Антиунитарный оператор

В математике антиунитарное преобразование — это биективное антилинейное отображение.

$U:H_{1}\to H_{2}\,$

между двумя комплексными гильбертовыми пространствами такими, что

$\langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}$

для всех $x$ и $y$ в $H_{1}$, где горизонтальная черта представляет комплексно-сопряженное число . Если дополнительно имеется $H_{1}=H_{2}$ затем $U$ называется антиунитарным оператором .

Антиунитарные операторы важны в квантовой механике , поскольку они используются для представления определенных симметрий , таких как обращение времени . Их фундаментальное значение в квантовой физике дополнительно демонстрируется теоремой Вигнера .

Преобразования

В квантовой механике преобразования инвариантности комплексного гильбертова пространства $H$ оставьте абсолютное значение скалярного произведения неизменным:

$|\langle Tx,Ty\rangle |=|\langle x,y\rangle |$

для всех $x$ и $y$ в $H$.

По теореме Вигнера эти преобразования могут быть как унитарными , так и антиунитарными.

интерпретация

Конгруэнции плоскости образуют два различных класса. Первый сохраняет ориентацию и создается за счет перемещений и вращений. Второй не сохраняет ориентацию и получается из первого класса путем применения отражения. В комплексной плоскости эти два класса соответствуют (с точностью до перевода) унитариям и антиунитариям соответственно.

Свойства

• $\langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle$ сохраняется для всех элементов $x,y$ гильбертова пространства и антиунитарного $U$.
• Когда $U$ антиунитарно тогда $U^{2}$ является унитарным. Это следует из $$\left\langle U^{2}x,U^{2}y\right\rangle ={\overline {\langle Ux,Uy\rangle }}=\langle x,y\rangle .$$
• Для унитарного оператора $V$ оператор $VK$, где $K$ является комплексным сопряжением (относительно некоторого ортогонального базиса), антиунитарен. Верно и обратное: антиунитарные $U$ оператор $UK$ является унитарным.
• За антиунитарные $U$ определение сопряженного оператора $U^{*}$ изменяется, чтобы компенсировать комплексное сопряжение, становясь $$\langle Ux,y\rangle ={\overline {\left\langle x,U^{*}y\right\rangle }}.$$
• Сопряжение с антиунитарным $U$ также является антиунитарным и $$UU^{*}=U^{*}U=1.$$ (Это не следует путать с определением унитарных операторов , поскольку антиунитарный оператор $U$ не является комплексной линейной .)

Примеры

• Оператор комплексного сопряжения $K,$ $Kz={\overline {z}},$ является антиунитарным оператором на комплексной плоскости.
• Оператор $$U=i\sigma _{y}K={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}K,$$ где $\sigma _{y}$ - вторая матрица Паули и $K$ – оператор комплексного сопряжения, антиунитарен. Это удовлетворяет $U^{2}=-1$.

антиунитарного оператора в прямую сумму элементарных антиунитарных

Антиунитарный оператор в конечномерном пространстве можно разложить в прямую сумму элементарных антиунитарных вигнеровских операторов. $W_{\theta }$, $0\leq \theta \leq \pi$. Оператор $W_{0}:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ это просто простое комплексное сопряжение $\mathbb {C}$

$W_{0}(z)={\overline {z}}$

Для $0<\theta \leq \pi$, оператор $W_{\theta }$ действует в двумерном комплексном гильбертовом пространстве. Это определяется

$W_{\theta }\left(\left(z_{1},z_{2}\right)\right)=\left(e^{{\frac {i}{2}}\theta }{\overline {z_{2}}},\;e^{-{\frac {i}{2}}\theta }{\overline {z_{1}}}\right).$

Обратите внимание, что для $0<\theta \leq \pi$

$W_{\theta }\left(W_{\theta }\left(\left(z_{1},z_{2}\right)\right)\right)=\left(e^{i\theta }z_{1},e^{-i\theta }z_{2}\right),$

такой такой $W_{\theta }$ не подлежит дальнейшему разложению на $W_{0}$х, какой квадрат к идентификационной карте.

Заметим, что приведенное выше разложение антиунитарных операторов контрастирует со спектральным разложением унитарных операторов. В частности, унитарный оператор в комплексном гильбертовом пространстве можно разложить в прямую сумму унитарных операторов, действующих в одномерных комплексных пространствах (собственных пространствах), а антиунитарный оператор можно разложить только в прямую сумму элементарных операторов в 1- и Двумерные комплексные пространства.

Ссылки

• Вигнер, Э. «Нормальная форма антиунитарных операторов», Журнал математической физики, том 1, № 5, 1960, стр. 409–412.
• Вигнер, Э. «Феноменологическое различие между унитарными и антиунитарными операторами симметрии», Журнал математической физики, том 1, № 5, 1960, стр. 414–416.

См. также

• Унитарный оператор
• Теорема Вигнера
• Физика элементарных частиц и теория представлений