S-двойственность

Эта статья посвящена S-дуальности (сильной и слабой двойственности) в физике. Чтобы узнать о математической S-дуальности (двойственности Спаньера – Уайтхеда), см. S-дуальность (гомотопическая теория) .

В теоретической физике S -дуальность (сокращение от сильной-слабой дуальности или дуальности Сена ) — это эквивалент двух физических теорий, которые могут быть либо квантовыми теориями поля , либо теориями струн . S-дуальность полезна для вычислений в теоретической физике, поскольку она связывает теорию, в которой вычисления сложны, с теорией, в которой они проще.

В квантовой теории поля S-дуальность обобщает хорошо установленный факт классической электродинамики , а именно инвариантность уравнений Максвелла при обмене электрическими и магнитными полями . Одним из самых ранних известных примеров S-дуальности в квантовой теории поля является дуальность Монтонена-Оливе , которая связывает две версии квантовой теории поля, называемой N = 4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса . Недавняя работа Антона Капустина и Эдварда Виттена предполагает, что двойственность Монтонена-Оливе тесно связана с исследовательской программой в математике, называемой геометрической программой Ленглендса . Другой реализацией S-дуальности в квантовой теории поля является двойственность Зейберга , которая связывает две версии теории, называемой N = 1 суперсимметричной теорией Янга – Миллса .

В теории струн также есть много примеров S-дуальности. Существование дуальности струн означает, что, казалось бы, разные формулировки теории струн на самом деле физически эквивалентны. В середине 1990-х годов это привело к осознанию того, что все пять непротиворечивых теорий суперструн — это просто разные предельные случаи одной одиннадцатимерной теории, называемой М-теорией .

Обзор

В квантовой теории поля и теории струн константа связи — это число, которое контролирует силу взаимодействий в теории. Например, сила гравитации описывается числом, называемым постоянной Ньютона , которое появляется в законе гравитации Ньютона , а также в уравнениях Альберта Эйнштейна общей теории относительности . Точно так же сила электромагнитной силы описывается константой связи, которая связана с зарядом, переносимым одним протоном .

Для вычисления наблюдаемых величин в квантовой теории поля или теории струн физики обычно применяют методы теории возмущений . В теории возмущений величины, называемые амплитудами вероятности , которые определяют вероятность возникновения различных физических процессов, выражаются как суммы бесконечного числа членов , где каждый член пропорционален степени константы связи. $g$:

$A=A_{0}+A_{1}g+A_{2}g^{2}+A_{3}g^{3}+\dots$.

Чтобы такое выражение имело смысл, константа связи должна быть меньше 1, чтобы высшие степени $g$ становятся пренебрежимо малыми и сумма конечна. Если константа связи не меньше 1, то члены этой суммы будут становиться все больше и больше, и выражение дает бессмысленный бесконечный ответ. В этом случае говорят, что теория сильно связана , и теорию возмущений нельзя использовать для предсказаний.

Для некоторых теорий S-дуальность обеспечивает способ выполнения вычислений при сильной связи путем перевода этих вычислений в другие вычисления в теории со слабой связью. S-дуальность является частным примером общего понятия двойственности в физике. Термин «двойственность» относится к ситуации, когда две, казалось бы, разные физические системы оказываются нетривиальным образом эквивалентными. Если две теории связаны двойственностью, это означает, что одну теорию можно каким-то образом преобразовать так, что она в конечном итоге будет выглядеть точно так же, как другая теория. Тогда говорят, что две теории двойственны друг другу при трансформации. Иными словами, две теории представляют собой математически разные описания одних и тех же явлений.

S-дуальность полезна, потому что она связывает теорию с константой связи $g$ к эквивалентной теории с константой связи $1/g$. Таким образом, это относится к теории сильной связи (где константа связи $g$ намного больше 1) к теории со слабой связью (где константа связи $1/g$ намного меньше 1 и вычисления возможны). По этой причине S-дуальность называется сильной-слабой двойственностью .

В квантовой теории поля

Симметрия

В классической физике поведение электрического и магнитного поля описывается системой уравнений, известных как уравнения Максвелла . Работая на языке векторного исчисления и предполагая, что электрические заряды и токи отсутствуют, эти уравнения можно записать

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0,\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}$

Здесь $\mathbf {E}$ - это вектор (или, точнее, векторное поле , величина и направление которого могут меняться от точки к точке пространства), представляющий электрическое поле, $\mathbf {B}$ вектор, представляющий магнитное поле, $t$ это время, и $c$ это скорость света . Другие символы в этих уравнениях относятся к дивергенции и ротору , которые являются понятиями векторного исчисления.

Важное свойство этих уравнений – их инвариантность относительно преобразования, одновременно заменяющего электрическое поле $\mathbf {E}$ магнитным полем $\mathbf {B}$ и заменяет $\mathbf {B}$ к $-1/c^{2}\mathbf {E}$:

${\begin{aligned}\mathbf {E} &\rightarrow \mathbf {B} \\\mathbf {B} &\rightarrow -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} .\end{aligned}}$

Другими словами, имея пару электрического и магнитного полей, которые решают уравнения Максвелла, можно описать новую физическую установку, в которой эти электрические и магнитные поля по существу меняются местами, и новые поля снова дадут решение уравнений Максвелла. Эта ситуация является наиболее основным проявлением S-дуальности в теории поля.

Двойственность Монтонена-Оливы

Основная статья: Двойственность Монтонена – Оливы

В квантовой теории поля электрические и магнитные поля объединены в единое целое, называемое электромагнитным полем , и это поле описывается особым типом квантовой теории поля, называемым калибровочной теорией или теорией Янга-Миллса . В калибровочной теории физические поля обладают высокой степенью симметрии , которую можно понять математически, используя понятие группы Ли . Эта группа Ли известна как калибровочная группа . Электромагнитное поле описывается очень простой калибровочной теорией, соответствующей абелевой калибровочной группе U(1) , но существуют и другие калибровочные теории с более сложными неабелевыми калибровочными группами .

Естественно задаться вопросом, существует ли в калибровочной теории аналог симметрии, меняющей местами электрические и магнитные поля в уравнениях Максвелла. Ответ дали в конце 1970-х годов Клаус Монтонен и Дэвид Олив . основываясь на более ранних работах Питера Годдарда , Джин Нюйтс и Олив. Их работа представляет собой пример S-дуальности, теперь известной как дуальность Монтонена-Оливе . Двойственность Монтонена-Оливе применима к особому типу калибровочной теории, называемому N = 4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса , и говорит, что две такие теории могут быть эквивалентны в определенном точном смысле. Если одна из теорий имеет калибровочную группу $G$, то дуальная теория имеет калибровочную группу ${^{L}}G$ где ${^{L}}G$ обозначает двойственную группу Ленглендса , которая, вообще говоря, отличается от $G$.

Важной величиной в квантовой теории поля является комплексифицированная константа связи. Это комплексное число, определяемое формулой

$\tau ={\frac {\theta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}$

где $\theta$ — это угол тета , величина, входящая в лагранжиан , определяющая теорию, и $g$ – константа связи. Например, в теории Янга–Миллса, описывающей электромагнитное поле, это число $g$ это просто элементарный заряд $e$ переносимый одним протоном. Помимо замены калибровочных групп двух теорий, двойственность Монтонена – Оливе преобразует теорию с комплексифицированной константой связи $\tau$ к теории с комплексифицированной константой $-1/\tau$.

программой

Геометрическое соответствие Ленглендса — это связь между абстрактными геометрическими объектами, связанными с алгебраической кривой, такой как эллиптические кривые, показанные выше.

Основная статья: Программа Ленглендса

В математике классическое соответствие Ленглендса представляет собой совокупность результатов и гипотез, относящих теорию чисел к разделу математики, известному как теория представлений . Сформулированное Робертом Ленглендсом в конце 1960-х годов соответствие Ленглендса связано с важными гипотезами в теории чисел, такими как гипотеза Таниямы-Шимуры , которая включает Великую теорему Ферма в качестве частного случая.

Несмотря на его важность в теории чисел, установление соответствия Ленглендса в контексте теории чисел оказалось чрезвычайно трудным. В результате некоторые математики работали над связанной с этим гипотезой, известной как геометрическое соответствие Ленглендса . Это геометрическая переформулировка классического соответствия Ленглендса, полученная путем замены числовых полей, появляющихся в исходной версии, функциональными полями и применения методов алгебраической геометрии .

В статье 2007 года Антон Капустин и Эдвард Виттен предположили, что геометрическое соответствие Ленглендса можно рассматривать как математическое утверждение двойственности Монтонена-Оливе. Начав с двух теорий Янга-Миллса, связанных S-дуальностью, Капустин и Виттен показали, что можно построить пару квантовых теорий поля в двумерном пространстве-времени . Анализируя, что такое уменьшение размеров делает с некоторыми физическими объектами, называемыми D-бранами , они показали, что можно восстановить математические составляющие геометрического соответствия Ленглендса. Их работа показывает, что соответствие Ленглендса тесно связано с S-дуальностью в квантовой теории поля и может применяться в обоих предметах.

Двойственность Зайберга

Основная статья: двойственность Зайберга

Другая реализация S-дуальности в квантовой теории поля — это двойственность Зайберга , впервые представленная Натаном Зайбергом примерно в 1995 году. В отличие от двойственности Монтонена-Оливе, которая связывает две версии максимально суперсимметричной калибровочной теории в четырехмерном пространстве-времени, двойственность Зайберга связывает менее симметричные теории, называемые N = 1 суперсимметричными калибровочными теориями . Две теории N=1, возникающие в дуальности Зайберга, не идентичны, но они приводят к одной и той же физике на больших расстояниях. Как и дуальность Монтонена-Оливе, дуальность Зайберга обобщает симметрию уравнений Максвелла, которые меняют местами электрические и магнитные поля.

В теории струн

Диаграмма дуальностей теории струн. Синие края указывают на S-двойственность. Красные края обозначают Т-двойственность .

Вплоть до середины 1990-х годов физики, работавшие над теорией струн , считали, что существует пять различных версий теории: тип I , тип IIA , тип IIB и две разновидности струн гетеротической теории ( SO(32) E8 × _и E8 ₎ . . Различные теории допускают существование разных типов струн, а частицы, возникающие при низких энергиях, обладают разной симметрией.

В середине 1990-х годов физики заметили, что эти пять теорий струн на самом деле связаны весьма нетривиальной двойственностью. Одной из таких дуальностей является S-дуальность. Существование S-дуальности в теории струн было впервые предложено Ашоком Сеном в 1994 году. Было показано, что теория струн типа IIB с константой связи $g$ через S-двойственность эквивалентна той же теории струн с константой связи $1/g$. Аналогично, теория струн типа I со связью $g$ эквивалентна гетеротической теории струн SO(32) с константой связи $1/g$.

Существование этих дуальностей показало, что не все пять теорий струн на самом деле были отдельными теориями. В 1995 году на конференции по теории струн в Университете Южной Калифорнии Эдвард Виттен сделал удивительное предположение, что все пять этих теорий представляют собой просто разные пределы одной теории, ныне известной как М-теория . Предложение Виттена было основано на наблюдении, что гетеротические теории струн типа IIA и E ₈ × E ₈ тесно связаны с гравитационной теорией, называемой одиннадцатимерной супергравитацией . Его заявление привело к шквалу работ, ныне известному как вторая суперструнная революция .

См. также

• Двойственность Монтонена – Оливы
• Вихрь Нильсена – Олесена
• Двойная гравитация
• Т-двойственность
• Зеркальная симметрия
• Переписка AdS/CFT

Ссылки

• Аспинуолл, Пол; Бриджленд, Том; Кроу, Аластер; Дуглас, Майкл; Гросс, Марк; Капустин Антон; Мур, Грегори; Сигал, Грэм; Сзендрой, Балаж; Уилсон, PMH, ред. (2009). Браны Дирихле и зеркальная симметрия . Монографии Клэя по математике . Том. 4. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3848-8 .
• Френкель, Эдвард (2007). «Лекции по программе Ленглендса и конформной теории поля». Границы теории чисел, физики и геометрии II . Спрингер: 387–533. arXiv : hep-th/0512172 . Бибкод : 2005hep.th...12172F . дои : 10.1007/978-3-540-30308-4_11 . ISBN  978-3-540-30307-7 . S2CID   119611071 .
• Френкель, Эдвард (2009). «Калибровочная теория и двойственность Ленглендса» (PDF) . Семинар Бурбаки . arXiv : 0906.2747 . МР   2648685 . Збл   1209.22009 .
• Годдард, Питер; Нуйц, Жан; Олив, Дэвид (1977). «Калибровочные теории и магнитный заряд» (PDF) . Ядерная физика Б . 125 (1): 1–28. Бибкод : 1977НуФБ.125....1Г . дои : 10.1016/0550-3213(77)90221-8 .
• Гриффитс, Дэвид (1999). Введение в электродинамику . Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN  9780138053260 .
• Капустин Антон; Виттен, Эдвард (2007). «Электро-магнитный дуализм и геометрическая программа Ленглендса». Связь в теории чисел и физике . 1 (1): 1–236. arXiv : hep-th/0604151 . Бибкод : 2007CNTP....1....1K . дои : 10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1 . S2CID   30505126 .
• Монтонен, Клаус; Олив, Дэвид (1977). «Магнитные монополи как калибровочные частицы?» . Буквы по физике Б. 72 (1): 117–120. Бибкод : 1977PhLB...72..117M . дои : 10.1016/0370-2693(77)90076-4 .
• Зайберг, Натан (1995). «Электро-магнитная двойственность в суперсимметричных неабелевых калибровочных теориях». Ядерная физика Б . 435 (1): 129–146. arXiv : hep-th/9411149 . Бибкод : 1995НуФБ.435..129С . дои : 10.1016/0550-3213(94)00023-8 . S2CID   18466754 .
• Сен, Ашок (1994). «Двойственность сильной и слабой связи в четырехмерной теории струн». Международный журнал современной физики А. 9 (21): 3707–3750. arXiv : hep-th/9402002 . Бибкод : 1994IJMPA...9.3707S . дои : 10.1142/S0217751X94001497 . S2CID   16706816 .
• Виттен, Эдвард (13–18 марта 1995 г.). «Некоторые проблемы сильной и слабой связи». Proceedings of Strings '95: Будущие перспективы теории струн . Всемирная научная. дои : 10.1142/2943 . ISBN  978-981-02-2472-1 .
• Виттен, Эдвард (1995). «Динамика теории струн в различных измерениях». Ядерная физика Б . 443 (1): 85–126. arXiv : hep-th/9503124 . Бибкод : 1995НуФБ.443...85Вт . дои : 10.1016/0550-3213(95)00158-О . S2CID   16790997 .
• Зи, Энтони (2010). Квантовая теория поля в двух словах (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-14034-6 .
• Цвибах, Бартон (2009). Первый курс теории струн . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88032-9 .