Супергруппа (физика)
Понятие супергруппы является обобщением понятия группы . Другими словами, каждая супергруппа имеет естественную групповую структуру, но может существовать более одного способа структурировать данную группу как супергруппу. Супергруппа похожа на группу Ли в том смысле, что на ней существует четко определенное понятие гладкой функции . Однако функции могут иметь четные и нечетные части. Более того, супергруппа имеет супералгебру Ли , которая играет роль, аналогичную роли алгебры Ли для групп Ли, поскольку они определяют большую часть теории представлений и которая является отправной точкой для классификации.
Подробности
[ редактировать ]Более формально, супергруппа Ли — это супермногообразие G вместе с морфизмом умножения , инверсионный морфизм и единичный морфизм что делает G групповым объектом в категории супермногообразий. Это означает, что, сформулированные в виде коммутативных диаграмм, обычные аксиомы ассоциативности и инверсии группы продолжают выполняться. Поскольку каждое многообразие является супермногообразием, супергруппа Ли обобщает понятие группы Ли .
Существует множество возможных супергрупп. Наибольший интерес в теоретической физике представляют те, которые расширяют группу Пуанкаре или конформную группу . Особый интерес представляют ортосимплектические группы Osp( M | N ) [1] и сверхунитарные группы SU( M | N ).
Эквивалентный алгебраический подход начинается с наблюдения, что супермногообразие определяется своим кольцом суперкоммутативных гладких функций и что морфизм супермногообразий соответствует один к одному с алгебраическим гомоморфизмом между их функциями в противоположном направлении, т.е. что категория супермногообразий равна противоположную категории алгебр гладких градуированных коммутативных функций. Перестановка всех стрелок в коммутативных диаграммах, определяющих супергруппу Ли, показывает, что функции над супергруппой имеют структуру Z 2 -градуированной алгебры Хопфа . Аналогично представления этой алгебры Хопфа оказываются Z 2 -градуированными комодулями . Эта алгебра Хопфа дает глобальные свойства супергруппы.
Существует еще одна родственная алгебра Хопфа, двойственная предыдущей алгебре Хопфа. Ее можно отождествить с алгеброй Хопфа градуированных дифференциальных операторов в начале координат. Он дает только локальные свойства симметрии, т. е. дает информацию только о бесконечно малых преобразованиях суперсимметрии. Представлениями этой алгебры Хопфа являются модули . Как и в неградуированном случае, эту алгебру Хопфа можно чисто алгебраически описать как универсальную обертывающую алгебру Ли супералгебры .
Аналогичным образом можно определить аффинную алгебраическую супергруппу как групповой объект в категории супералгебраических аффинных многообразий . Аффинная алгебраическая супергруппа имеет отношение один к одному со своей алгеброй Хопфа суперполиномов. Используя язык схем , сочетающий в себе геометрическую и алгебраическую точку зрения, можно определить схемы алгебраических супергрупп, включая суперабелевы многообразия .
Примеры
[ редактировать ]Группа Супер-Пуанкаре — это группа изометрий суперпространства (в частности, суперпространства Минковского с наддувы, где часто принимается равным 1). Чаще всего он рассматривается на уровне алгебры и порождается алгеброй Супер-Пуанкаре.
Суперконформная группа — это группа конформных симметрий суперпространства, порожденная суперконформной алгеброй.
Примечания
[ редактировать ]- ^ ( M | N ) произносится как « M вертикальная черта N ». Бозонная часть Osp( M | N ) состоит из прямой суммы групп Ли Sp( N ) и SO( M ). см. в суперпространстве Общее определение . (ср. Ларус Торлациус, Тордур Йонссон (ред.), М-теория и квантовая геометрия , Springer, 2012, стр. 263).