формализм РНС

В теории струн формализм Рамона -Невё-Шварца (RNS) представляет собой подход к формулированию суперструн , в котором мировой лист имеет явную суперконформную инвариантность, но пространства-времени суперсимметрия скрыта, в отличие от формализма Грина-Шварца , где последний является явным. Первоначально он был разработан Пьером Рамоном , Андре Неве и Джоном Шварцем в модели RNS в 1971 году. которая порождает теории струн типа II , а также может дать теорию струн типа I. Гетеротические теории струн также можно получить с помощью этого формализма, используя другое действие мирового листа. В рамках этой структуры существуют различные способы квантования строки, включая квантование светового конуса , старое каноническое квантование и BRST-квантование . Непротиворечивая теория струн достигается только в том случае, если спектр состояний ограничен с помощью процедуры, известной как проекция ГСО . причем эта проекция автоматически присутствует в формализме Грина – Шварца.

История

Открытие в 1968 году амплитуды Венециано, описывающей рассеяние четырех мезонов, положило начало изучению моделей двойного резонанса , которые обобщили эти амплитуды рассеяния на рассеяние с любым количеством мезонов. Хотя это теории S-матрицы , а не квантовые теории поля , Йоитиро Намбу , Хольгер Бех Нильсен и Леонард Сасскинд дали им струнную интерпретацию, согласно которой мезоны ведут себя как струны конечной длины.

В 1970 году Пьер Рамон работал в Йельском университете, пытаясь расширить модели двойного резонанса, включив в них фермионные степени свободы посредством обобщения уравнения Дирака . Это привело его к построению первой супералгебры — супералгебры Рамона. В то же время Андре Неве и Джон Шварц работали в Принстоне над расширением существующих моделей двойного резонанса, добавляя к ним антикоммутирующие операторы рождения и уничтожения . Первоначально это привело к появлению модели, содержащей только бозоны . Вскоре после своей второй статьи на эту тему они поняли, что их модель можно объединить с фермионной моделью Рамона, что они успешно и сделали, чтобы дать начало модели Рамона-Невё-Шварца (RNS), называемой в то время двойным пионом. модель.

Эта работа проводилась только с учетом адронной физики, без ссылки на струны, пока в 1974 году Стэнли Мандельштам не переосмыслил модель RNS как модель вращения струн. Джоэл Шерк и Джон Шварц были первыми, кто предположил, что она может описывать элементарные частицы , а не только адроны, когда они показали, что частица со спином -2 в модели ведет себя как гравитон .

В то время основная проблема модели RNS заключалась в том, что она содержала тахион как состояние с самой низкой энергией . Только в 1976 году, когда Фердинандо Глиоцци , Джоэл Шерк и Дэвид Олив представили проекцию ГСО , были построены первые последовательные теории струн без тахионов.

Обзор

Формализм RNS — это подход к квантованию струны путем работы с мировым листом струн, внедренным в пространство-время, с бозонными и фермионными полями на мировом листе. Существует несколько различных подходов к квантованию струны в этом формализме. Основными из них являются старое ковариантное квантование, квантование светового конуса, и BRST-квантование через интеграл по путям . Последний подход начинается с евклидовой статистической суммы.

$Z=\int {\frac {1}{V_{G}}}[{\mathcal {D}}\ {\text{fields}}]e^{-S},$

где $S$ — действие мирового листа с некоторой симметрии калибровочной группой $G$ это представляет собой пересчет физически различных конфигураций полей , от которых действие зависит . Этот пересчет устраняется делением на объем калибровочной группы $V_{G}$. БРСТ-квантование происходит путем калибровочной фиксации интеграла по траекториям с помощью процедуры Фадеева–Попова , что приводит к появлению призракового действия в дополнение к уже калибровочно фиксированному действию.

Модель RNS основана на использовании $(1,1)$ действие супергравитации , которое при фиксации калибровки дает действие СОК вместе с действием призрака, описывающим голоморфные и антиголоморфные призраки, необходимые для устранения нефизических временных возбуждений полей. Физические состояния этой теории распадаются на ряд секторов в зависимости от условия периодичности фермионных полей . Полная теория противоречива и содержит нефизический тахион, однако проецирование ряда этих секторов может привести к появлению последовательных безтахионных теорий. В частности, модель RNS дает начало теории струн типа IIA и типа IIB для закрытых струн, а объединение открытой струны с модифицированной версией струны IIB дает начало теории струн типа I. Вместо этого начиная с $(1,0)$ Действие супергравитации порождает гетеротические теории струн.

Алгебры ограничений

Один из способов классифицировать все возможные теории струн, которые можно построить с использованием этого формализма, — это рассмотреть возможные алгебры остаточной симметрии, которые могут возникнуть. То есть фиксация калибровки не всегда полностью фиксирует всю симметрию калибровки, оставляя после себя некоторую незафиксированную остаточную симметрию , действие которой оставляет фиксированное действие калибровки неизменным. Алгебра , соответствующая этой остаточной симметрии, известна как алгебра ограничений . Чтобы создать физическую теорию, эту алгебру необходимо наложить на гильбертово пространство путем проецирования нежелательных состояний. Физические состояния — это те, которые уничтожаются действием этой алгебры на эти состояния.

Например, в теории бозонных струн исходный диффеоморфизм $\times$Симметрия Вейля распадается на остаточную конформную симметрию , давая конформную алгебру которой , генератором является тензор энергии-импульса. $T^{ab}$. Физические состояния $|\psi \rangle$, $|\psi '\rangle$ тогда это те, для которых $\langle \psi |T^{ab}|\psi '\rangle =0$. Аналогично, калибр, фиксирующий $(1,1)$ действие супергравитации вплоть до действия РНС приводит к $(1,1)$ суперконформная алгебра .

Физические условия, такие как унитарность и положительное число пространственных измерений, ограничивают количество допустимых алгебр ограничений. Помимо конформной алгебры и $(1,1)$ суперконформная алгебра, другие разрешенные алгебры — это $(1,0)$, $(1,2)$ и $(0,2)$ суперконформные алгебры. Первая из них порождает гетеротические теории струн, а две другие дают последовательные, но менее физически интересные теории в малых измерениях. Топологическая теория струн не входит в эту классификацию, поскольку для нее теорема о спин-статистике не выполняется в конформной калибровке, которая требовалась для полного рассуждения.

действие РНС

Мировой лист строк — это двумерная поверхность, которую можно параметризовать двумя координатами. $(\sigma _{1},\sigma _{2})$ где $\sigma _{2}$ описывает евклидово время, в то время как $\sigma _{1}$ параметризовать строку в определенный момент времени. Для закрытых струн $\sigma _{1}\sim \sigma _{1}+2\pi$ в то время как для открытых строк $\sigma _{1}\in [0,\pi ]$. Часто используются две другие системы координат, это комплексные координаты. $(w,{\bar {w}})$ определяется $w=\sigma _{1}+i\sigma _{2}$ или координаты $(z,{\bar {z}})$ определяется $z=e^{-iw}$. Для последнего струна в данный момент времени представляет собой окружность вокруг начала координат в комплексной плоскости с меньшими радиусами , соответствующими более ранним временам.

Модель RNS формируется с использованием $(1,1)$ суперконформная теория поля на струнном мировом листе с действием вида

$S_{\text{RNS}}={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}z{\bigg (}{\frac {2}{\alpha '}}\partial X^{\mu }{\bar {\partial }}X_{\mu }+\psi ^{\mu }{\bar {\partial }}\psi _{\mu }+{\tilde {\psi }}^{\mu }\partial {\tilde {\psi }}_{\mu }{\bigg )},$

где $\psi ^{\mu }(z)$ и ${\tilde {\psi }}^{\mu }({\bar {z}})$ являются голоморфными и антиголоморфными антикоммутирующими фермионными полями и $X^{\mu }(z,{\bar {z}})$ являются бозонными полями. Эти бозонные поля имеют физическую интерпретацию как координаты струнного мирового листа, встроенного в пространство-время. $\mu$ пробегая по числу измерений пространства-времени. Теория суперструн в плоском пространстве-времени имеет десять измерений. Частные производные - это производные в комплексных координатах. $\partial =\partial _{z}$ и ${\bar {\partial }}=\partial _{\bar {z}}$.

Операторы можно классифицировать по их поведению при жестком масштабировании. $z'=\zeta z$. Если они преобразуются как ${\mathcal {O}}'(z',{\bar {z}}')=\zeta ^{-h}{\bar {\zeta }}^{-{\tilde {h}}}{\mathcal {O}}(z,{\bar {z}})$ говорят, что они имеют вес $(h,{\tilde {h}})$. Веса двух фермионных полей равны $(1/2,0)$ и $(0,1/2)$ а у бозонных полей $(0,0)$. Голоморфный тензор энергии-импульса имеет вес $(2,0)$ и дается

$T_{B}(z)=-{\frac {1}{\alpha '}}\partial X^{\mu }\partial X_{\mu }-{\frac {1}{2}}\psi ^{\mu }\partial \psi _{\mu }.$

Наличие суперсимметрии мирового листа приводит к возникновению сверхтоков мирового листа, причем голоморфный сверхток имеет вес $(3/2,0)$ и дается

$T_{F}(z)=i{\sqrt {2/\alpha '}}\psi ^{\mu }(z)\partial X_{\mu }(z).$

Любой голоморфный оператор ${\mathcal {O}}(z)$ с весом $(h,0)$ можно разложить в ряд Лорана

${\mathcal {O}}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} +\nu }{\frac {{\mathcal {O}}_{n}}{z^{n+h}}},$

где ${\mathcal {O}}_{n}$ известны как режимы и $\nu =0$ или $1/2$ в зависимости от того, является ли оператор периодическим или антипериодическим соответственно. Голоморфный тензор энергии-импульса и голоморфный сверхток вместе образуют замкнутую алгебру, известную как $N=1$ супералгебра Вирасоро . Используя разложение мод, где моды тензора напряжений задаются формулой $L_{n}$ и режимы сверхтока $G_{r}$, алгебра принимает вид

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m,-n},$

$\{G_{r},G_{s}\}=2L_{r+s}+{\frac {c}{12}}(4r^{2}-1)\delta _{r,-s},$

$[L_{m},G_{r}]={\frac {m-2r}{2}}G_{m+r},$

где $c$ это центральный заряд . Алгебру иногда называют алгеброй Рамона, когда $r$, $s$ являются целыми числами и алгеброй Неве–Шварца, когда они полуцелые. Для замкнутых струн существует две копии этой алгебры: одна для голоморфной и одна для антиголоморфной стороны, а для открытых струн — только одна копия.

Секторы Рамон и Неве-Шварц

Замкнутые струны периодичны в своем пространственном направлении, и эта периодичность должна соблюдаться полями, живущими на мировом листе. Теория инвариантов Пуанкаре должна иметь $X^{\mu }(\sigma _{1},\sigma _{2})$ быть периодическим. Для фермионных полей лоренц-инвариантность допускает два возможных граничных условия ; периодические или антипериодические граничные условия $\psi ^{\mu }(\sigma _{1}+2\pi ,\sigma _{2})=\pm \psi ^{\mu }(\sigma _{1},\sigma _{2})$, с аналогичным условием для антиголоморфных полей. Кратко это можно резюмировать как

$\psi ^{\mu }(w+2\pi )=e^{2\pi i\nu }\psi ^{\mu }(w),\ \ \ \ \ \ \ \ {\tilde {\psi }}^{\mu }({\bar {w}}+2\pi )=e^{-2\pi i{\tilde {\nu }}}{\tilde {\psi }}^{\mu }({\bar {w}}),$

где $\nu$ и ${\tilde {\nu }}$ независимы друг от друга и являются либо $0$ или $1/2$. Периодический случай ( $\nu =0$) известен как граничное условие Рамона (R) и антипериодический случай ( $\nu =1/2$) известно как граничное условие Неве–Шварца (NS) . Это дает четыре возможных способа размещения фермионов в замкнутой струне, что приводит к появлению четырех секторов в гильбертовом пространстве: секторов NS–NS, NS–R, R–NS и R–R. Периодичность сверхтоков наследуется от периодичности фермионов.

Для открытых струн граничное условие требует, чтобы поверхностный член в уравнениях движения обращался в нуль, что накладывает ограничения

$\psi ^{\mu }(0,\sigma ^{2})=e^{2\pi i\nu }{\tilde {\psi }}^{\mu }(0,\sigma ^{2}),\ \ \ \ \ \ \ \psi ^{\mu }(\pi ,\sigma ^{2})={\tilde {\psi }}^{\mu }(\pi ,\sigma ^{2}).$

Таким образом, для открытых струн имеется только два сектора: сектор R и сектор NS. Часто бывает удобно объединить два поля в одно поле с расширенным диапазоном. $0\leq \sigma ^{1}\leq 2\pi$ определяется в соответствии с

$\psi ^{\mu }(\sigma ^{1},\sigma ^{2})={\tilde {\psi }}^{\mu }(2\pi -\sigma ^{1},\sigma ^{2}),$

где теперь сектора R и NS соответствуют условию периодичности или антипериодичности на этом расширенном поле.

Спектры

Гильбертово пространство R-сектора и NS-сектора определяются путем рассмотрения мод $\psi _{r}^{\mu }$ и ${\tilde {\psi }}_{r}^{\mu }$ фермионных полей. Поскольку в секторе R полномочия $r$ являются целыми числами, этот сектор имеет ветвь , а сектор NS имеет полуцелое число. $r$ и поэтому никакие ветки не обрезаются. Разложение операторного произведения (ОПЕ) фермионной теории переводится в антикоммутационные соотношения для режимов, определяемых формулой

$\{\psi _{r}^{\mu },\psi _{s}^{\nu }\}=\{{\tilde {\psi }}_{r}^{\mu },{\tilde {\psi }}_{s}^{\nu }\}=\eta ^{\mu \nu }\delta _{r,-s}.$

Состояния в гильбертовом пространстве затем можно построить, воздействуя этими модами на вакуумное состояние . Поскольку все режимы аннигиляции для сектора NS имеют $r>0$, то его спектр имеет единственное вакуумное состояние $|0\rangle _{\text{NS}}$ который уничтожается всеми модами

$\psi _{r}^{\mu }|0\rangle _{\text{NS}}=0,\ \ \ \ \ \ \ r>0.$

The $r<0$ режимы действуют как повышающие операторы, и, поскольку они антикоммутируют, на каждый из них можно воздействовать не более одного раза, что дает спектр сектора NS.

Сектор R имеет нулевые моды $\psi _{0}^{\mu }$ которые отображают одно вакуумное состояние в другое вакуумное состояние. В рамках масштабирования $\gamma ^{\mu }=2^{-1/2}\psi _{0}^{\mu }$, антикоммутационное отношение для них становится алгеброй Дирака , подразумевая, что основное состояние спектра R образует представление этой алгебры. В десяти измерениях это спинор Дирака , 32-мерное представление , которое можно свести к двум представлениям Вейля. ${\text{32}}={\text{16}}+{\text{16}}'$ отличаются своей киральностью . Спектр сектора R формируется действием $r>0$ режимы не более одного раза в этих основных состояниях.

Крепление манометра

Ковариант Лоренца , инвариант диффеоморфизма для фермионной суперструны находится путем объединения бозонного и фермионного полей с двумерной супергравитацией, что дает действие

$S=\int d^{2}ze{\bigg [}{\frac {1}{2}}\nabla _{a}X^{\mu }\cdot \nabla _{a}X^{\mu }-{\frac {1}{2}}i{\bar {\psi }}^{\mu }\gamma ^{a}\nabla _{a}\psi ^{\mu }+{\frac {1}{2}}i({\bar {\chi }}_{a}\gamma ^{b}\gamma ^{a}\psi ^{\mu }){\bigg (}\partial _{b}X^{\mu }-{\frac {1}{4}}i{\bar {\chi }}_{b}\psi ^{\mu }{\bigg )}{\bigg ]},$

где $e_{a}^{m}$ - двумерный vielbein и $\chi _{a}$ является соответствующим гравитино . Это имеет ряд симметрий

• Двумерная репараметризационная инвариантность.
• Двумерная лоренц-инвариантность.
• Двумерная локальная суперсимметрия.
• Симметрия Вейля.
• Локальная S-симметрия; $\delta \psi _{\alpha }=\gamma _{\alpha }\zeta$, где $\zeta _{A}$ является майорановским спинором .
• Симметрия Пуанкаре.

Калибровочными симметриями этого действия являются симметрия диффеоморфизма, симметрия Вейля и локальная суперсимметрия. Чтобы квантовать действие, эти симметрии должны быть фиксированными по калибровке, что обычно делается с помощью суперконформной калибровки, в которой $e_{a}^{m}=e^{\phi }\delta _{a}^{m}$ и $\chi _{a}=\gamma _{a}\xi$, где $\phi$ и $\xi$ отделиться от действия. Выполнение этой калибровочной фиксации с помощью процедуры Фаддеева–Попова оставляет после себя действие РНС и фантомное действие БРСТ. $S\rightarrow S_{\text{RNS}}+S_{g}$.

Призраки

В действии фиксированной калибровочной суперструны существуют голоморфные и антиголоморфные призраки. На голоморфной стороне находится пара антикоммутирующих $b$ и $c$ поля с весом $h_{b}=2$ и $h_{c}=-1$, а также пару коммутирующих полей $\beta$ и $\gamma$ с весом $h_{\beta }=3/2$ и $h_{\gamma }=1/2$. Они имеют действие вида

$S_{g}={\frac {1}{2\pi }}\int d^{2}z(b{\bar {\partial }}c+\beta {\bar {\partial }}\gamma ),$

с аналогичным действием для антиголоморфных призраков. Это действие приводит к появлению дополнительных побочных вкладов в общий тензор энергии напряжений. $T_{B}^{g}$ и сверхтоки теории $T_{F}^{g}$.

Расширение фантомных мод определяется их весами, при этом антикоммутирующие фантомные поля являются периодическими, а коммутирующие фантомные поля являются периодическими в секторе R и антипериодическими в секторе NS. Моды удовлетворяют (анти)коммутационным соотношениям $\{b_{m},c_{n}\}=\delta _{n,-m}$ и $[\gamma _{r},\beta _{s}]=\delta _{r,-s}$. Основные состояния Рамона и Неве–Шварца определяются согласно

$b_{m}|0\rangle _{\text{NS,R}}=0,\ \ \ m\geq 0,\ \ \ \ c_{m}|0\rangle _{\text{NS,R}}=0,\ \ \ m\geq 1,$

$\beta _{r}|0\rangle _{\text{NS}}=0,\ \ \ r\geq {\tfrac {1}{2}},\ \ \ \ \gamma _{r}|0\rangle _{\text{NS}}=0,\ \ \ r\geq {\tfrac {1}{2}},$

$\beta _{r}|0\rangle _{\text{R}}=0,\ \ \ r\geq 0,\ \ \ \ \ \ \gamma _{r}|0\rangle _{\text{R}}=0,\ \ \ r\geq 1.$

Физические состояния

БРСТ-квантование теории требует построения БРСТ- тока

$j_{B}=cT_{B}^{m}+\gamma T_{F}^{m}+{\frac {1}{2}}(cT_{B}^{g}+\gamma T_{F}^{g}),$

где $c$ и $\gamma$ это призраки и $T_{B,F}^{m,g}$ – тензоры материи и призрачных напряжений и сверхтоки. Стоимость БРСТ $Q_{B}$ - соответствующий заряд, связанный с этим током

$Q_{B}={\frac {1}{2\pi i}}\oint (dzj_{B}-d{\bar {z}}{\bar {j}}_{B}).$

Физический спектр представляет собой набор BRST -когомологий классов . Это набор состояний $|\psi \rangle$ которые уничтожаются зарядом $Q_{B}|\psi \rangle =0$ состоянием BRST , где все состояния отличаются точным , также называемым нулевым состоянием. $Q_{B}|\eta \rangle$, эквивалентный $|\psi \rangle \sim |\psi \rangle +Q_{B}|\eta \rangle$. Есть дополнительное условие, $b_{0}|\psi \rangle =L_{0}|\psi \rangle =0$, а для состояний сектора R $\beta _{0}|\psi \rangle =G_{0}|\psi \rangle =0$. Это условие усекает спектр призраков по кинематическим причинам.

Удобно рассмотреть состояния с наименьшей энергией этой теории. Знакомство с оператором числа фермионов $F$ позволяет дополнительно разделить сектора NS и R на сектора NS-, NS+, R- и R+, где знак обозначает знак $e^{i\pi F}=\pm 1$ для штатов.

• NS-: содержит основное состояние NS. $|0;k\rangle _{\text{NS}}$ что представляет собой тахион массы $-1/2\alpha '$ и четырехимпульсный $k^{\mu }$.
• NS+: содержит первое возбужденное состояние NS. $|e;k\rangle _{\text{NS}}=e\cdot \psi _{-1/2}|0;k\rangle _{\text{NS}}$ что соответствует безмассовому векторному бозону с поляризацией $e$ удовлетворяющий $k^{2}=e\cdot k=0$ и $e^{\mu }\sim e^{\mu }+\lambda k^{\mu }$.
• R-/R+: основное состояние сектора R. $|u;k\rangle _{\text{R}}$ представляет собой безмассовый фермион Майораны – Вейля с поляризацией $u_{\boldsymbol {s}}$половина из которых принадлежит сектору R+, а другая половина — сектору R−.

Эти состояния классифицируются по тому, какое спиновое представление ${\text{SO}}(8)$ группа, которой они принадлежат, которая является подгруппой вращения десятимерной группы Лоренца. ${\text{SO}}(1,9)\supset {\text{SO}}(1,1){\text{SO}}(8)$. В частности, тахионный NS− является синглетом , а состояние NS+ представляет собой вектор, обозначаемый $8_{v}$. Спиноры Майораны–Вейля R+ сектора принадлежат $8$ представление, в то время как R− принадлежат $8'$ представительство.

Для открытых струн NS+, NS−, R+ и R− образуют возможные безмассовые и тахионные состояния струны RNS. Для закрытых струн физические состояния представляют собой различные комбинации этих четырех секторов, движущихся влево и вправо. Результирующая строка имеет массовой оболочки условие

${\frac {\alpha '}{4}}m^{2}=N-\nu ={\tilde {N}}-{\tilde {\nu }},$

где $N$ — это уровень, учитывающий операторы создания, использованные для создания состояния. Результирующие состояния снова можно классифицировать по ${\text{SO}}(8)$ представление, причем это прямой продукт левых и правых представлений, который разлагается в сумму по неприводимым представлениям . Не существует состояний, в которых NS- соответствует NS+, R- или R+, поскольку в этом случае условие согласования уровней не выполняется, поэтому теория замкнутых струн имеет единственный тахион, исходящий из сектора NS-NS-.

Проекция ГСО

Основная статья: Проекция ГСО

Наивное струнное гильбертово пространство RNS не приводит к созданию последовательной теории струн. Есть три условия, которые должны быть выполнены, чтобы теория была непротиворечивой. Во-первых, вершинные операторы теории должны быть взаимно локальными, а это означает, что их ОПЭ не имеют разрезов ветвей. Во-вторых, ОПЕ также должны быть закрыты . Наконец, однопетлевые амплитуды должны быть модульно-инвариантными . Проекция GSO — это проекция гильбертова пространства на подмножество секторов, которые согласованы при этих трех условиях. Одним из наборов непротиворечивых теорий, возникающих в результате проекции, являются теории струн типа 0 , хотя они не являются свободными от тахионов. Другой набор непротиворечивых теорий - это безтахионные теории струн типа II, состоящие из секторов

• IIA: (NS+,NS+), (R+,NS+), (NS+,R−), (R+,R−),
• IIB: (NS+,NS+), (R+,NS+), (NS+,R+), (R+,R+).

Кратко обобщив эти отрасли, можно сказать, что в теории типа IIA учитываются только отрасли с $e^{i\pi F}=+1$ и $e^{i\pi {\tilde {F}}}=(-1)^{\tilde {\alpha }}$, в то время как теория МИБ сохраняет только сектора с $e^{i\pi F}=e^{i\pi {\tilde {F}}}=+1$.

Теория струн типа I может быть построена на основе теории типа IIB, в которой была измерена симметрия четности мирового листа и объединена с проецируемой на ГСО открытой струной RNS. Открытые струны также должны иметь факторы Чана–Патона, принадлежащие ${\text{SO}}(32)$ калибровочная группа. Последнее условие вытекает из требования сделать теорию неаномальной . Гетеротические теории струн могут быть построены с использованием того же формализма, за исключением того, что они начинаются с действия, отличного от действия СОК.

См. также

• формализм ГС
• Проекция ГСО
• Кальб-Рамондское месторождение