Унитарность (физика)

В физике квантовой унитарность — это (или унитарный процесс ) условие, при котором временная эволюция квантового состояния согласно уравнению Шрёдингера математически представляется унитарным оператором . Обычно это воспринимается как аксиома или основной постулат квантовой механики, в то время как обобщения унитарности или отклонения от нее являются частью рассуждений о теориях, которые могут выходить за рамки квантовой механики. является Границей унитарности любое неравенство, которое следует из унитарности оператора эволюции , т.е. из утверждения, что временная эволюция сохраняет скалярные продукты в гильбертовом пространстве .

эволюция

Эволюция времени, описываемая независимым от времени гамильтонианом , представлена ​​однопараметрическим семейством унитарных операторов , для которых гамильтониан является генератором: $U(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }$. В картине Шрёдингера предполагается, что унитарные операторы воздействуют на квантовое состояние системы, тогда как в картине Гейзенберга включается временная зависимость вместо этого в наблюдаемые .

унитарности на

В квантовой механике каждое состояние описывается как вектор в гильбертовом пространстве . Когда выполняется измерение, это пространство удобно описывать с помощью векторного базиса , в котором каждый базисный вектор имеет определенный результат измерения – например, векторный базис с определенным импульсом в случае измерения импульса. В этом базисе оператор измерения является диагональным.

Вероятность получения конкретного измеренного результата зависит от амплитуды вероятности, определяемой внутренним произведением физического состояния. $|\psi \rangle$ с базисными векторами $\{|\phi _{i}\rangle \}$ которые диагонализуют оператор измерения. Для физического состояния, которое измеряется после его развития во времени, амплитуда вероятности может быть описана либо внутренним произведением физического состояния после временной эволюции с соответствующими базисными векторами, либо, что то же самое, внутренним произведением физического состояния с базисные векторы, которые развиваются назад во времени. Использование оператора временной эволюции $e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }$, у нас есть:

$\left\langle \phi _{i}\left|e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\psi \right.\right\rangle =\left\langle \left.e^{-i{\hat {H}}(-t)/\hbar }\phi _{i}\right|\psi \right\rangle$

Но по определению эрмитова сопряжения это также:

$\left\langle \phi _{i}\left|e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\psi \right.\right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}\left(e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\right)^{\dagger }\right|\psi \right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}e^{-i{\hat {H}}^{\dagger }(-t)/\hbar }\right|\psi \right\rangle$

Поскольку эти равенства верны для каждых двух векторов, получаем

${\hat {H}}^{\dagger }={\hat {H}}$

Это означает, что гамильтониан эрмитов и оператор эволюции во времени $e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }$ является унитарным .

Поскольку по правилу Борна норма определяет вероятность получения определенного результата при измерении, унитарность вместе с правилом Борна гарантирует, что сумма вероятностей всегда равна единице. Более того, унитарность вместе с правилом Борна подразумевает, что операторы измерения в картине Гейзенберга действительно описывают, как результаты измерений должны меняться во времени.

гамильтониана

То, что оператор временной эволюции унитарен, эквивалентно тому, что гамильтониан является эрмитовым . Эквивалентно это означает, что возможные измеренные энергии, которые являются собственными значениями гамильтониана, всегда являются действительными числами.

оптическая

используется S-матрица для описания того, как физическая система изменяется в процессе рассеяния. Фактически он равен оператору временной эволюции в течение очень длительного времени (приближающемуся к бесконечности), действующему на импульсные состояния частиц (или связанного комплекса частиц) на бесконечности. Таким образом, он также должен быть унитарным оператором; расчет, дающий неунитарную S-матрицу, часто подразумевает, что связанное состояние было упущено из виду.

Оптическая теорема

Основная статья: Оптическая теорема

Унитарность S-матрицы предполагает, помимо прочего, оптическую теорему . Это можно увидеть следующим образом:

S-матрицу можно записать как:

$S=1+iT$

где $T$ – часть S-матрицы, обусловленная взаимодействиями; например $T=0$ просто подразумевает, что S-матрица равна 1, взаимодействия не происходит и все состояния остаются неизменными.

Унитарность S-матрицы:

$S^{\dagger }S=1$

тогда эквивалентно:

$-i\left(T-T^{\dagger }\right)=T^{\dagger }T$

Левая часть в два раза больше мнимой части S-матрицы. Чтобы увидеть, что такое правая часть, давайте посмотрим на любой конкретный элемент этой матрицы, например, между некоторым начальным состоянием $|I\rangle$ и окончательное состояние $\langle F|$, каждый из которых может включать множество частиц. Тогда матричный элемент:

$\left\langle F\left|T^{\dagger }T\right|I\right\rangle =\sum _{i}\left\langle F|T^{\dagger }|A_{i}\right\rangle \left\langle A_{i}|T|I\right\rangle$

где {A _i } — множество возможных состояний на оболочке, т.е. состояния импульса частиц (или связанного комплекса частиц) на бесконечности.

Таким образом, удвоенная мнимая часть S-матрицы равна сумме, представляющей собой произведения вкладов всех рассеяний начального состояния S-матрицы в любое другое физическое состояние на бесконечности с рассеяниями последнего в конечное состояние S-матрицы. Поскольку мнимая часть S-матрицы может быть вычислена по виртуальным частицам, появляющимся в промежуточных состояниях диаграмм Фейнмана , отсюда следует, что эти виртуальные частицы должны состоять только из реальных частиц, которые могут появляться и в качестве конечных состояний. Математический аппарат, который используется для обеспечения этого, включает калибровочную симметрию , а иногда и призраки Фаддеева – Попова .

Границы унитарности

Согласно оптической теореме амплитуда вероятности M (= iT) для любого процесса рассеяния должна подчиняться

$|M|^{2}=2\operatorname {Im} (M)$

Подобные границы унитарности подразумевают, что амплитуды и сечение не могут слишком сильно увеличиваться с энергией или должны уменьшаться так быстро, как определенная формула диктует. Например, граница Фруассара гласит, что полное сечение рассеяния двух частиц ограничено величиной $c\ln ^{2}s$, где $c$ является константой, и $s$ – квадрат энергии центра масс. (См. переменные Мандельштама )

См. также

• Антиунитарный оператор
• правило Борна
• Аксиомы вероятности
• Квантовый канал
• Теорема Стоуна об однопараметрических унитарных группах
• Теорема Вигнера