствующая алгебре с одним суперзарядом . $8=4+4$ мерное суперпространство иногда пишется $\mathbb {R} ^{1,3|4}$и названо суперпространством Минковского . «Спиновые координаты» называются так не из-за какой-либо связи с угловым моментом, а потому, что они рассматриваются как антикоммутирующие числа , свойство, типичное для спиноров в квантовой теории поля из-за теоремы о статистике спина .

Суперполе $\Phi$ тогда это функция в суперпространстве, $\Phi =\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})$.

Определение суперковариантной производной

${\bar {D}}_{\dot {\alpha }}={\bar {\partial }}_{\dot {\alpha }}-i({\bar {\sigma }}^{\mu })_{{\dot {\alpha }}\beta }\theta ^{\beta }\partial _{\mu },$

киральное суперполе удовлетворяет ${\bar {D}}_{\dot {\alpha }}\Phi =0.$ Содержимое поля тогда представляет собой просто одно киральное суперполе.

Однако киральное суперполе содержит поля в том смысле, что допускает разложение

$\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (y)+\theta \chi (y)+\theta ^{2}F(y)$

с $y^{\mu }=x^{\mu }-i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}.$ Затем $\phi$ может быть идентифицирован как комплексный скаляр, $\chi$ является спинором Вейля и $F$ является вспомогательным комплексным скаляром.

Эти поля допускают дальнейшую перемаркировку, при этом $\phi ={\frac {1}{2}}(S+iP)$ и $\psi ^{a}=(\chi ^{\alpha },{\bar {\chi }}_{\dot {\alpha }}).$ Это позволяет восстановить предварительные формы после устранения нединамических $F$ используя его уравнение движения.

Свободное, безмассовое действие

Если записать в терминах кирального суперполя $\Phi$, действие (для свободной, безмассовой модели Весса–Зумино) принимает простой вид

$\int d^{4}xd^{2}\theta d^{2}{\bar {\theta }}\,\,2{\bar {\Phi }}\Phi$

где $\int d^{2}\theta ,\int d^{2}{\bar {\theta }}$ являются по спинорным размерностям суперпространства интегралами .

Суперпотенциал

Массы и взаимодействия добавляются через суперпотенциал . Суперпотенциал Весса – Зумино равен

$W(\Phi )=m\Phi ^{2}+{\frac {4}{3}}\lambda \Phi ^{3}.$

С $W(\Phi )$ является сложным, чтобы гарантировать, что действие реально, необходимо также добавить его сопряженное. Полное действие Уэсса-Зумино написано.

Действие Весса-Зумино

$I_{\text{WZ}}=\int d^{4}x\left[\int d^{2}\theta d^{2}{\bar {\theta }}\,\,{\bar {\Phi }}\Phi \right]+\left[\int d^{2}\theta W(\Phi )+\int d^{2}{\bar {\theta }}{\bar {W}}({\bar {\Phi }})\right]$

Суперсимметрия действия

Предварительная обработка

Действие инвариантно относительно преобразований суперсимметрии, заданных в бесконечно малой форме формулой

$\delta _{\epsilon }S={\bar {\epsilon }}\psi$

$\delta _{\epsilon }P={\bar {\epsilon }}\gamma _{5}\psi$

$\delta _{\epsilon }\psi =[\partial \!\!\!/-m-\lambda (S+P\gamma _{5})](S+P\gamma _{5})\epsilon$

где $\epsilon$ – параметр спинорнозначного преобразования Майорана и $\gamma _{5}$ — оператор киральности .

Альтернативная форма инвариантна относительно преобразования

$\delta _{\epsilon }\phi ={\sqrt {2}}\epsilon \chi$

$\delta _{\epsilon }\chi ={\sqrt {2}}i\sigma ^{\mu }{\bar {\epsilon }}\partial _{\mu }\phi -{\sqrt {2}}\epsilon {\frac {\partial W^{\dagger }}{\partial \phi ^{\dagger }}}$.

Без разработки теории преобразований суперпространства эти симметрии кажутся случайными.

Суперполевое лечение

Если действие можно записать как $S=\int d^{4}xd^{4}\theta K(x,\theta ,{\bar {\theta }})$ где $K$ является настоящим суперполем, т.е. $K^{\dagger }=K$, то действие инвариантно относительно суперсимметрии.

Тогда реальность $K={\bar {\Phi }}\Phi$ означает, что он инвариантен относительно суперсимметрии.

Дополнительные классические симметрии

Суперконформная симметрия

Безмассовая модель Весса – Зумино допускает больший набор симметрий, описываемых на уровне алгебры суперконформной алгеброй . Помимо генераторов симметрии Пуанкаре и генераторов трансляции суперсимметрии, он содержит конформную алгебру, а также генератор конформной суперсимметрии. $S_{\alpha }$.

Конформная симметрия нарушается на квантовом уровне следовыми и конформными аномалиями, которые нарушают инвариантность относительно конформных генераторов. $D$ для расширения и $K_{\mu }$ для специальных конформных преобразований соответственно.

R-симметрия

The ${\text{U}}(1)$ R- симметрия ${\mathcal {N}}=1$ суперсимметрия имеет место, когда суперпотенциал $W(\Phi )$ является мономом. Это означает либо $W(\phi )={\frac {1}{2}}m\phi ^{2}$, так что суперполе $\Phi$ является массивным, но бесплатным (невзаимодействующим), или $W(\Phi )={\frac {1}{3}}\lambda \phi ^{3}$ таким образом, теория безмассовая, но (возможно) взаимодействующая.

Это нарушается на квантовом уровне аномалиями.

Действие для нескольких киральных суперполей

Действие напрямую обобщается на несколько киральных суперполей. $\Phi ^{i}$ с $i=1,\cdots ,N$. Наиболее общая перенормируемая теория:

$I=\int d^{4}x\,d^{4}\theta \,K_{i{\bar {j}}}\Phi ^{i}\Phi ^{\dagger {\bar {j}}}+\int d^{4}x\left[\int d^{2}\theta \,W(\Phi )+{\text{h.c.}}\right]$

где суперпотенциал

$W(\Phi )=a_{i}\Phi ^{i}+{\frac {1}{2}}m_{ij}\Phi ^{i}\Phi ^{j}+{\frac {1}{3}}\lambda _{ijk}\Phi ^{i}\Phi ^{j}\Phi ^{k}$,

где используется неявное суммирование.

Путем замены координат, при которой $\Phi ^{i}$ трансформируется под ${\text{GL}}(N,\mathbb {C} )$, можно установить $K_{i{\bar {j}}}=\delta _{i{\bar {j}}}$ без потери общности. При таком выборе выражение $K=\delta _{i{\bar {j}}}\Phi ^{i}\Phi ^{\dagger {\bar {j}}}$ известен как канонический потенциал Кэлера . Существует остаточная свобода выполнить унитарное преобразование для диагонализации матрицы масс. $m_{ij}$.

Когда $N=1$Если мультиплет массивен, то фермион Вейля имеет майорановскую массу. Но для $N=2,$ два фермиона Вейля могут иметь массу Дирака, если суперпотенциал принимается равным $W(\Phi ,{\tilde {\Phi }})=m{\tilde {\Phi }}\Phi .$ Эта теория имеет ${\text{U}}(1)$ симметрия, где $\Phi ,{\tilde {\Phi }}$ вращаться с противоположными зарядами

Супер КХД

См. Также: Супер QCD

Для общего $N$, суперпотенциал вида $W(\Phi _{a},{\tilde {\Phi }}_{a})=m{\tilde {\Phi }}_{a}\Phi _{a}$ имеет ${\text{SU}}(N)$ симметрия, когда $\Phi _{a},{\tilde {\Phi }}_{a}$ вращаются с противоположными зарядами, то есть под $U\in {\text{SU}}(N)$

$\Phi _{a}\mapsto U_{a}{}^{b}\Phi _{b}$

${\tilde {\Phi }}_{a}\mapsto (U^{-1})_{a}{}^{b}{\tilde {\Phi }}_{b}$.

Эту симметрию можно измерить и соединить с суперсимметричной Янгом-Миллсом, чтобы сформировать суперсимметричный аналог квантовой хромодинамики , известный как супер КХД.

Суперсимметричные сигма-модели

См. также: нелинейная сигма-модель.

Если не настаивать на перенормируемости, то возможны два обобщения. Первый из них — рассмотреть более общие суперпотенциалы. Второе — рассмотреть $K$ в кинетическом плане

$S=\int d^{4}x\,d^{2}\theta ^{2}\,d^{2}{\bar {\theta }}^{2}K(\Phi ,{\bar {\Phi }})$

быть реальной функцией $K=K(\Phi ,{\bar {\Phi }})$ из $\Phi ^{i}$ и ${\bar {\Phi }}^{\bar {j}}$.

Действие инвариантно относительно преобразований $K(\Phi ,\Phi ^{\dagger })+\Lambda (\Phi )+{\bar {\Lambda }}({\bar {\Phi }})$: они известны как преобразования Кэлера.

Рассмотрение этой теории дает пересечение кэлеровой геометрии с суперсимметричной теорией поля.

Расширяя потенциал Кэлера $K(\Phi ,{\bar {\Phi }})$ с точки зрения производных $K$ и составляющие суперполя $\Phi ,{\bar {\Phi }}$, а затем исключив вспомогательные поля $F,{\bar {F}}$ используя уравнения движения, получаем следующее выражение:

$S_{K}=\int d^{4}x\left[g_{i{\bar {j}}}(\partial _{\mu }\phi ^{i}\partial ^{\mu }{\bar {\phi }}^{\bar {j}})+g_{i{\bar {j}}}{\frac {i}{2}}(\nabla _{\mu }\psi ^{i}\sigma ^{\mu }{\bar {\psi }}^{\bar {j}}-\psi ^{i}\sigma ^{\mu }\nabla _{\mu }{\bar {\psi }}^{\bar {j}})+{\frac {1}{4}}R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}(\psi ^{i}\psi ^{k})({\bar {\psi }}^{\bar {j}}{\bar {\psi }}^{\bar {l}})\right]$

где

• $g_{i{\bar {j}}}$ – метрика Кэлера . Он инвариантен относительно преобразований Кэлера. Если кинетический член положительно определен, то $g_{i{\bar {j}}}$ обратима, что позволяет использовать обратную метрику $g^{i{\bar {j}}}$ быть определены.

• Символы Кристоффеля (адаптированные для метрики Кэлера) имеют вид $\Gamma ^{i}{}_{jk}=g^{i{\bar {l}}}\partial _{j}g_{k{\bar {l}}}$ и ${\bar {\Gamma }}^{\bar {i}}{}_{{\bar {j}}{\bar {k}}}=g^{l{\bar {i}}}\partial _{\bar {j}}g_{l{\bar {k}}}.$

• Ковариантные производные $\nabla _{\mu }\psi ^{i}$ и $\nabla _{\mu }{\bar {\psi }}^{\bar {j}}$ определены

$\nabla _{\mu }\psi ^{i}=\partial _{\mu }\psi ^{i}+\Gamma ^{i}{}_{jk}\psi ^{j}\partial _{\mu }\phi ^{k}$

и

$\nabla _{\mu }{\bar {\psi }}^{\bar {i}}=\partial _{\mu }\psi ^{\bar {i}}+{\bar {\Gamma }}^{\bar {i}}{}_{{\bar {j}}{\bar {k}}}{\bar {\psi }}^{\bar {j}}\partial _{\mu }{\bar {\phi }}^{\bar {k}}$

• Тензор кривизны Римана (адаптированный для метрики Кэлера) определяется $R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}=g_{m{\bar {j}}}\partial _{\bar {l}}\Gamma ^{m}{}_{ik}=\partial _{k}\partial _{\bar {l}}g_{i{\bar {j}}}-g^{m{\bar {n}}}(\partial _{k}g_{i{\bar {n}}})(\partial _{\bar {l}}g_{m{\bar {j}}})$.

Добавление суперпотенциала

Суперпотенциал $W(\Phi )$ можно добавить для формирования более общего действия

$S=S_{K}-\int d^{4}x\left[g^{i{\bar {j}}}\partial _{i}W\partial _{\bar {j}}{\bar {W}}+{\frac {1}{4}}\psi ^{i}\psi ^{j}H_{ij}(W)+{\frac {1}{4}}{\bar {\psi }}^{\bar {i}}{\bar {\psi }}^{\bar {j}}H_{{\bar {i}}{\bar {j}}}({\bar {W}})\right]$

где гессенцы ​ $W$ определены

$H_{ij}(W)=\nabla _{i}\partial _{j}W=\partial _{i}\partial _{j}W-\Gamma ^{k}{}_{ij}\partial _{k}W$

${\bar {H}}_{{\bar {i}}{\bar {j}}}({\bar {W}})=\nabla _{\bar {i}}\partial _{\bar {j}}{\bar {W}}=\partial _{\bar {i}}\partial _{\bar {j}}{\bar {W}}-\Gamma ^{\bar {k}}{}_{{\bar {i}}{\bar {j}}}\partial _{\bar {k}}{\bar {W}}$.

См. также

• N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса
• Супермультиплет