Теорема Вигнера

Е. П. Вигнер (1902–1995), ForMemRS , первым доказал теорему, носящую его имя. Это был ключевой шаг на пути к современной схеме классификации типов частиц, согласно которой типы частиц частично характеризуются тем представлением группы Лоренца, под которым они трансформируются. Группа Лоренца — это группа симметрии любой релятивистской квантовой теории поля . Ранние работы Вигнера заложили основу для того, что многие физики стали называть болезнью теории групп. в квантовой механике – или, как выразился Герман Вейль (соавтор) в своей «Теории групп и квантовой механики» (предисловие ко 2-му изд.): «Ходили слухи, что групповой вредитель постепенно исключается из квантовой механики. Это, конечно, неправда…»

Теорема Вигнера , доказанная Юджином Вигнером в 1931 году: является краеугольным камнем математической формулировки квантовой механики . Теорема определяет, как физические , такие как вращения , сдвиги и CPT-преобразования, представлены в гильбертовом пространстве состояний симметрии .

Физические состояния в квантовой теории представлены единичными векторами в гильбертовом пространстве с точностью до фазового множителя, то есть комплексной линией или лучом , охватываемым вектором. Кроме того, по правилу Борна единичного вектора абсолютное значение внутреннего произведения на единичный собственный вектор или, что то же самое, квадрат косинуса угла между линиями, охватываемыми векторами, соответствует вероятности перехода. Пространство лучей , в математике известное как проективное гильбертово пространство , представляет собой пространство всех единичных векторов в гильбертовом пространстве с точностью до отношения эквивалентности, отличающихся фазовым множителем. По теореме Вигнера любое преобразование лучевого пространства, сохраняющее абсолютное значение скалярных произведений, может быть представлено унитарным или антиунитарным преобразованием гильбертова пространства, которое уникально с точностью до фазового множителя. Как следствие, представление группы симметрии в лучевом пространстве может быть повышено до проективного представления , а иногда даже до обычного представления в гильбертовом пространстве.

Лучи и лучевое пространство

Это постулат квантовой механики , утверждающий векторы в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве. $H$ которые являются скалярными ненулевыми кратными друг другу, представляют одно и то же чистое состояние , т. е. векторы $\Psi \in H\setminus \{0\}$ и $\lambda \Psi$, с $\lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\}$, представляют одно и то же состояние. Умножив векторы состояния на фазовый коэффициент , можно получить набор векторов, называемый лучом.

${\underline {\Psi }}=\left\{e^{i\alpha }\Psi :\alpha \in \mathbb {R} \right\}.$

Два ненулевых вектора $\Psi _{1},\Psi _{2}$ определяют один и тот же луч тогда и только тогда, когда они отличаются некоторым ненулевым комплексным числом: $\Psi _{1}=\lambda \Psi _{2}$. Альтернативно мы можем рассмотреть луч ${\underline {\Psi }}$ как набор векторов с нормой 1, единичный луч , пересекая прямую ${\underline {\Psi }}$ с единичной сферой

$SH=\{\Phi \in H\mid \|\Phi \|^{2}=1\}$.

Два единичных вектора $\Psi _{1},\Psi _{2}$ затем определите тот же единичный луч ${\underline {\Psi _{1}}}={\underline {\Psi _{2}}}$ если они отличаются фазовым коэффициентом: $\Psi _{1}=e^{i\alpha }\Psi _{2}$. Это более обычная картина в физике. Набор лучей находится во взаимно однозначном соответствии с набором единичных лучей, и мы можем их идентифицировать. Существует также взаимно однозначное соответствие между физическими чистыми состояниями. $\rho$ и (единичные) лучи ${\underline {\Phi }}$ предоставлено

$\rho =P_{\Phi }={\frac {|\Phi \rangle \langle \Phi |}{\langle \Phi |\Phi \rangle }}$

где $P_{\Phi }$ — ортогональная проекция на прямую ${\underline {\Phi }}$. В любой интерпретации, если $\Phi \in {\underline {\Psi }}$ или $P_{\Phi }=P_{\Psi }$ затем $\Phi$ является представителем ​ ${\underline {\Psi }}$.

Пространство всех лучей представляет собой проективное гильбертово пространство, называемое лучевым пространством . Его можно определить несколькими способами. Можно определить отношение эквивалентности $\sim$ на $H\setminus \{0\}$ к

$\Psi \sim \Phi \Leftrightarrow \Psi =\lambda \Phi ,\quad \lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\},$

и определим лучевое пространство как фактормножество

$\mathbf {P} (H)=(H\setminus \{0\})/{\sim }$.

Альтернативно, для отношения эквивалентности на сфере $SH$, единичное лучевое пространство представляет собой воплощение лучевого пространства, определенного (без обозначений с лучевым пространством) как набор классов эквивалентности

$\mathbf {P} (H)=SH/\sim$.

Третье эквивалентное определение лучевого пространства — это лучевое пространство в чистом состоянии , т.е. как матрицы плотности , которые являются ортогональными проекциями ранга 1.

$\mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}$.

Если $H$ является n -мерным, т. е. $H_{n}:=H$, затем $\mathbf {P} (H_{n})$ изоморфно комплексному проективному пространству $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}=\mathbf {P} (\mathbb {C} ^{n})$. Например

$\lambda _{1}|+\rangle +\lambda _{2}|-\rangle ,\quad (\lambda _{1},\lambda _{2})\in \mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}$

генерировать точки на сфере Блоха ; изоморфен сфере Римана $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}$.

Пространство лучей (т.е. проективное пространство ) — это не векторное пространство, а скорее набор векторных линий (векторных подпространств размерности один) в векторном пространстве размерности n + 1 . Например, для каждых двух векторов $\Psi _{1},\Psi _{2}\in H_{2}$ и отношение комплексных чисел $(\lambda _{1}:\lambda _{2})$ (т.е. элемент $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}$) имеется четко выраженный луч ${\underline {\lambda _{1}\Psi _{1}+\lambda _{2}\Psi _{2}}}$. Таким образом, для отдельных лучей ${\underline {\Psi }}_{1},{\underline {\Psi }}_{2}$ (т.е. линейно независимые прямые) существует проективная линия лучей вида ${\underline {\lambda _{1}\Psi _{1}+\lambda _{2}\Psi _{2}}}$ в $\mathbf {P} (H_{2})$: все одномерные комплексные линии в двумерной комплексной плоскости, натянутой на $\Psi _{1}$ и $\Psi _{2}$. Однако, в отличие от векторных пространств, независимого остовного множества недостаточно для определения координат (см.: проективная система координат ).

Структура гильбертова пространства на $H$ определяет дополнительную структуру лучевого пространства. Определить корреляцию лучей (или произведение лучей )

${\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}={\frac {\left|\left\langle \Psi ,\Phi \right\rangle \right|}{\|\Phi \|\|\Psi \|}}={\sqrt {\mathrm {tr} (P_{\Psi }P_{\Phi })}},$

где $\langle \,,\,\rangle$ гильбертова пространства — внутренний продукт , и $\Psi ,\Phi$ являются представителями ${\underline {\Phi }}$ и ${\underline {\Psi }}$. Заметим, что правая часть не зависит от выбора представителей. Физический смысл этого определения состоит в том, что согласно правилу Борна , другому постулату квантовой механики, вероятности перехода между нормализованными состояниями $\Psi$ и $\Phi$ в гильбертовом пространстве определяется выражением

$P(\Psi \rightarrow \Phi )=|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}$

т.е. мы можем определить правило Борна для лучевого пространства следующим образом.

$P({\underline {\Psi }}\to {\underline {\Phi }}):=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}.$

Геометрически мы можем определить угол $\theta$ с $0\leq \theta \leq \pi /2$ между строк ${\underline {\Phi }}$ и ${\underline {\Psi }}$ к $\cos(\theta )=({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }})$. Тогда оказывается, что угол удовлетворяет неравенству треугольника и определяет метрическую структуру в лучевом пространстве, которая происходит из римановой метрики, метрики Фубини-Студи .

Преобразования симметрии

Грубо говоря, преобразование симметрии — это изменение, при котором «ничего не происходит». или «изменение нашей точки зрения» это не меняет результатов возможных экспериментов. Например, перевод системы в однородную среду не должен оказывать качественного влияния на результаты экспериментов, проведенных над системой. Аналогично и для вращения системы в изотропной среде. Это становится еще яснее, если рассмотреть математически эквивалентные пассивные преобразования , т.е. просто изменения координат и оставить систему в покое. Обычно область определения и диапазон гильбертовых пространств совпадают. Исключением может быть (в нерелятивистской теории) гильбертово пространство электронных состояний, подвергающееся преобразованию зарядового сопряжения . В этом случае электронные состояния отображаются в гильбертово пространство позитронных состояний и наоборот. Однако это означает, что симметрия действует на прямую сумму гильбертовых пространств.

Трансформация физической системы — это трансформация состояний, следовательно, математически трансформация не гильбертова пространства, а его лучевого пространства. Следовательно, в квантовой механике преобразование физической системы приводит к биективному лучевому преобразованию. $T$

${\begin{aligned}T:\mathbf {P} (H)&\to \mathbf {P} (H)\\{\underline {\Psi }}&\mapsto T{\underline {\Psi }}.\\\end{aligned}}$

Поскольку композиция двух физических преобразований и обращение физического преобразования также являются физическими преобразованиями, то совокупность всех полученных таким образом лучевых преобразований представляет собой группу, действующую на $\mathbf {P} (H)$. Не все биекции $\mathbf {P} (H)$ однако допустимы как преобразования симметрии. Физические преобразования должны сохранять правило Борна.

Для физического преобразования должны сохраняться вероятности перехода в преобразованной и непреобразованной системах:

$P({\underline {\Psi }}\rightarrow {\underline {\Phi }})=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}=\left(T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}\right)^{2}=P\left(T\Psi \rightarrow T\Phi \right)$

Биективное лучевое преобразование $\mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (H)$ называется преобразованием симметрии тогда и только тогда, когда : $T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)$. Геометрическая интерпретация состоит в том, что преобразование симметрии представляет собой изометрию лучевого пространства.

Некоторые факты о преобразованиях симметрии, которые можно проверить с помощью определения:

• Продукт двух преобразований симметрии, т.е. двух преобразований симметрии, примененных последовательно, является преобразованием симметрии.
• Любое преобразование симметрии имеет обратное.
• Тождественное преобразование является преобразованием симметрии.
• Умножение преобразований симметрии ассоциативно.

Таким образом, набор преобразований симметрии образует группу , группу симметрии системы. важные, часто встречающиеся подгруппы в группе симметрии системы являются реализациями Некоторые

• Симметричная группа со своими подгруппами. Это важно при обмене метками частиц.
• Группа Пуанкаре . Он кодирует фундаментальные симметрии пространства-времени [ Примечание: симметрия определена выше как отображение лучевого пространства, описывающего данную систему, понятие симметрии пространства-времени не определено и неясно ].
• Группы внутренней симметрии, такие как SU(2) и SU(3) . Они описывают так называемые внутренние симметрии , такие как изоспин и цветовой заряд, свойственные квантово-механическим системам.

Эти группы также называют группами симметрии системы.

Формулировка теоремы Вигнера

Предварительные сведения

Для формулировки теоремы необходимы некоторые предварительные определения. Преобразование $U:H\to K$ между гильбертовыми пространствами унитарна, если она биективна и

$\langle U\Psi ,U\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle .$

Если $H=K$ затем $U$ сводится к унитарному оператору , обратный которому равен сопряженному $U^{-1}=U^{\dagger }$.

Аналогично, преобразование $A:H\to K$ антиунитарна , если она биективна и

$\langle A\Psi ,A\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle ^{*}=\langle \Phi ,\Psi \rangle .$

Учитывая унитарное преобразование $U:H\to K$ между гильбертовыми пространствами определим

${\begin{aligned}T_{U}:\mathbf {P} (H)&\to \mathbf {P} (K)\\{\underline {\Psi }}&\mapsto {\underline {U\Psi }}\\\end{aligned}}$

Это преобразование симметрии, поскольку $$T_{U}{\underline {\Psi }}\cdot T_{U}{\underline {\Phi }}={\frac {\left|\langle U\Psi ,U\Phi \rangle \right|}{\|U\Psi \|\|U\Phi \|}}={\frac {\left|\langle \Psi ,\Phi \rangle \right|}{\|\Psi \|\|\Phi \|}}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}.$$

Точно так же антиунитарное преобразование гильбертова пространства вызывает преобразование симметрии. Говорят, что трансформация $U:H\to K$ между гильбертовыми пространствами совместимо с преобразованием $T:\mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (K)$ между лучевыми пространствами, если $T=T_{U}$ или эквивалентно

$U\Psi \in T{\underline {\Psi }}$

для всех $\Psi \in H\setminus \{0\}$.

Заявление

Теорема Вигнера утверждает обратное вышеизложенному:

Теорема Вигнера (1931 г.) - Если $H$ и $K$ являются гильбертовыми пространствами и если $$T:\mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (K)$$ является преобразованием симметрии, то существует унитарное или антиунитарное преобразование $V:H\to K$ который совместим с $T$. Если $\dim(H)\geq 2$ , $V$ является либо унитарным, либо антиунитарным. Если $\dim(H)=1$ (и $\mathbf {P} (H)$ и $\mathbf {P} (K)$ состоят из одной точки), все унитарные преобразования $U:H\to K$ и все антиунитарные преобразования $A:H\to K$ совместимы с $T$. Если $V_{1}$ и $V_{2}$ оба совместимы с $T$ затем $V_{1}=e^{i\alpha }V_{2}$ для некоторых $\alpha \in \mathbb {R}$

Доказательства можно найти у Вигнера ( 1931 , 1959 ), Баргмана (1964) и Вайнберга (2002) . Антиунитарные преобразования менее заметны в физике. Все они связаны с изменением направления течения времени.

Замечание 1. Значение части теоремы, касающейся единственности, состоит в том, что она определяет степень единственности представления на $H$. Например, у кого-то может возникнуть соблазн поверить, что

$V\Psi =Ue^{i\alpha (\Psi )}\Psi ,\alpha (\Psi )\in \mathbb {R} ,\Psi \in H\quad ({\text{wrong unless }}\alpha (\Psi ){\text{ is const.}})$

было бы допустимо, при этом $\alpha (\Psi )\neq \alpha (\Phi )$ для $\langle \Psi ,\Phi \rangle =0$ но это не так согласно теореме. На самом деле такой $V$ не будет аддитивным.

Примечание 2 : Будь то $T$ должен быть представлен унитарным или антиунитарным оператором, определяется топологией. Если $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {P} H)=\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {P} K)\geq 1$, вторая когомология $H^{2}(\mathbb {P} H)$ имеет уникальный генератор $c_{\mathbb {P} H}$ такая, что для (эквивалентно любой) комплексной проективной прямой $L\subset \mathbb {P} H$, у одного есть $c_{\mathbb {P} H}\cap [L]=\deg _{L}(c_{\mathbb {P} H}|_{L})=1$. С $T$ является гомеоморфизмом, $T^{*}c_{\mathbb {P} K}$ также генерирует $H^{2}(\mathbb {P} H)$ и так у нас есть $T^{*}c_{\mathbb {P} K}=\pm c_{\mathbb {P} H}$. Если $U:H\to K$ унитарна, то $T_{U}^{*}c_{\mathbb {P} K}=c_{\mathbb {P} H}$ а если $A:H\to K$ антилинейно, тогда $T_{A}^{*}c_{\mathbb {P} K}=-c_{\mathbb {P} H}$.

Замечание 3. Теорема Вигнера находится в тесной связи с основной теоремой проективной геометрии.

Представления и проективные представления

Если G — группа симметрии (в этом последнем смысле будучи вложенной как подгруппа группы симметрии системы, действующей в пространстве лучей), и если f , g , h ∈ G с fg = h , то

$T(f)T(g)=T(h),$

где T — лучевые преобразования. Из части теоремы Вигнера, касающейся единственности, для совместимых представителей U имеем :

$U(f)U(g)=\omega (f,g)U(fg)=e^{i\xi (f,g)}U(fg),$

где ω ( f , g ) — фазовый коэффициент.

Функция ω называется 2- коциклом или мультипликатором Шура . Отображение U : G → GL( V ), удовлетворяющее приведенному выше соотношению для некоторого векторного пространства V, называется проективным представлением или лучевым представлением . Если ω ( f , g ) = 1 , то это называется представлением .

Следует отметить, что терминология в математике и физике различается. В связанной статье термин «проективное представление» имеет немного другое значение, но термин, представленный здесь, входит в качестве ингредиента, и математика сама по себе, конечно же, та же самая. Если реализация группы симметрии g → T ( g ) задана в терминах действия на пространстве единичных лучей S = PH , то это проективное представление G → PGL( H ) в математическом смысле, в то время как его Представитель в гильбертовом пространстве — это проективное представление G → GL( H ) в физическом смысле.

Применяя последнее соотношение (несколько раз) к произведению fgh и обращаясь к известной ассоциативности умножения операторов на H , находим

${\begin{aligned}\omega (f,g)\omega (fg,h)&=\omega (g,h)\omega (f,gh),\\\xi (f,g)+\xi (fg,h)&=\xi (g,h)+\xi (f,gh)\quad (\operatorname {mod} 2\pi ).\end{aligned}}$

Они также удовлетворяют

${\begin{aligned}\omega (g,e)&=\omega (e,g)=1,\\\xi (g,e)&=\xi (e,g)=0\quad (\operatorname {mod} 2\pi ),\\\omega \left(g,g^{-1}\right)&=\omega (g^{-1},g),\\\xi \left(g,g^{-1}\right)&=\xi (g^{-1},g).\\\end{aligned}}$

При переопределении фаз

$U(g)\mapsto {\hat {U}}(g)=\eta (g)U(g)=e^{i\zeta (g)}U(g),$

что допускается последней теоремой, находим

${\begin{aligned}{\hat {\omega }}(g,h)&=\omega (g,h)\eta (g)\eta (h)\eta (gh)^{-1},\\{\hat {\xi }}(g,h)&=\xi (g,h)+\zeta (g)+\zeta (h)-\zeta (gh)\quad (\operatorname {mod} 2\pi ),\end{aligned}}$

где заштрихованные величины определяются выражением

${\hat {U}}(f){\hat {U}}(g)={\hat {\omega }}(f,g){\hat {U}}(fg)=e^{i{\hat {\xi }}(f,g)}{\hat {U}}(fg).$

Полезность фазовой свободы

Следующие довольно технические теоремы и многие другие можно найти с доступными доказательствами у Баргмана (1954) .

Свободу выбора фаз можно использовать для упрощения фазовых коэффициентов. Для некоторых групп фазу можно вообще исключить.

Теорема . Если G полупроста и односвязна, то ω ( g , h ) = 1 . возможно

В случае группы Лоренца и ее подгруппы, группы вращений SO(3) , фазы для проективных представлений могут выбираться так, что ω ( g , h ) = ± 1 . Для соответствующих универсальных накрывающих групп SL (2,C) и Spin(3) согласно теореме возможно иметь ω ( g , h ) = 1 , т.е. они являются собственными представлениями.

Изучение переопределения фаз связано с групповыми когомологиями . со шляпкой и без шляпки, Две функции, связанные как версии ω упомянутые выше, называются когомологическими . Они принадлежат одному и тому же второму классу когомологий , т.е. представлены одним и тем же элементом в H ² ( G ) , группа G. когомологий вторая Если элемент H ² ( G ) содержит тривиальную функцию ω = 0 , то она называется тривиальной . на уровне алгебр Ли и когомологий алгебр Ли . Эту тему можно изучать также

Предполагая, что проективное представление g → T ( g ) слабо непрерывно, можно сформулировать две соответствующие теоремы. Непосредственным следствием (слабой) непрерывности является то, что единичный компонент представлен унитарными операторами.

Теорема: (Вигнер, 1939) — Фазовую свободу можно использовать так, чтобы в некоторой окрестности единицы отображение g → U ( g ) было сильно непрерывным.

Теорема (Баргманн) — В достаточно малой окрестности e выбор ω ( g ₁ , g ₂ ) ≡ 1 возможен для полупростых групп Ли (таких как SO( n ) , SO(3,1) и аффинных линейных групп, (в частности, группа Пуанкаре. Точнее, это именно тот случай, когда вторая группа когомологий H) . ² ( g , R ) алгебры Ли g группы G тривиально.

Модификации и обобщения

Теорема Вигнера применима к автоморфизмам в гильбертовом пространстве чистых состояний. Теоремы Кадисона и Саймон применяются к пространству смешанных состояний (положительные операторы следового класса) и используют немного другие понятия симметрии.

См. также

• Физика элементарных частиц и теория представлений

Ссылки

• Баргманн, В. (1954). «Об унитарных лучевых представлениях непрерывных групп». Энн. математики . 59 (1): 1–46. дои : 10.2307/1969831 . JSTOR   1969831 .
• Баргманн, В. (1964). «Примечание к теореме Вигнера об операциях симметрии». Журнал математической физики . 5 (7). Издательство AIP: 862–868. Бибкод : 1964JMP.....5..862B . дои : 10.1063/1.1704188 . ISSN   0022-2488 .
• Боголюбов Н.Н. ; Логунов А.А.; Тодоров, И.Т. (1975). Введение в аксиоматическую квантовую теорию поля . Серия монографий по математической физике. Том. 18. Перевод на английский Стефана А. Фуллинга и Людмилы Г. Поповой. Нью-Йорк: Бенджамин. ASIN   B000IM4HLS .
• Бойерле, Жерар Г.А.; де Керф, Эдди А. (1990). Алгебры Ли, Часть 1: Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их приложения в физике . Исследования по математической физике. Амстердам: Северная Голландия. ISBN  0-444-88776-8 .
• Фор, Клод-Ален (2002). «Элементарное доказательство основной теоремы проективной геометрии». Геометрии посвященные . 90 : 145–151. дои : 10.1023/A:1014933313332 . S2CID   115770315 .
• Пейдж, Дон Н. (1987). «Геометрическое описание фазы Берри». Физический обзор А. 36 (7). Американское физическое общество (APS): 3479–3481. Бибкод : 1987PhRvA..36.3479P . дои : 10.1103/physreva.36.3479 . ISSN   0556-2791 . ПМИД   9899276 .
• Зейтц, Ф.; Фогт, Э.; Вайнберг, AM (2000). «Юджин Пауль Вигнер. 17 ноября 1902 г. — 1 января 1995 г.» . Биогр. Память Стипендиаты Р. Сок . 46 : 577–592. дои : 10.1098/rsbm.1999.0102 .
• Саймон, Р.; Мукунда, Н. ; Чатурведи, С.; Шринивасан, В.; Хамхальтер, Дж. (2008). «Два элементарных доказательства теоремы Вигнера о симметрии в квантовой механике». Физ. Летт. А. ​ 372 (46): 6847–6852. arXiv : 0808.0779 . Бибкод : 2008PhLA..372.6847S . doi : 10.1016/j.physleta.2008.09.052 . S2CID   53858196 .
• Штрауманн, Н. (2014). «Унитарные представления неоднородной группы Лоренца и их значение в квантовой физике». В А. Аштекаре; В. Петков (ред.). Справочник Спрингера по пространству-времени . Справочники Спрингера. стр. 265–278. arXiv : 0809.4942 . Бибкод : 2014shst.book..265S . CiteSeerX   10.1.1.312.401 . дои : 10.1007/978-3-642-41992-8_14 . ISBN  978-3-642-41991-1 . S2CID   18493194 .
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей , том. Я, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-55001-7
• Вигнер, EP (1931). Теория групп и ее применение к квантовой механике атомных спектров (на немецком языке). Брауншвейг, Германия: Фридрих Видег и сын. стр. 251–254. АСИН   B000K1MPEI .
• Вигнер, EP (1959). Теория групп и ее применение к квантовой механике атомных спектров . перевод с немецкого Дж. Дж. Гриффина. Нью-Йорк: Академическая пресса. стр. 233–236. ISBN  978-0-1275-0550-3 .

Дальнейшее чтение

• Холл, Брайан С. (2013). «Квантовая теория для математиков». Тексты для аспирантов по математике . Том. 267. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. дои : 10.1007/978-1-4614-7116-5 . ISBN  978-1-4614-7115-8 . ISSN   0072-5285 . S2CID   117837329 .
• Муше, Амори (2013). «Альтернативное доказательство теоремы Вигнера о квантовых преобразованиях на основе элементарного комплексного анализа». Буквы по физике А. 377 (39): 2709–2711. arXiv : 1304.1376 . Бибкод : 2013PhLA..377.2709M . дои : 10.1016/j.physleta.2013.08.017 . S2CID   42994708 .
• Мольнар, Лайош (1999). «Алгебраический подход к унитарно-антиунитарной теореме Вигнера» (PDF) . Дж. Аустрал. Математика. Соц. Сер. А. ​ 65 (3): 354–369. arXiv : math/9808033 . Бибкод : 1998math......8033M . дои : 10.1017/s144678870003593x . S2CID   119593689 . Архивировано из оригинала (PDF) 24 апреля 2019 г. Проверено 7 февраля 2015 г.