Конифолд

В математике и теории струн конифолд является обобщением многообразия . В отличие от многообразий, конифолды могут содержать конические особенности , то есть точки, окрестности которых выглядят как конусы над определенной базой. В физике , в частности в компактификациях потока теории струн , базой обычно является пятимерное вещественное многообразие, поскольку обычно рассматриваемые конифолды представляют собой комплексные трехмерные (действительные шестимерные) пространства.

Обзор

Конифолды — важные объекты в теории струн : Брайан Грин объясняет физику конифолдов в главе 13 своей книги «Элегантная Вселенная» , включая тот факт, что пространство может разрываться возле конуса, а его топология может меняться. Эту возможность впервые заметили Канделас и др. (1988) и использован Грином и Хюбшем (1988) для доказательства того, что конифолды обеспечивают связь между всеми (тогда) известными компактификациями Калаби – Яу в теории струн; это частично подтверждает гипотезу Рида (1987) , согласно которой конифолды соединяют все возможные комплексные трехмерные пространства Калаби – Яу.

Хорошо известный пример конифолда получается как предел деформации квинтики, т. е. гиперповерхности квинтики в проективном пространстве. $\mathbb {CP} ^{4}$. Пространство $\mathbb {CP} ^{4}$ имеет комплексную размерность, равную четырем, и, следовательно, пространство определяется уравнениями пятой степени (пятой степени):

$z_{1}^{5}+z_{2}^{5}+z_{3}^{5}+z_{4}^{5}+z_{5}^{5}-5\psi z_{1}z_{2}z_{3}z_{4}z_{5}=0$

в терминах однородных координат $z_{i}$ на $\mathbb {CP} ^{4}$, для любого фиксированного комплекса $\psi$, имеет комплексную размерность три. Это семейство гиперповерхностей пятой степени является самым известным примером многообразий Калаби – Яу . Если комплексной структуры параметр $\psi$ выбрано равным единице, описанное выше многообразие становится сингулярным, поскольку производные пятой степени многочлена в уравнении обращаются в нуль, когда все координаты $z_{i}$ равны или их отношения представляют собой определенные корни пятой степени из единицы. Окрестность этой особой точки имеет вид конуса , основание которого топологически справедливо.

$S^{2}\times S^{3}$

В контексте теории струн можно показать, что геометрически сингулярные конифолды приводят к совершенно гладкой физике струн. Расхождения «размазываются» D3-бранами , обернутыми сжимающейся трехсферой в теории струн типа IIB , и D2-бранами, обернутыми сжимающейся двухсферой в теории струн типа IIA , как первоначально указывал Стромингер (1995). . Как показали Грин, Моррисон и Стромингер (1995) , это обеспечивает теоретико-струнное описание изменения топологии через переход конусообразного состояния, первоначально описанный Канделасом, Грином и Хюбшем (1990) , которые также изобрели термин «конифолд» и термин «конифолд». диаграмма

для этой цели. Таким образом, показано, что два топологически различных способа сглаживания конифольда включают замену особой вершины (узла) либо 3-сферой (путем деформации сложной структуры), либо 2-сферой (путем «маленького разрешения»). ). Считается, что почти все многообразия Калаби – Яу могут быть соединены посредством этих «критических переходов», что резонирует с гипотезой Рида.

Ссылки

• Канделас, Филип; Дейл, AM; Луткен, Эндрю; Шиммригк, Рольф (1988), «Полное пересечение многообразий Калаби-Яу» , Nuclear Physics B , 298 (3): 493–525, Бибкод : 1988NuPhB.298..493C , doi : 10.1016/0550-3213(88)90352- 5
• Рид, Майлз (1987), «Пространство модулей трехмерных многообразий с K = 0, тем не менее, может быть неприводимым», Mathematische Annalen , 278 (1–4): 329–334, doi : 10.1007/bf01458074 , S2CID   120390363
• Грин, Пол; Хюбш, Тристан (1988), «Соединяющие пространства модулей тройных многообразий Калаби-Яу» , Communications in Mathematical Physics , 119 (3): 431–441, Bibcode : 1988CMaPh.119..431G , doi : 10.1007/BF01218081 , S2CID   11945248 3
• Канделас, Филип; Грин, Пол; Хюбш, Тристан (1990), «Катаясь среди вакуума Калаби-Яу», Nuclear Physics B , 330 (1): 49–102, Бибкод : 1990NuPhB.330...49C , doi : 10.1016/0550-3213(90)90302 -Т
• Строминджер, Эндрю (1995), «Безмассовые черные дыры и конифолды в теории струн», Nuclear Physics B , 451 (1–2): 96–108, arXiv : hep-th/9504090 , Bibcode : 1995NuPhB.451...96S , doi : 10.1016/0550-3213(95)00287-3 , S2CID   6035714
• Грин, Брайан; Моррисон, Дэвид; Строминджер, Эндрю (1995), «Конденсация черной дыры и объединение струнных вакуумов», Nuclear Physics B , 451 (1–2): 109–120, arXiv : hep-th/9504145 , Bibcode : 1995NuPhB.451..109G , doi : 10.1016/0550-3213(95)00371-X , S2CID   11145691

Дальнейшее чтение

• Хюбш, Тристан (1994), Многообразия Калаби – Яу: бестиарий для физиков , Сингапур, Нью-Йорк: World Scientific , ISBN  981-02-1927-Х , OCLC   34989218 , заархивировано из оригинала 13 января 2010 г. , получено 25 февраля 2010 г.
• Гросс, Марк (1997), «Примитивные тройные многообразия Калаби-Яу», Journal of Differential Geometry , 45 (2): 288–318, arXiv : alg-geom/9512002 , Bibcode : 1995alg.geom.12002G , doi : 10.4310/jdg /1214459799 , S2CID   18223199
• Грин, Брайан (1997), «Теория струн на многообразиях Калаби – Яу», arXiv : hep-th/9702155
• Грин, Брайан (2003), Элегантная вселенная , WW Norton & Co., ISBN  0-393-05858-1
• Хюбш, Тристан « Конифолды и (реальная всемирная) паутина » (2009), « Конифолды и (реальная всемирная) паутина » (2022)